Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Giả sử chia số $48$ thành ba phần $x,\,y,\,z,t$ tỉ lệ với các số $3;5;7;9$

Ta có $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9}$ và $x + y + z + t = 48$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{3 + 5 + 7 + 9}} = \dfrac{{48}}{{24}} = 2$

Do đó $\dfrac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6$ ; $\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10;$$\dfrac{z}{7} = 2 \Rightarrow z = 14$; $\dfrac{t}{9} = 2 \Rightarrow t = 18.$

Vậy các số cần tìm là $6;10;14;18.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \dfrac{{ - 90}}{{10}} =  - 9$

Do đó $\dfrac{x}{2} =  - 9 \Rightarrow x =  - 18$

$\dfrac{y}{3} =  - 9 \Rightarrow y =  - 27$

$\dfrac{z}{5} =  - 9 \Rightarrow z =  - 45$

Vậy số lớn nhất trong ba số trên là $x =  - 18.$

Ta có $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}$$\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \dfrac{9}{9} = 1$

Do đó $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow$$x = 5$ hoặc $x =  - 5$

$\dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow$$y = 4$ hoặc $y =  - 4$

Lại có $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}$ nên $x,y$ cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là $x = 5;y = 4$ hoặc $x =  - 5;y =  - 4.$

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{3}$$\Rightarrow \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{5x - 2y}}{{5.7 - 2.3}} = \dfrac{{87}}{{29}} = 3$

Do đó $\dfrac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 21$ và $\dfrac{y}{3} = 3 \Rightarrow y = 9$

Vậy $x = 21;y = 9.$

Đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k$ ta có $x = 2k;\,y = 5k$

Nên $x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1$ $\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 2;y = 5$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 2;y =  - 5$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 2;y = 5$ từ đó $x - y = 2 - 5 =  - 3.$

Ta có $2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{7}$)

Và $5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}$ $\Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{2}$)

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$$= \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2$

Do đó $\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42$; $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và $\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20$

Khi đó $a + b - c = 42 + 28 - 20 = 50.$

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của $(1)$ lần lượt với $- 3; - 4;5$ ta được

$\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}$$= \dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}$ $= \dfrac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \dfrac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}$

$= \dfrac{{50 - 34}}{8} = \dfrac{{16}}{8} = 2$

Do đó $\dfrac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5$

$\dfrac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5$

$\dfrac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17$

Vậy $x = 5;y = 5;z = 17.$

Nửa chu vi hình chữ nhật là $40:2 = 20\,m$

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là $x;y\left( {0 < x < y} \right)$

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$ và $x + y = 20$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{x + y}}{{2 + 3}} = \dfrac{{20}}{5} = 4$

Do đó $x = 4.2 = 8$ và $y = 3.4 = 12$

Diện tích hình chữ nhật là $8.12 = 96\,\left( {{m^2}} \right)$

Gọi số cần tìm là $\overline {abc}$ $\left( {0 < a \le 9;0 \le b,c \le 9;\,c \ne 0;a;b;c \in \mathbb{N}} \right)$

Vì các chữ số của nó theo thứ tự từ hàng trăm đến hàng đơn vị tỉ lệ với ba số $1; 2;$$3$  nên ta có

$\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3}$

Đặt $\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = k\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ $\Rightarrow a = k;b = 2k;c = 3k$

Vì số đã cho là chẵn nên $c \in \left\{ {2;4;6;8} \right\},$ mà $c = 3k$ nên $c = 6$

Với $c = 6 \Rightarrow k = 2$ khi đó $a = 2;b = 4$

Số cần tìm là $246$

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}$ và $x + y + z = 120$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10$

Do đó $x = 4.10 = 40\,m$; $y = 5.10 = 50m$; $z = 3.10 = 30\,m$.

Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài $30\,m.$

Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo bài ra ta có $x + y + z = 153$; $y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y$

Suy ra $9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}$ ; $16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}$

Nên $\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$$= \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3$

Do đó:

$x = 18.3 = 54$; $y = 16.3 = 48$; $z = 17.3 = 51$

Số học sinh lớp $7A$ là $54$ học sinh.

Ta có $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Mặt khác $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{5a}}{{5c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \dfrac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}$

Từ $\dfrac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \dfrac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \dfrac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{y}{{x - z}} = \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{x}{y}$$= \dfrac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \dfrac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2$

Vậy $\dfrac{x}{y} = 2.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1$

Suy ra $a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018$

Vậy $b = c = 2018.$

Ta có ${a_2}^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}},$${a_3}^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}$

Nên $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}$ , từ đó $\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}}$

Mà $\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}$  nên $\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\,\left( 1 \right)$

Lại có, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì $\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}$

Suy ra $\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}} = {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3}$

Mà $\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a.b.c}}{{b.c.d}} = \dfrac{a}{d}$

Do đó ${\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \dfrac{a}{d}$.