Cho hai điểm \(M,N\) và đường thẳng \(\Delta \). Chỉ cần điều kiện nào sau đây là đủ để tồn tại một đường tròn duy nhất đi qua cả \(M,N\) và nhận \(\Delta \) làm trục?

Đáp án A sai vì nếu \(d\left( {M,\Delta } \right) \ne d\left( {N,\Delta } \right)\) thì điểm \(M \notin \left( {{C_N}} \right)\) và \(N \notin \left( {{C_M}} \right)\) nên không có đường tròn thỏa mãn.

Đáp án B sai vì nếu \(d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {N,\Delta } \right)\) nhưng \(MN\) không vuông góc \(\Delta \) thì \(MN\) không thuộc đường tròn nhận \(\Delta \) làm trục.

Đáp án C sai vì chưa chắc \(MN\) có vuông góc \(\Delta \) hay không, hoặc \(d\left( {M,\Delta } \right)\) và \(d\left( {N,\Delta } \right)\) có bằng nhau hay không.

Đáp án D đúng vì gọi \(\left( {{C_M}} \right)\) là đường tròn qua \(M\) và nhận \(\Delta \) làm trục; gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) thì \(\left( {{C_M}} \right) \subset \left( P \right)\)

Nếu \(MN \bot \Delta \) thì \(\left( P \right)\) đi qua \(N\).

Mặt khác \(d\left( {M,\Delta } \right) = d\left( {N,\Delta } \right)\) nên \(N\) nằm trên đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\).