Tổng ba góc của một tam giác

Giả sử tam giác \(ABC\) có ba góc  bằng nhau \(\widehat A = \widehat B = \widehat C\)

Lại có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)\( \Rightarrow \widehat A + \widehat A + \widehat A = 180^\circ  \Rightarrow 3\widehat A = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ :3\)\( \Rightarrow \widehat A = 60^\circ .\)

Vậy \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ .\)

Ta có $x$ là số đo góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ nên 

\(x = \widehat A + \widehat B = {50^0} + {90^0} = {140^0}\).

Theo tính chất tổng 3 góc của tam giác ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}.\)

Theo đề bài ta có: \(\widehat A:\widehat B:\widehat C = 2:3:4 \Rightarrow \dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat B}}{3} = \dfrac{{\widehat C}}{4}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat B}}{3} = \dfrac{{\widehat C}}{4} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{2 + 3 + 4}} \\= \dfrac{{{{180}^0}}}{9} = {20^0}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {20^0}.2 = {40^0}\\\widehat B = {20^0}.3 = {60^0}\\\widehat C = {20^0}.4 = {80^0}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy các góc của tam giác ABC là: \(\widehat A = {40^0};\,\,\widehat B = {60^0};\,\,\widehat C = {80^0}.\)

Xét tam giác $ABC$  có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - {100^0} = {80^0}$(1)

Theo đề bài ta có:$\widehat B - \widehat C = {40^0}$ (2)

Từ (1) ta có: \(\widehat C = {80^0} - \widehat B.\)

Thế vào (2) ta được: \(\widehat B - \left( {{{80}^0} - \widehat B} \right) = {40^0} \Leftrightarrow 2.\widehat B = {40^0} + {80^0} \Leftrightarrow \widehat B = \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat C = {80^0} - {60^0} = {20^0}.\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat {BCA} = 180^\circ \)(định lý tổng ba góc trong tam giác) mà $\widehat A = {50^0},\widehat B = {70^0}.$ Suy ra \(\widehat {BCA} = 180^\circ  - 50^\circ  - 70^\circ  = 60^\circ .\)

Vì \(CM\) là tia phân giác của góc \(BCA\) nên \(\widehat {BCM} = \widehat {ACM} = \dfrac{{\widehat {BCA}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Ta có \(\widehat {AMC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của tam giác \(BCM\) nên ta có

\(\widehat {AMC} = \widehat B + \widehat {BCM} = 70^\circ  + 30^\circ  = 100^\circ \)

Lại có \(\widehat {AMC} + \widehat {BMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) suy ra \(\widehat {BMC} = 180^\circ  - \widehat {AMC} = 80^\circ .\)

Vậy \(\widehat {AMC} = 100^\circ ;\,\widehat {BMC} = 80^\circ .\)

Xét tam giác $ABC$  có \(\widehat B = {80^0}.\) Theo định lý về tổng ba góc trong tam giác ta có

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat C = 180^\circ  - \widehat B\)\( \Rightarrow \widehat A + \widehat C = 100^\circ .\)

Lại có \(3\widehat A = 2\widehat C \Rightarrow \dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat C}}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat C}}{3} = \dfrac{{\widehat A + \widehat C}}{{2 + 3}} = \dfrac{{100^\circ }}{5} = 20^\circ \)

Suy ra \(\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ .\)

Xét tam giác $ACF$  có :$\widehat A + \widehat {ACF} + \widehat {AFC} = {180^0} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {ACF} + {90^0} = {180^0}$

\( \Rightarrow \widehat {ACF} = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.\)

Xét \(\Delta IEC\) ta có: \(\widehat {IEC} + \widehat {ECI} + \widehat {EIC} = {180^0} \Leftrightarrow {30^0} + x + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow x = {180^0} - {30^0} - {90^0} = {60^0}.\)

Góc $BEC$  là góc ngoài ở đỉnh $E$  của tam giác $AEC$ nên \(\widehat {BEC} = \widehat A + \widehat {ABE} = {90^ \circ } + \widehat {ABE} > {90^ \circ }\)

Vậy góc $BEC$ là góc tù nên \(\widehat {BEC} > \widehat {EBA}\) và \(\widehat {BEC} > \widehat {ECB}.\)

Vậy A, C, D đúng, B sai.

Theo giả thiết \(\widehat C - \widehat B = {26^0}\).

Mặt khác do tam giác $ABC$  vuông tại $A$  nên \(\widehat B + \widehat C = {90^ \circ }\)

Từ đó ta có \(\widehat C = \dfrac{{90^\circ  + 26^\circ }}{2} = {58^0} \Rightarrow \widehat B = {32^0}\).

Do $BE$  là tia phân giác của góc $ABC$  nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = {16^0}\)

Sử dụng tinh chất góc ngoài của tam giác ta tìm được \(\widehat {AEB} = \widehat C + \widehat {{B_2}} = {58^0} + 16^\circ  = 74^\circ .\)

Và \(\widehat {BEC} = \widehat A + \widehat {{B_1}} = 106^\circ .\)

Vậy \(\widehat {AEB} = 74^\circ ;\,\widehat {BEC} = 106^\circ .\)

Ta có: \(\widehat {{D_2}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của tam giác \(ABD\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{A_1}} + \widehat B\,\,\,\,\,(1)\)

Ta có: \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của tam giác \(ADC\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{A_2}} + \widehat C\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\widehat {{D_2}} - \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}} + \widehat B - \widehat C = \left( {\widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}}} \right) + \left( {\widehat B - \widehat C} \right)\)

Vì \(AD\) là tia phân giác \(\widehat A\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) và \(\widehat B - \widehat C = {20^0}\,\,(gt)\) suy ra \(\widehat {{D_2}} - \widehat {{D_1}} = {20^o}\,\,\,\,\,\,(3)\)

Mặt khác \(\widehat {{D_1}}\) và \(\widehat {{D_2}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = {180^o}\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {{D_2}} = \left( {{{20}^o} + {{180}^o}} \right):2 = {100^o};\,\,\widehat {{D_1}} = {180^o} - {100^o} = {80^o}.\)

Vậy \(\widehat {{D_1}} = {80^o};\,\widehat {{D_2}} = {100^o}.\)