Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 10;\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 18;\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = 7\). Giá trị của \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = 10 - 7 - 18 = - 15 \Rightarrow \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = 15\end{array}\)
Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 3,\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 7\). Chọn khẳng định sai?
Ta có: \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 10\) nên A đúng.
\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\) nên C đúng, B sai.
\(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = - 2\) nên D đúng.
Giả sử \(A,B\) là các hằng số của hàm số \(f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}\). Biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\), giá trị của \(B\) là:
Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B{x^2}} \right)dx} = 4 $
$\Leftrightarrow \left. {\left( { - \dfrac{A}{\pi }\cos \pi x + \dfrac{B}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^2 = 4 \Leftrightarrow \dfrac{B}{3}{.2^3} = 4 \Leftrightarrow B = \dfrac{3}{2}$
Nếu \(\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} \) và \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} \) thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} \)
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 36\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx - \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} = 36 - 5\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]dx} = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {dx} = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \left. x \right|_0^1 = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 1 = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 30 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 10.\end{array}\)
Giá trị của \(b\) để \(\int\limits_1^b {\left( {2x - 6} \right)dx} = 0\) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_1^b {\left( {2x - 6} \right)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_1^b {2xdx} - \int\limits_1^b {6dx} = 0 \Leftrightarrow \left. {{x^2}} \right|_1^b - \left. {6x} \right|_1^b = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} - 1 - 6b + 6 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 6b + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Nếu \(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)\) thì giá trị của \(a\) là:
Ta có:
\(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} {\rm{\;}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left. {\sin x} \right|_0^a - \left. {\cos x} \right|_0^a = 0\) \( \Leftrightarrow \sin a - \cos a + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin a - \cos a = - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\sin a - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\cos a = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin a.\cos \dfrac{\pi }{4} - \cos a.\sin \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - \dfrac{\pi }{4} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{a - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
$\Leftrightarrow a = \dfrac{{3\pi }}{2}\left( {0 < a < 2\pi } \right)$
Nếu \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} \) được viết dưới dạng \(\ln \dfrac{a}{b}\) với \(a,b\) là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của \(a,b\) là \(1\). Chọn khẳng định sai:
Ta có: \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} = \left. {\ln \left| {x + 3} \right|} \right|_1^2 = \ln 5 - \ln 4 = \ln \dfrac{5}{4}\)
Do đó \(a = 5,b = 4\).
Khi đó: \(3a - b = 3.5 - 4 = 11 < 12\) nên A đúng.
\(a + 2b = 5 + 2.4 = 13\) nên B đúng.
\(a - b = 5 - 4 = 1 < 2\) nên C sai.
\({a^2} + {b^2} = {5^2} + {4^2} = 41\) nên D đúng.
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 \)
$= \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{3}{2}$
Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} $
$I = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} = - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} $
= $\left. { - \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = - \left( {\dfrac{8}{3} - 6 + 4} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2} \right) = \dfrac{1}{6}$
Tập hợp nghiệm của phương trình $\int\limits_0^x {\sin 2tdt = 0} $ (ẩn $x$) là:
$\int\limits_0^x {\sin 2tdt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^x {\sin 2td(2t)} = - \dfrac{1}{2}\left. {\cos 2t} \right|_0^x = - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos 0} \right) = - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2}$
Khi đó $ - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị thực của $x$: $\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt \ge - 1} $
$\int\limits_0^x {\left( {\dfrac{1}{2}t + 2\left( {a + 1} \right)} \right)dt} = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{4} + 2(a + 1)t} \right)} \right|_0^x = \dfrac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x$
Bất phương trình: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2(a + 1)x \ge - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 8(a + 1)x + 4 \ge 0$ đúng với mọi giá trị thực của $x$ khi và chỉ khi: $64{\left( {a + 1} \right)^2} - 16 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le a + 1 \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} \le a \le - \dfrac{1}{2}$
Cho \(I = \int_0^1 {(mx - {e^x})dx} \). Tìm các giá trị của $m$ để \(I \ge 1 + e\)
\(I=\int_0^1 {\left( {mx - {e^x}} \right)dx }\) \(= \left. {\left( {\dfrac{{m{x^2}}}{2} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 \) \(= \dfrac{m}{2} - e + 1 \ge 1 + e \) \(\Rightarrow m \ge 4e\)
Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x \le 1\\2 - x\,\,\,\,khi\,\,1 \le x \le 2\end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_0^2 {f(x)dx} $.
\(\int\limits_0^2 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)} dx = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\) .
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + xf\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\) với mọi \(x > 0\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} \).
Ta có: \(2f\left( x \right) + xf\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = x\), với \(x = \dfrac{1}{t}\) ta có \(2f\left( {\dfrac{1}{t}} \right) + \dfrac{1}{t}f\left( t \right) = \dfrac{1}{t}\) \( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{t}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{t}f\left( t \right)} \right)\)
\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x}f\left( x \right)} \right)\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}2f\left( x \right) + \dfrac{1}{2}x\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = x\\ \Leftrightarrow 2f\left( x \right) + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}f\left( x \right) = x\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}f\left( x \right) = x - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{9}{8} \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian \(t\) là \(v = f\left( t \right)\,\,\left( {m/s} \right)\). Gọi \(F\left( t \right)\) và \(g\left( t \right)\) lần lượt là nguyên hàm và đạo hàm của \(f\left( t \right)\). Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = a\,\,\left( s \right)\) đến thời điểm \(t = b\,\,\left( s \right)\) bằng:
Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = a\,\,\left( s \right)\) đến thời điểm \(t = b\,\,\left( s \right)\) bằng:
\(s\left( t \right) = \int\limits_a^b {v\left( t \right)dt} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \)\(= F\left( b \right) - F\left( a \right)\) (do Gọi \(F\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( t \right)\)).
Nếu \(\int_2^5 f (x){\rm{d}}x = 3\) và \(\int_2^5 g (x){\rm{d}}x = - 2\) thì \(\int\limits_2^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
Ta có: \(\int\limits_2^5 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {g\left( x \right)dx} \)\( = 3 + \left( { - 2} \right) = 1\)
Nếu \(\int_2^5 f (x){\rm{d}}x = 2\) thì \(\int_2^5 3 f(x){\rm{d}}x\) bằng
\(\int_2^5 3 f(x){\rm{d}}x = 3\int_2^5 f (x){\rm{d}}x = 3.2 = 6\)
Nếu \(\int_1^3 f (x){\rm{d}}x = 2\) thì \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]} \) bằng
Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx} = 10\)
