Khái niệm về mặt tròn xoay

Đường tròn $(C_M)$ là đường tròn đi qua điểm $M$.

Vì $N\in (C_M)$ nhưng $MN$ chưa chắc là đường kính nên A sai.

Ngoài ra $d\left( {M,\Delta } \right)=MO=NO = d\left( {N,\Delta } \right)$

$\Delta$ vuông góc với mp chứa $(C_M)$ nên vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mp này.

Do đó $\Delta \bot  MN$

Tam giác vuông AOM = AON (hai cạnh góc vuông) nên $AM = AN$

Vậy các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án A sai vì nếu $d\left( {M,\Delta } \right) \ne d\left( {N,\Delta } \right)$ thì điểm $M \notin \left( {{C_N}} \right)$ và $N \notin \left( {{C_M}} \right)$ nên không có đường tròn thỏa mãn.

Đáp án B sai vì nếu $d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {N,\Delta } \right)$ nhưng $MN$ không vuông góc $\Delta$ thì $MN$ không thuộc đường tròn nhận $\Delta$ làm trục.

Đáp án C sai vì chưa chắc $MN$ có vuông góc $\Delta$ hay không, hoặc $d\left( {M,\Delta } \right)$ và $d\left( {N,\Delta } \right)$ có bằng nhau hay không.

Đáp án D đúng vì gọi $\left( {{C_M}} \right)$ là đường tròn qua $M$ và nhận $\Delta$ làm trục; gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta$ thì $\left( {{C_M}} \right) \subset \left( P \right)$

Nếu $MN \bot \Delta$ thì $\left( P \right)$ đi qua $N$.

Mặt khác $d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {N,\Delta } \right)$ nên $N$ nằm trên đường tròn $\left( {{C_M}} \right)$.

Dựa vào định nghĩa ta thấy các đáp án A, B, C đều là các đường nên khi quay chúng quanh đường thẳng ta được mặt tròn xoay.

Đáp án D là một điểm nên khi quay ta chỉ được một đường tròn, do đó nó không là mặt tròn xoay.

Đáp án A: Quay elip quanh trục đối xứng của nó ta được mặt tròn xoay nhưng không phải mặt cầu.

Đáp án B: Quay parabol quanh trục đối xứng của nó ta được mặt tròn xoay mà không phải mặt cầu.

Đáp án C: Quay đường tròn quanh đường kính của nó ta được mặt cầu.

Đáp án D: Quay nửa đường tròn quanh trục đối xứng của nó ta chỉ được nửa mặt cầu.

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hai đường thẳng $d,d'$ cắt nhau tại $O$ và tạo thành góc $\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)$. Khi quay mặt phẳng $\left( P \right)$ xung quanh $d$ thì đường thẳng $d'$ sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón).

Do đó điều kiện để có được mặt nón tròn xoay là góc ${0^0} < \alpha  < {90^0}$.

$\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d,d'$ thì góc $2\alpha$ là góc ở đỉnh của mặt nón.

Quan sát hình vẽ ta thấy đường sinh là $AB$ và đường cao $AO$.

Quay tam giác vuông $ABC$ quanh cạnh huyền $BC$ ta được hai hình nón.

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

- Quay tam giác vuông $ABO$ quanh $BO$ ta được một hình nón.

- Quay tam giác vuông $DCO$ quanh $CO$ ta được một hình nón.

Vậy có tất cả hai hình nón được tạo thành.

Khi quay đường thẳng $d$ quanh một đường thẳng $\Delta //d$ thì ta được mặt trụ có trục $\Delta$ và đường sinh $d$.

- Quay hình chữ nhật quanh một cạnh thì ta được hình trụ nên loại đáp án C và B vì có các đường chéo.

- Do $AB \ne AD$ nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao khác nhau.

- Do $AD = BC$ nên hai hình trụ tạo thành có chiều cao bằng nhau.

Quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AD$ thì được hình trụ có chiều cao $AD$, đường sinh $BC$ và bán kính đáy $AB,CD$.

Do đó $CD$ được gọi là bán kính đáy.

Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật $MNPQ$ quanh đường trung bình $AB$ ta sẽ được hình trụ có đường cao $AB$, đường sinh $MQ,NP$ và bán kính đáy $MA,NA,BP,BQ$, đường kính đáy $MN,PQ$.

Do đó đường kính đáy của hình trụ là $MN$.

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng vuông góc với đáy ta được đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt trụ.

Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng tạo với trục một góc $\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right)$ thì ta được elip.

Khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục mà khoảng cách giữa $\left( \alpha  \right)$ và trục nhỏ hơn bán kính hình trụ thì ta được thiết diện là hình chữ nhật.

Quan sát hình vẽ ta thấy, khi quay hình vẽ ban đầu quanh đường thẳng $d$ thì ta được hình trụ nội tiếp hình cầu hoặc hình cầu ngoại tiếp hình trụ.

Quan sát hình vẽ ta thấy hình trụ nội tiếp mặt cầu, hình nón nội tiếp mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp hình nón nên các đáp án A, C và D đúng.

Ngoài ra hình nón không nội tiếp hình trụ vì hình trụ không đi qua đỉnh hình nón.