Hàm số lũy thừa

Các hàm số ở mỗi đáp án A, B, D đều là hàm số lũy thừa.

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = R\) với mọi \(\alpha \) nguyên dương nên A và B sai.

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) với mọi \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha  = 0\) nên C sai.

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có TXĐ \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \) không nguyên nên D đúng.

Vì hàm số \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) có số mũ không nguyên nên cơ số phải dương, hay \(x > 0\).

Ta có: \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha  - 1}}\)

Vì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x > 0\) nên \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) chỉ đúng nếu \(x > 0\).

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha  > 0\) nên A và C sai.

Hàm số \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha  \ne 0} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha  < 0\) nên B đúng, D sai.

Với \(\alpha  = 1\) thì \(y = {x^1} = x\) nên đồ thị hàm số là đường thẳng.

Từ hình vẽ ta thấy \(1 < {2^\alpha } < 2 \Rightarrow 0 < \alpha  < 1\)

.

+ Hàm số \(y = {x^{e - 3}}\) có \(\alpha  = e - 3\) không nguyên, suy ra tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow C$ đúng

+ Hàm số đi qua điểm $(1;1)$ suy ra A đúng

+ \(y' = (e - 3).{x^{e - 4}} < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow B\) sai

+ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận $Ox, Oy $ suy ra D đúng

Hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\) xác định khi \({x^3} - 27 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).

Hàm số \(y = {\left( {{x^4} - 3{x^2} - 4} \right)^{ - 2}}\) xác định khi \({x^4} - 3{x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 2\)

\(P = {x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^{1 + \dfrac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} = {x^{1 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}}}} = {x^{1 + {{\log }_x}2}} = {x^{{{\log }_x}2x}} = 2x\\{8^{\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{3.\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{\dfrac{1}{{{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{{{\log }_2}{x^2}}} = {x^2}\end{array}\)

Khi đó \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1 = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1 = x \Rightarrow f\left( x \right) = x\)

Do đó \(P = f\left( {f\left( {2018} \right)} \right) = f\left( {2018} \right) = 2018\).

Ta có:

\(y' = \left[ {{{\left( {2{x^2} + x - 1} \right)}^{\dfrac{2}{3}}}} \right]' = \dfrac{2}{3}{\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}}\left( {2{x^2} + x - 1} \right)' \)

$= \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{2{x^2} + x - 1}}}}\left( {4x + 1} \right) = \dfrac{{2\left( {4x + 1} \right)}}{{3\sqrt[3]{{2{x^2} + x - 1}}}}$

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có:

\(y' = f'\left( x \right) = \left[ {{{\left( {{x^2} + x - 2} \right)}^{\dfrac{2}{3}}}} \right]' = \dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} + x - 2} \right)'\)

$ = \dfrac{2}{3}{\left( {{x^2} + x - 2} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right) = \dfrac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{3\sqrt[3]{{{x^2} + x - 2}}}},\forall x \in D$.

Do đó:

\(f'\left( 2 \right) = \dfrac{{10}}{{3\sqrt[3]{4}}};f'\left( { - 3} \right) =  - \dfrac{{10}}{{3\sqrt[3]{4}}};f'\left( 3 \right) = \dfrac{{14}}{{3\sqrt[3]{{10}}}}\)  và không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).

Ta thấy hàm số \(y = {x^a}\) nghịch biến nên \(a < 0\) nên loại C, D.

Kẻ đường thẳng \(y = 1\) cắt hai đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) tại hai điểm lần lượt có hoành độ \(x = b;x = c\). Quan sát đồ thị ta thấy \(b < c\).

Vậy \(a < b < c\).

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

- Với \(0 < x < 1\) thì \({x^a} < {x^b} < {x^c} < {x^1} \Leftrightarrow a > b > c > 1\)

- Với \(x > 1\) thì \(x < {x^c} < {x^b} < {x^a} \Rightarrow 1 < c < b < a\)

Vậy \(1 < c < b < a\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' =  - 2.{\left( {x + 2} \right)^{ - 3}}.\left( {x + 2} \right)' =  - 2{\left( {x + 2} \right)^{ - 3}}\\y'' =  - 2.\left( { - 3} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - 4}}\left( {x + 2} \right)' = 6{\left( {x + 2} \right)^{ - 4}}\\ \Rightarrow y'' = 6{y^2}\\ \Leftrightarrow y'' - 6{y^2} = 0\end{array}\)

Đồ thị hàm số không có tiệm cận là \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{\pi }{2}{x^{\frac{\pi }{2} - 1}} \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \dfrac{\pi }{2}\).

Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = {1^{\frac{\pi }{2}}} = 1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\) là: \(y = \dfrac{\pi }{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \dfrac{\pi }{2}x - \dfrac{\pi }{2} + 1\).