Xét các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z + 3i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 3 - 3i} \right|\) bằng
Bước 1: Tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {z + 3i} \right|\) và biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi \(A\left( {0;1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(i\)
\(B\left( {0; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \( - 3i\)
\(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\)
Khi đó \(\left| {z - i} \right| = \left| {z + 3i} \right|\) tương đương với điểm M là điểm thỏa mãn: MA=MB
Khi đó tập hợp điểm M là đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Gọi H là trung điểm của AB=>H(0;-1)
Ta có đường thẳng d: y=-1.
Bước 2: Biểu diễn số phức \({z_1} = - 2 + i;{z_2} = 3 + 3i\) trên mặt phẳng tọa độ và tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right|\)
Gọi C, D lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = - 2 + i;{z_2} = 3 + 3i\)
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MC+MD.
Lấy điểm D’ đối xứng D qua D.
\( \Rightarrow MC + MD = MC + MD' \le CD'\)
Đường thẳng DD’ qua D và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là:x=3
=> Giao điểm của DD’ và d là K(3;-1)
K là trung điểm của DD’ nên D’(3;-5)
\(CD' = \sqrt {{5^2} + {6^2}} = \sqrt {61} \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 3 - 3i} \right|\) là \(\sqrt {61} \)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{|z| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 5i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 5i} \right|^2}\) bằng
Giả sử \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\) và điều kiện
\(\begin{array}{l}|z| - z \ne 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} - \left( {x + yi} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} - x - yi \ne 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x \ne 0\left( {LD} \right)\\y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y \ne 0\end{array}\)
Ta có: \(w = \dfrac{1}{{|z| - z}} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) - yi}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)}^2} + {y^2}}}\) \( + \dfrac{y}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)}^2} + {y^2}}}i\)
Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{1}{8}\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\) \( = 2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
\( \Leftrightarrow 4\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\) \( = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 4}\\{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x = 0}(VN)\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16\)
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i\)
\( \Rightarrow x_1^2 + y_1^2 = 16;x_2^2 + y_2^2 = 16\)
Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = 4\)
Xét \(P = {\left| {{z_1} - 5i} \right|^2} - {\left| {{z_2} - 5i} \right|^2}\)
\( = x_1^2 + {\left( {{y_1} - 5} \right)^2} - x_2^2 - {\left( {{y_2} - 5} \right)^2}\)
\( = - 10\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le 10\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 10\sqrt {4 - {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \le 20\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2}\) và \(\left| {{y_1} - {y_2}} \right| = 2\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P = 20\).
