Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;−3;4), đường thẳng d:x−12=y+21=z2 và mặt cầu (S):(x−3)2+(y−2)2+(z+1)2=20. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất. Mặt cầu (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng :
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và d ta có AH≤AK, khi đó mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất ⇔(P) nhận →AK là 1 VTPT.
Gọi K(1+2t;−2+t;2t)∈d⇒→AK=(2t−1;t+1;2t−4).
→ud(2;1;2) là 1 VTCP của d.
⇒→AK.→ud=0⇔4t−2+t+1+4t−8=0⇔9t−9=0⇔t=1⇒K(3;−1;2)⇒→AK=(1;2;−2)
⇒(P):x−3+2(y+1)−2(z−2)=0⇔x+2y−2z+3=0.
Mặt cầu (S):(x−3)2+(y−2)2+(z+1)2=20 có tâm I(3;2;−1), bán kính R=√20=2√5.
Ta có: d=d(I;(P))=|3+2.2−2(−1)+3|√1+4+4=123=4.
Gọi r là đường kính đường tròn giao tuyến của (P) và (S) ta có:
R2=d2+r2⇔r=√R2−d2=√20−16=2.
Cho mặt cầu (S) có đường kính 10 cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?
Mặt cầu (S) có đường kính là 10cm bán kính R=5cm.
Mà khoảng cách từ tâm của mặt cầu và mặt phẳng (P) là d=4cm<R.
Do đó mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=√R2−d2=3(cm).
Vậy trong 4 đáp án chỉ có đáp án C sai.
Cho hình cầu bán kính bằng 2a. Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong hình cầu đã cho là:
Gọi H là tâm mặt đáy. Đặt IH=h
Bán kính mặt đáy: r=√R2−h2
Thể tích khối trụ nội tiếp là: V=πr2.2h=π(R2−h2).2h
⇒Vmax \Rightarrow {V_{{\rm{max }}}} = \dfrac{{4{R^3}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{4 \cdot {{(2a)}^3}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{32{a^3}\sqrt 3 }}{9}
