Số \(9465779232\) có bao nhiêu ước số nguyên dương?
Ta có: \(9465779232 = {2^5}{.3^6}{.7^4}{.13^2}\)
Như vậy số đã cho có số ước nguyên dương là: \(\left( {5 + 1} \right)\left( {6 + 1} \right)\left( {4 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 630\) ước.
Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\
{x.{y^2}.{z^3} = 1}
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.9^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.27^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.3^{2.\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.3^{3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}} = 6\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}}\\ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}\\ \ge 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^3}}}\\ = 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{{\left( {x.{y^2}.{z^3}} \right)}^2}}}}} = 6\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {y^2} = {z^2} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 1; - 1} \right);\left( { - 1;1; - 1} \right);\left( {1; - 1;1} \right);\left( {1;1;1} \right)} \right\}\).
Vậy có 4 bộ số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
