Lôgarit - Định nghĩa và tính chất

Áp dụng công thức ${\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1\left( {0 < a,b \ne 1} \right)$ ta được:

${\log _2}3 = \dfrac{1}{{{{\log }_3}2}}$ nên D đúng.

Từ công thức ${\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)$ ta thấy chỉ có đáp án B đúng.

Ta có:

${\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b;{\log _a}\sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b$ nên ${\log _{{a^n}}}b = {\log _a}\sqrt[n]{b}$  (C đúng)

Mặt khác: ${\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b;{\log _{{b^n}}}a = \dfrac{1}{n}{\log _b}a$ nên các đáp án A, B, D đều sai.

Ta có: ${\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}81 = {\log _{{{\sqrt 3 }^{ - 1}}}}{3^4} =  - {\log _{\sqrt 3 }}{3^4}$

$=  - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^4} =  - \dfrac{1}{{1/2}}{\log _3}{3^4} =  - 2{\log _3}{3^4} =  - 2.4 =  - 8$

Ta có: ${\log _a}\sqrt {a\sqrt {a\sqrt[3]{a}} }  = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{3}}}} }  = {\log _a}\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{4}{3}}}} }  = {\log _a}\sqrt {a.{a^{\frac{2}{3}}}}$

$= {\log _a}\sqrt {{a^{\frac{5}{3}}}}  = {\log _a}{a^{\frac{5}{6}}} = \dfrac{5}{6}$

Nếu $a > 1$ và $b > c > 0$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c$.

Vì $a > 1$ và $0 < b < 1$ nên ${\log _a}b < {\log _a}1 = 0 \Rightarrow {\log _a}b < 0$.

Vì $3 > 1$ nên để ${\log _3}a < 0$ thì $0 < a < 1$.

${\log _2}\dfrac{a}{2} = {\log _2}a - {\log _2}2 = {\log _2}a - 1$