Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt trụ)

Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}\)

Có ${V_1} = \pi B{C^2}.AB;{V_2} = \pi .A{B^2}.BC \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{4}{3}$

Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần

${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Cách 1: Chu vi đáy là $240cm \Rightarrow 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \dfrac{{120}}{\pi } $

$\Rightarrow {V_1} = \pi R_1^2h = \pi {\left( {\dfrac{{120}}{\pi }} \right)^2}h = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }$

Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:

\(240:2 = 120cm \Rightarrow 2\pi R = 120 \Rightarrow R = \dfrac{{60}}{\pi } \)

$\Rightarrow V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{{60}}{\pi }} \right)^2}.50 = \dfrac{{{{60}^2}.50}}{\pi } \Rightarrow {V_2} = 2V = \dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi }$

Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }:\dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi } = 2\)

Một đường tròn có bán kính $r$ thì có chu vi và diện tích lần lượt là $C = 2\pi r;S = \pi {r^2} \Rightarrow S = \dfrac{{{C^2}}}{{4\pi }}$

Gọi chiều dài tấm tôn là $a$ thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là

${S_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\pi }};{S_2} = 2.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}{{4\pi }} = \dfrac{{{a^2}}}{{8\pi }} \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2$

Hình trụ có bán kính đáy $r = 1$, chiều cao $h = 1$ nên có ${S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 4\pi $.

Thể tích gáo \({V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})\)

Số nước múc ra trong một ngày \({V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Số ngày dùng hết nước là \(\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281\)(ngày)

\(V = Sh = \pi {R^2}.h \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{V}{{\pi h}}}  = \sqrt {\dfrac{{0,{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi .0,15}}}  = 0,0326(m) = 3,26(cm)\)

- Với cột bê tông hình lăng trụ:

Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng $6$ tam giác đều cạnh $14cm$, mỗi tam giác có diện tích là $\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$

- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:

Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính $15cm$ nên có diện tích là ${15^2}\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả $17$ cột, mỗi cột cao $390cm$ là:

$17.390\left( {{{15}^2}\pi  - 6.\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = 1,{31.10^6}{\rm{ }}c{m^3} = 1,31{\rm{ }}{m^3}$

Mặt trụ tạo bởi hình vuông $ABCD$ khi quay quanh $MN$ có chiều cao $h = a$ và bán kính đáy $r = \dfrac{a}{2}$ nên có diện tích toàn phần:

${S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi .\dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + a} \right) = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2}$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có diện tích bằng ${S_{tp}}$ của mặt trụ thì có bán kính $R$ với:

$4\pi {R^2} = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2} \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$

Bán kính đáy: \(r = \dfrac{C}{{2\pi }} = \dfrac{{4\pi }}{{2\pi }} = 2\)

Thể tích của khối trụ: $V = \pi {r^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi $.

Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ thì bán kính đáy \(r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = a\).

Suy ra \(V = \pi {r^2}h = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)

Gọi $\left( O \right)$ là một đường tròn đáy của hình trụ

Mặt phẳng đã cho cắt $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$, gọi $H$ là trung điểm $AB$.

Vì thiết diện thu được là hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng

$h = AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = a\sqrt 3 $

Thể tích khối trụ là

$V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.a\sqrt 3  = \pi {a^3}\sqrt 3 $

Ta có: \(r = OA = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2};h = AA' = a\) nên \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .\dfrac{a}{2}.a + 2\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2} + \dfrac{{\pi {a^2}}}{2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\)

Tam giác \(OAO'\) vuông tại \(O\) nên:

\(O'A = \sqrt {O{A^2} + O'{O^2}}  = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 \)

Tam giác \(AO'B\) có:

\(O'{A^2} + O'{B^2} = A{B^2}\) nên tam giác \(AO'B\) vuông tại \(O'\)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O'B \bot {\rm{OO'}}\\O'B \bot A{\rm{O'}}\end{array} \right. \Rightarrow O'B \bot \left( {{\rm{AOO'}}} \right)$

${S_{\Delta AOO'}} = \dfrac{1}{2}OA.OO= \dfrac{1}{2}.4.4 = 8$

$ \Rightarrow {V_{AOO'B}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.O'B = \dfrac{1}{3}.8.4 = \dfrac{{32}}{3}$

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:

\(\begin{array}{l}V = \pi r_1^2{h_1} + \pi r_2^2{h_2} = \pi r_1^2{h_1} + \pi \dfrac{1}{4}r_1^2.2{h_1} = \dfrac{3}{2}\pi r_1^2{h_1} = 30\\ \Rightarrow \pi r_1^2{h_1} = 20\end{array}\)

Vậy thể tích khối trụ (H₁) là 20 cm³.

Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ \( \Rightarrow \) Hình trụ có chiều cao \(h = 2r\) và bán kính đáy \(R = 2r\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ là \(V = \pi {\left( {2r} \right)^2}2r = 8\pi {r^3} = 120 \Leftrightarrow {r^3} = \dfrac{{120}}{{8\pi }} = \dfrac{{15}}{\pi }\).

Vậy thể tích mỗi khối cầu là \({V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi .\dfrac{{15}}{\pi } = 20\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa \(A,\,\,B\).

Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên đường tròn đáy chứa điểm \(B\).

Ta có \(AA'\parallel OO' \Rightarrow OO'\parallel \left( {AA'B} \right) \supset AB\) \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(A'B\), ta có \(O'H \bot A'B\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'H \bot \left( {AA'B} \right)\)  \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = OH = \dfrac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'HB\) có \(HB = \sqrt {O'{B^2} - O'{H^2}}  = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow A'B = 2HB = \sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  có: \(AA' = \sqrt {A{B^2} - A'{B^2}}  = \sqrt {6 - 3}  = \sqrt 3 \).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.\sqrt 3  = \pi \sqrt 3 \).

Tập hợp các điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho \({a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8\) là khối trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt 2 \), chiều cao \(h = 16\).

Do đó thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.16 = 32\pi \).

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có \({S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi  = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8\).

Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\), do đó \(r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4\) \( \Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'\).

Theo bài ra ta có: \(\angle AOB = {120^0}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {120^0}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3  = 2.\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3  + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \).

Giả sử thiết diện qua trục là hình chữ nhật \(ABCD\), ta có \(AD = h = 3,\,\,AB = 2r = 2\).

Vậy \({S_{ABCD}} = 3.2 = 6\).