Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của \(\Delta ABH\), \(\Delta ACH\), E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chọn câu đúng.
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {HBA} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HBA}\left( 1 \right)\)
Mặt khác, $BI$ là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {gt} \right)\) và $E$ thuộc $BI$ nên suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\left( 2 \right)\)(tính chất tia phân giác)
+) $AJ$ là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {JAC} = \dfrac{{\widehat {HAC}}}{2}\left( 3 \right)\)(tính chất tia phân giác)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {JAC}\).
Xét \(\Delta ABE\)có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BAE} = \widehat {JAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta AEB\) vuông tại $E.$
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Tính số đo góc \(\widehat {IFK}.\)
\(H\) là giao của hai đường cao \(BE;\,CF\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(D\) là giao của \(AH\) và \(BC\) nên \(AD\, \bot BC.\)
Xét \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FI\) nên \(FI = IA = \dfrac{1}{2}AH\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FAI\) cân tại \(I\) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF}\) (1)
Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\), đường trung tuyến \(FK\) nên \(FK = BK = \dfrac{1}{2}BC\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Do đó \(\Delta FBK\) cân tại \(K\) suy ra \(\widehat {KFB} = \widehat {KBF}\) (2)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IFA} + \widehat {KFB} = \widehat {IAF} + \widehat {KBF} = \widehat {DAB} + \widehat {DBA} = {90^o}.\)
Ta có: \(\widehat {IFA} + \widehat {IFK} + \widehat {KFB} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {IFK} = {180^o} - \left( {\widehat {IFA} + \widehat {KFB}} \right) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\).
Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE;CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AH\) và \(K\) là trung điểm cạnh \(BC.\)
Biết \(AH = 6cm,BC = 8cm.\) Tính \(IK.\)
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {IFK} = {90^o}\) hay \(\Delta IFK\) vuông tại \(F\) và \(FI = \dfrac{1}{2}AH;\,FK = \dfrac{1}{2}BC.\)
Ta có: \(FI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,FK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm).\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(IFK\) ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = F{I^2} + F{K^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow IK = \sqrt {25} = 5\,\left( {cm} \right).\end{array}\).
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu sai.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(I\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Chọn câu đúng nhất.
\(\Delta ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^o}\,(gt)\) nên \(\widehat {BAC} = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - {60^o} = {120^o}\) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(AD\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \dfrac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\).
\(\widehat {EAB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {EAB} = \widehat B + \widehat C = {60^o}.\)
Do đó \(\widehat {EAB} = \widehat {{A_1}} = {60^o}.\)
\(\Delta EAI\) cân tại \(A\) (vì \(AE = AD\,(gt)\)) mà \(AB\) là phân giác nên \(AB\) là đường trung trực của \(IE.\)
Ta có:\(\widehat {FAC} = \widehat {EAB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {FAC} = {60^o}.\)
Do đó \(AC\) là phân giác của \(\widehat {FAI}\).
\(\Delta FAI\) cân tại \(A\) (vì \(AI = \,AF\,(gt)\)) mà \(AC\) là phân giác nên \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vậy cả A, B, C đều đúng.
Cho tam giác \(ABC\) có: \(\widehat B + \widehat C = {60^0}.\) Trên đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) lấy điểm \(I.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AI.\) Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AI.\)
Tam giác \(IEF\) là tam giác gì?
Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(AB\) là đường trung trực của \(IE\), \(AC\) là đường trung trực của \(IF.\)
Vì \(E\) nằm trên đường trung trực của \(IF\) nên \(EF = EI\) (tính chất đường trung trực) (1)
Vì \(F\) nằm trên đường trung trực của \(IE\) nên \(EF = FI\) (tính chất đường trung trực) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\(EF = EI = FI\) do đó \(\Delta IEF\) là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(F\), kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(E\).
Vì \(AE//HF\) (cách vẽ) nên \(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Vì \(AF//HE\) (cách vẽ) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\) (hai góc so le trong bằng nhau)
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta HFA\) có:
\(AH\) cạnh chung
\(\widehat {EAH} = \widehat {FHA}\,\,(cmt)\)
\(\widehat {AHE} = \widehat {HAF}\,\,(cmt)\)
\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta HFA\,(g.c.g)\)
\( \Rightarrow EH = AF;\,AE = HF\) (hai cạnh tương ứng).
Vì \(BH \bot AC\) và \(FH//AC\) nên \(BH \bot FH\).
Ta có: \(BF;\,BH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(B\) đến \(FH\) nên \(BF > BH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Vì \(CH \bot AB\) và \(EH//AB\) nên \(CH \bot EH\).
Ta có: \(CE;\,CH\) lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(EH\) nên \(CE > CH\) (quan hệ đường xiên – đường vuông góc).
Xét \(\Delta AEH\) có: \(AE + EH > HA\) (bất đẳng thức tam giác)
Ta có: \(AB + AC = AF + FB + AE + EC\)
\( \Rightarrow AB + AC = EH + FB + AE + EC\) (vì \(AF = EH\,(cmt)\))
\( \Rightarrow AB + AC = \left( {AE + EH} \right) + FB + EC > HA + HB + HC\).
Vậy \(AB + AC > HA + HB + HC\).
