Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sin \alpha \\y = {\rm{cos}}\alpha \end{array} \right.\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}} \right)\)

Đặt \(t = \dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}} \right) = f\left( t \right)\)

\(t = \dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}\,\,\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow t\sin \alpha  + t{\rm{cos}}\,\alpha  - 2t = \sin \alpha  + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha  + t\,{\rm{cos}}\,\alpha  = 2t + 1\) (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \(\alpha \) thì \({\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1\)\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le t \le 0\)

Xét \(Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\), có: \(f'\left( t \right) = 4{t^3} - 2t,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  \pm \sqrt {\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;0} \right]\), có \(f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right) = \dfrac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\)\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\)

\( \Rightarrow \)M + m\( = \dfrac{7}{4} + 74 = \dfrac{{303}}{4}\).

Đặt \(M\left( {x;\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {M;Ox} \right) = \left| {{y_M}} \right| = \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right|\\d\left( {M;Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right| = \left| x \right|\end{array} \right.\)

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là \(S = \left| x \right| + \left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| \ge \left| {x + \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right|.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x.\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - 1 \le x \le 0\end{array} \right.\)

Đặt \(f\left( x \right) = x + \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\left| {x + \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| \ge \left| {2 - 2\sqrt 2 } \right| = 2\sqrt 2  - 2.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1 - \sqrt 2  \Rightarrow y = 1 - \sqrt 2  \Rightarrow {x_M} + {y_M} = 2 - 2\sqrt 2 .\)

Khảo sát hàm số \(y =  - {x^3} + 3x\) trên \(\left[ {0;3} \right]\).

+ \(y' =  - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

+ BBT:

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\).

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}\) ta có \(m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 2x\), với \(x \in \left( {1;2} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\2x > 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \) hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) + 1\).

Vậy \(m \le f\left( 1 \right) + 1\).

Bước 1: Tìm m để \(\left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| + 9x \le 60\)\(,\forall x \in [0;3]\)

Vì giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên đoạn [0; 3] bằng 60 nên ta có:

\(\left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| + 9x \le 60\)\(,\forall x \in [0;3]\)

\( \Leftrightarrow \left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| \le 60 - 9x\)\(,\forall x \in [0;3]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} - 15x + m - 5 \le 60 - 9x,}&{\forall x \in [0;3]}\\{2{x^3} - 15x + m - 5 \ge 9x - 60,}&{\forall x \in [0;3]}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - 2{x^3} + 6x + 65,\quad \forall x \in [0;3]}\\{m \ge  - 2{x^3} + 24x - 55,\quad \forall x \in [0;3]}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le {{\min }_{[0;3]}}\left( { - 2{x^3} + 6x + 65} \right)}\\{m \ge {{\max }_{[0;3]}}\left( { - 2{x^3} + 24x - 55} \right)}\end{array}} \right.\)

Dễ dàng tìm được \({\min _{[0;3]}}\left( { - 2{x^3} + 6x + 65} \right) = 29\) và \({\max _{[0;3]}}\left( { - 2{x^3} + 24x - 55} \right) =  - 23\), do đó \( - 23 \le m \le 29.\)

Bước 2: Tính tổng các giá trị

Dấu bằng của phương trình \(f(x) = 60\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 29}\\{m =  - 23}\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu và tổng của chúng bằng 6.

Bước 1: Đặt tên các điểm

Giả sử, ta đặt tên các điểm và góc như hình vẽ.

Ta có \(AM = \dfrac{1}{{2\cos \alpha }};MB = \dfrac{4}{{\sin \alpha }}\) với \(\alpha  \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Bước 2: Tính min chiều dài của thang \(l\left( \alpha  \right)\)

Chiều dài của thang là

\(l\left( \alpha  \right) = AB = AM + MB\)\( = \dfrac{4}{{\sin \alpha }} + \dfrac{1}{{2\cos \alpha }}\)

\( \Rightarrow l'\left( \alpha  \right) = \dfrac{{ - 8{{\cos }^3}\alpha  + {{\sin }^3}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}\)

\( \Rightarrow l'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \tan \alpha  = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \alpha  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.\)

Thay \(\sin \alpha  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\) và \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) vào \(l\left( \alpha  \right)\) ta có:

\(l\left( \alpha  \right) = 2\sqrt 5  + \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{2}\)

Chiều dài nhỏ nhất của thang là \(\min l(\alpha ) = 2\sqrt 5  + \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{2}\).

TH1: Đặt \(AM = x{\rm{. }}\)

Xe cứu hộ đi theo hướng \({\rm{AMO }}\)

Thời gian đi của xe là:

\(t\left( x \right) = \dfrac{{AM}}{{20}} + \dfrac{{MO}}{{12}}\)

\( = \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {{{300}^2} + {{(800 - x)}^2}} }}{{{1^2}}}\)

\( = \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1600x + 730000} }}{{12}}\)

Ta có:

\({t^\prime }(x) = \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{1}{{12}} \cdot \dfrac{{2x - 1600}}{{2\sqrt {{x^2} - 1600x + 730000} }} = 0\)

\( \Rightarrow x = 575\)

\( \Rightarrow {t_{\min }} = t(525) = 60{\rm{ (s)}}\)

TH2: Đặt \(AN = x\)

Xe cứu hộ đi theo hướng ANO.

Thời gian đi của xe là:

\(t\left( x \right) = \dfrac{{AN}}{{20}} + \dfrac{{NO}}{{12}}\)

\( = \dfrac{x}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {{{800}^2} + {{(300 - 2)}^2}} }}{{12}}\)

\({t^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x =  - 300{\rm{ (s)}}\)(loại)

Vậy thời gian nhanh nhất xe đi đến tâm là 60(s).

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

\(h\) là chiều cao của khối chóp, \(h'\) là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Ta có: \(x + 2h' = a\)\( \Rightarrow h' = \dfrac{{a - x}}{2}\)

Ta có: \({h^2} + {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow h = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a - x}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}{2}\)

Thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}{2}.{x^2}\)

\( = \dfrac{1}{6}\sqrt { - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}} \)

Bước 2: Tìm max của \(f\left( x \right) =  - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}\) với x>0

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}\) với x>0

\({V_{\max }} \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\max }}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 10a{x^4} + 4{a^2}{x^3}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2a}}{5}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \max f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{2a}}{5}} \right) = \dfrac{{16{a^6}}}{{3125}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{2a}}{5}\)

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ

\( \Rightarrow\) Diện tích phần không bị bỏ là:

\(S = {x^2} + 4.\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{{a - x}}{2} = \dfrac{{2{a^2}}}{5}\)

Diện tích bị bỏ là \(\dfrac{{3{a^2}}}{5}\)