Câu hỏi:
2 năm trước
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ ta có:
$A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} $
$\ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}} = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}} = 2\sqrt {{5^{ - 1}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá biểu thức $A$.
