Tại hai điểm A, B cách nhau 14cm thuộc bề mặt chất lỏng người ta đặt hai nguồn sóng kết hợp dao động theo phương thẳng đứng với phương trình \({u_A} = {u_B} = Acos\left( {\omega t} \right)\left( {cm} \right)\). Điểm N thuộc mặt thoáng chất lỏng cách nguồn A, B lần lượt 8cm và 17cm có biên độ sóng cực đại. Giữa N và đường trung trực của AB có hai dãy cực đại khác. Xem quá trình lan truyền sóng biên độ không đổi, không tiêu hao năng lượng. Tại mặt thoáng chất lỏng, xét điểm M thuộc đường tròn tâm B bán kính AB cũng có biên độ sóng cực đại và xa điểm A nhất. Khoảng cách từ điểm B đến hình chiếu của điểm M xuống đường thẳng nối AB là
Ta có, \(BN - AN = 17 - 8 = 9cm\)
Giữa N và đường trung trực của AB có 2 dãy cực đại khác
\( \Rightarrow N\) là cực đại bậc 3
\( \Rightarrow BN - AN = 3\lambda \Rightarrow \lambda = 3cm\)
Số cực đại trên AB thỏa mãn:
\( - \frac{{AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda } \Leftrightarrow - \frac{{14}}{3} < k < \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow - 4,67 < k < 4,67\)
M thuộc cực đại xa A nhất \( \Rightarrow M\) là cực đại bậc 4
\( \Rightarrow MA - MB = 4\lambda \Rightarrow MA = MB + 4\lambda = 14 + 4.3 = 26cm\)
\(M{H^2} = A{M^2} - {\left( {AB + BH} \right)^2} = B{M^2} - B{H^2}\)
\( \Leftrightarrow {26^2} - {\left( {14 + BH} \right)^2} = {14^2} - B{H^2} \Rightarrow BH = \frac{{71}}{7}cm\)
Đề thi THPT QG - 2020
Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước, hai nguồn kết hợp dao động cùng pha theo phương thẳng đứng phát ra hai sóng có bước sóng \(\lambda \). Cực đại giao thoa tại các điểm có hiệu đường đi của hai sóng từ nguồn truyền tới đó bằng
Giao thoa của 2 nguồn cùng pha, có cực đại giao thoa thỏa mãn: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \) với \(k = 0; \pm 1,...\)
Ở mặt nước, tại hai điểm A và B cách nhau \(8cm\) có hai nguồn giống nhau dao động theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng có bước sóng \(1cm\). M, N là hai điểm thuộc mặt nước cách nhau \(4cm\) và ABMN là hình thang cân (AB // MN). Để trong đoạn MN có đúng \(5\) điểm dao động với biên độ cực đại thì diện tích lớn nhất của hình thang có giá trị nào sau đây?
Để trên MN có đúng 5 điểm cực đại thì M và N nằm trên các đường cực đại bậc 2
NB – NA = 2λ = 2cm
\( \Rightarrow \sqrt {H{B^2} + N{H^2}} - \sqrt {H{A^2} + N{H^2}} = 2 \\\Rightarrow \sqrt {{6^2} + N{H^2}} - \sqrt {{2^2} + N{H^2}} = 2cm \\\Rightarrow NH = 3\sqrt{5} cm\)
Diện tích hình thang :
\(S = \dfrac{{AB + MN}}{2}.NH = \dfrac{{8 + 4}}{2}.3\sqrt{5}=18\sqrt 5 c{m^2}\)
Trên mặt nước có hai nguồn sóng nước giống nhau cách nhau \(AB = 12\left( {cm} \right)\). Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng \(1,6\left( {cm} \right)\). Số đường cực đại đi qua đoạn thẳng nối hai nguồn là:
Do A, B dao động cùng pha nên số đường cực đại trên AB thoã mãn: \(\frac{{ - L}}{\lambda } < k < \frac{L}{\lambda }\)
Thay số ta có : \( - \frac{{12}}{{1,6}} < k < \frac{{12}}{{1,6}} \Leftrightarrow - 7,5 < k < 7,5\)
\( \to k = \pm 7, \pm 6, \pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1,0\) .
=> Có 15 đường
Ta có:
+ Bước sóng: \(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{20}}{{50}} = 0,4m\)
+ A, B dao động cùng pha => Số điểm không dao động (cực tiểu) trên AB thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}\frac{{ - L}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{L}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow - \frac{{1,2}}{{0,4}} - \frac{1}{2} < k < \frac{1,2}{{0,4}} - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow - 3,5 < k < 2,5\\ \to k = - 3; \pm 2; \pm 1,0\end{array}\)
=> Có 6 điểm
Hai nguồn kết hợp A, B cách nhau \(32mm\) ở trên mặt thoáng chất lỏng dao động theo phương trình \({u_1} = {u_2} = 2cos100\pi t{\rm{ }}\left( {mm} \right)\). Trên mặt thoáng chất lỏng có hai điểm M và M’ ở cùng một phía của đường trung trực của AB thỏa mãn: \(MA - MB = 12mm\) và \(M'A{\rm{ }} - {\rm{ }}M'B = 28mm\). Hai điểm đó đều nằm trên các vân giao thoa cùng loại và giữa chúng chỉ có một vân loại đó. Vận tốc truyền sóng trên mặt chất lỏng là:
- Giả sử \(M\) và \(M'\) thuộc vân cực đại.
Khi đó:
+ \(MA - MB = 12mm = k\lambda \)
+ \(M'A - M'B = 28mm = \left( {k + 2} \right)\lambda \)
\( \to \dfrac{{MA - MB}}{{M'A - M'B}} = \dfrac{k}{{k + 2}} = \dfrac{{12}}{{28}} = \dfrac{3}{7} \to k = 1,5\) không thoả mãn (do \(k \in Z\))
=> \(M\) và \(M'\) không thuộc vân cực đại.
- Nếu M, M’ thuộc vân cực tiểu thì:
+ \(MA-MB = 12mm = \left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\dfrac{\lambda }{2}\)
+ \(M'A-M'B{\rm{ }} = 28mm = \left( {2\left( {k + 2} \right) + 1} \right)\dfrac{\lambda }{2}\)
\( \to \dfrac{{MA - MB}}{{M'A - M'B}} = \dfrac{{2k + 1}}{{2(2k + 1)}} = \dfrac{3}{7} \to k = 1\)
Vậy \(M,M'\) thuộc vân cực tiểu thứ 2 và thứ 4
\(\begin{array}{l} \to MA-MB = 12mm = \left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\dfrac{\lambda }{2} = \dfrac{{3\lambda }}{2}\\ \to \lambda = 8mm = \dfrac{v}{f}\\ \to v = \lambda f = 8.\dfrac{{100\pi }}{{2\pi }} = 400mm/s = 0,4m/s\end{array}\)
Tại hai điểm A, B trên mặt chất lỏng cách nhau \(12cm\) có hai nguồn phát sóng theo phương thẳng đứng với các phương trình : \({u_1} = 0,2.cos(50\pi t)cm\) và\({u_2} = 0,2.cos(50\pi t + \pi )cm\). Vận tốc truyền sóng là \(0,5{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\). Coi biên độ sóng không đổi. Xác định số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn thẳng AB ?
Bước sóng : \(\lambda = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 0,5.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 0,02(m) = 2cm\)
Ta thấy A, B là hai nguồn dao động ngược pha nên số điểm dao động cực đại thoã mãn :
\(\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow - \frac{{12}}{2} - \frac{1}{2} < k < \frac{{12}}{2} - \frac{1}{2}\\ \to - 6,5 < k < 5,5\\ \to k = - 6; \pm 5; \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0\end{array}\)
=> Có 12 điểm
Hai nguồn sóng cùng biên độ cùng tần số và ngược pha. Nếu khoảng cách giữa hai nguồn là: \(AB = 13,6\lambda \) thì số điểm đứng yên và số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB lần lượt là:
Do hai nguồn dao động ngược pha nên số điểm đứng yên trên đoạn AB là :
\(\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda }\\ \leftrightarrow - \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } < k < \frac{{13,6\lambda }}{\lambda }\\ - 13,6{\rm{ }} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < {\rm{ }}13,6\end{array}\)
=> Có 27 điểm đứng yên (cực tiểu)
Số điểm cực đại là :
\(\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow - \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \to - 14,1 < k < 13,1\end{array}\)
=> Có 28 điểm cực đại
Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp A,B cách nhau \(12cm\) dao động theo các phương trình : \({u_1} = 0,2.cos(50\pi t + \pi )cm\) và \({u_2} = 0,2.cos(50\pi t + \frac{\pi }{2})cm\). Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nước là \(0,5{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\). Tính số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn A, B.
Bước sóng : \(\lambda = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 0,5.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 0,02(m) = 2cm\)
Nhìn vào phương trình ta thấy A, B là hai nguồn dao động vuông pha nên số điểm dao động cực đại và cực tiểu là bằng nhau và thoã mãn :
\(\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{4} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{4}\\ \leftrightarrow - \frac{{12}}{2} - \frac{1}{4} < k < \frac{{12}}{2} - \frac{1}{4}\\ \to - 6,25 < k < 5,75\end{array}\)
=> Có 12 điểm dao động với biên độ cực đại và 12 điểm dao động cực tiểu.
Hai nguồn sóng AB cách nhau \(90cm\) dao động cùng pha với bước sóng \(0,5m\). I là trung điểm AB. H là điểm nằm trên đường trung trực của AB cách I một đoạn \(15m\). Gọi d là đường thẳng qua H và song song với AB. Tìm điểm M thuộc d và gần H nhất, dao động với biên độ cực đại. (Tìm khoảng cách MH)
Cách 1:
+ Vì A và B cùng pha, do đó I dao động với biên độ cực đại.
Gọi N là giao của đường cực đại qua M và đường AB.
Vì M gần H nhất và dao động với biên độ cực đại nên
\(NI = \frac{\lambda }{2} = \frac{{0,5}}{2} = 0,25m\)
Theo tính chất về đường Hypecbol ta có:
Khoảng cách \(BI{\rm{ }} = {\rm{ }}c{\rm{ }} = 0,45m\)
Khoảng cách \(IN = a = 0,25m\)
Mà ta có \({b^2} + {\rm{ }}{a^2} = {\rm{ }}{c^2}\)
Suy ra \({b^2} = 0,14\)
Toạ độ điểm M là x, y thoả mãn: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Với \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}MH,{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}HI{\rm{ }} = 15m\)
\(\frac{{M{H^2}}}{{0,{{25}^2}}} - \frac{{{{15}^2}}}{{0,14}} = 1\)
Suy ra \(MH = 10,025m\)
Cách 2:
Vì A và B cùng pha và M gần H nhất và dao động với biên độ cực đại nên M thuộc cực đại ứng với k =1
Ta có: \(MA - MB = k\lambda = \lambda \)
Theo hình vẽ ta có: \(\sqrt {A{Q^2} + M{Q^2}} - \sqrt {B{Q^2} + M{Q^2}} = \lambda \)
Đặt \(MH{\rm{ }} = {\rm{ }}IQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x\), có \(HI = MQ = 15m\)
Ta có: \(\sqrt {{{\left( {0,45 + x} \right)}^2} + {{15}^2}} - \sqrt {{{\left( {0,45 - x} \right)}^2} + {{15}^2}} = 0,5\)
(Dùng Shift Solve)
Giải phương trình tìm được \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}10,025m\)
Giao thoa sóng nước với hai nguồn giống hệt nhau A, B cách nhau \(16cm\) có tần số \(60Hz\). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là \(1,5m/s\). Trên mặt nước xét đường tròn tâm A, bán kính AB. Điểm trên đường tròn dao động với biên độ cực đại cách đường thẳng qua A, B một đoạn gần nhất là:
+ Bước sóng \(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{1,5}}{{60}} = 0,025m = 2,5cm\)
+ Xét điểm N trên AB dao động với biên độ cực đại:
\(\left\{ \begin{array}{l}AN = {d_1}'\\BN = {d_2}'\end{array} \right.\)
\({d_1}' - {d_2}' = k\lambda = 2,5k\) (1)
Mặt khác, ta có:
\({d_1}' + {d_2}' = AB = 16cm\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \({d_1}' = 8 - 1,25k\)
\(\begin{array}{l}0 \le {d_1}' \le AB\\ \leftrightarrow 0 \le 8 - 1,25k \le 16\\ \leftrightarrow - 6,4 \le k \le 6,4\end{array}\)
=> Trên đường tròn có 25 điểm dao động với biên độ cực đại
Điểm gần đường thẳng AB nhất ứng với k = 6
Điểm M thuộc cực đại thứ 6
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} - {d_2} = 6\lambda = 15cm\\{d_2} = {d_1} - 15 = 16 - 15 = 1cm\end{array} \right.\)
Xét tam giác AMB; hạ MH = h vuông góc với AB. Đặt HB = x, ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{h^2} = d_1^2 - A{H^2} = {16^2} - {\left( {16 - x} \right)^2}\\{h^2} = d_2^2 - B{H^2} = {1^2} - {x^2}\end{array} \right.\\ \to {16^2} - {\left( {16 - x} \right)^2} = {1^2} - {x^2}\\ \leftrightarrow 32x = 1\\ \to x = 0,03125cm\end{array}\)
\( \to h = \sqrt {d_2^2 - {x^2}} = \sqrt {{1^2} - 0,{{03125}^2}} = 0,9995cm = 9,995mm\)
Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau \(90cm\) dao động cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số \(f = 12\left( {Hz} \right)\), vận tốc truyền sóng \(3\left( {m/s} \right)\). Gọi M là một điểm nằm trên đường vuông góc với AB tại đó A dao đông với biên độ cực đại. Đoạn AM có giá trị nhỏ nhất là :
Ta có \(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3}{{12}} = 0,25m = 25(cm)\)
Số vân dao động với biên độ dao động cực đại trên đoạn AB thõa mãn điều kiện :
\( - AB < {d_2} - {d_1} = k\lambda < AB\)
Hay :
\(\begin{array}{l}\frac{{ - AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda }\\ \leftrightarrow \frac{{ - 90}}{{25}} < k < \frac{{90}}{{25}}\\ \leftrightarrow - 3,6 < k < 3,6\\ \to k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\end{array}\)
=> Đoạn AM có giá trị bé nhất thì M phải nằm trên đường cực đại bậc 3 (kmax) như hình vẽ và thõa mãn : \({d_2} - {d_1} = k\lambda = 3.25 = 75(cm)\)(1) (lấy k=3)
Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :
\(BM = {d_2} = \sqrt {(A{B^2}) + (A{M^2})} = \sqrt {{{90}^2} + {d_1}^2} \) (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{90}^2} + {d_1}^2} - {d_1} = 75\\ \leftrightarrow \sqrt {{{90}^2} + d_1^2} = 75 + {d_1}\\ \leftrightarrow {90^2} + d_1^2 = {75^2} + 150{d_1} + d_1^2\\ \to {d_1} = 16,5cm\end{array}\)
Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau \(32cm\) dao động cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số \(f = 12\left( {Hz} \right)\), vận tốc truyền sóng \(2,4\left( {m/s} \right)\). Gọi M là một điểm nằm trên đường vuông góc với AB tại A dao đông với biên độ cực đại. Đoạn AM có giá trị lớn nhất là :
Ta có \(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{2,4}}{{12}} = 0,2m = 20(cm)\).
Do M là một cực đại giao thoa nên để đoạn AM có giá trị lớn nhất thì M phải nằm trên vân cực đại bậc 1 như hình vẽ và thõa mãn:
\({d_2} - {d_1} = k\lambda = 1.20 = 20(cm)\) (1) (lấy k = +1)
Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :
\(BM = {d_2} = \sqrt {(A{B^2}) + (A{M^2})} = \sqrt {{{32}^2} + {d_1}^2} \) (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{32}^2} + {d_1}^2} - {d_1} = 20\\ \leftrightarrow \sqrt {{{32}^2} + d_1^2} = 20 + {d_1}\\ \leftrightarrow {32^2} + d_1^2 = {20^2} + 40{d_1} + d_1^2\\ \to {d_1} = 15,6cm\end{array}\)
Hai nguồn sóng kết hợp giống hệt nhau được đặt cách nhau một khoảng cách x trên đường kính của một vòng tròn bán kính R (x < R) và đối xứng qua tâm của vòng tròn. Biết rằng mỗi nguồn đều phát sóng có bước sóng \(\lambda \) và \(x = 9\lambda \). Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là:
Cách 1: Xét điểm M trên AB (\(AB = 2x = 18\lambda \))
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = {d_1}\\BM = {d_2}\end{array} \right.\)
Để M là vân cực đại: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\{d_1} + {d_2} = 9\lambda \end{array} \right. \to {d_1} = \left( {4,5 - 0,5k} \right)\lambda \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}0 \le {d_1} \le 9\lambda \\ \leftrightarrow 0 \le \left( {4,5 - 0,5k} \right)\lambda \le 9\lambda \\ \leftrightarrow - 9 \le k \le 9\end{array}\)
Số điểm dao động cực đại trên AB là 19 điểm kể cả hai nguồn A, B.
Nhưng số đường cực đại cắt đường tròn chỉ có 17 vì vậy,
Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là 34
=> Chọn C
Cách 2: Các vân cực đại gồm các đường hyperbol nhận 2 nguồn làm tiêu điểm nên tại vị trí nguồn không có các hyperbol do đó khi giải bài toán này ta chỉ có \( - 9\lambda < k\lambda < 9\lambda \)( không có dấu bằng)
Nên chỉ có 17 vân cực đại do đó cắt đường tròn 34 điểm cực đại.
Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau \(20{\rm{ }}cm\), dao động theo phương thẳng đứng với phương trình là \({u_A} = {u_B} = acos\left( {50\pi t} \right)cm\). Tốc độ truyền sóng của mặt chất lỏng là \(v = 45cm/s\). Gọi \(MN = 6cm\) là đoạn thẳng trên mặt chất lỏng có chung trung trực với AB. Khoảng cách xa nhất giữa MN với AB là bao nhiêu để có ít nhất 5 điểm dao động cực đại nằm trên MN?
+ Bước sóng \(\lambda = vT = v.\frac{{2\pi }}{\omega } = 45.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 1,8cm\)
+ Muốn trên MN có ít nhất 5 điểm dao động với biên độ cực đại thì M và N phải thuộc đường cực đại thứ 2 tính từ cực đại trung tâm.
Xét M ta có : \({d_2} - {d_1} = k\lambda = 2\lambda = 2.1,8 = 3,6\) (1) (cực đại thứ 2 nên \(k = 2\))
Mặt khác, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2} - \frac{{MN}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {7^2}} \\{d_2} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2} + \frac{{MN}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{13}^2}} \end{array} \right.\)
Thay vào (1), ta được :
\(\begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = \sqrt {{x^2} + {{13}^2}} - \sqrt {{x^2} + {7^2}} = 3,6\\ \leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{13}^2}} = 3,6 + \sqrt {{x^2} + {7^2}} \\ \leftrightarrow {x^2} + {13^2} = 3,{6^2} + 7,2\sqrt {{x^2} + {7^2}} + \left( {{x^2} + {7^2}} \right)\\ \leftrightarrow 7,2\sqrt {{x^2} + {7^2}} = 107,04\\ \to {x^2} + {7^2} = {\left( {\frac{{107,04}}{{7,2}}} \right)^2}\\ \to x \approx 13,12cm\end{array}\)
Trên mặt thoáng của chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B giống nhau dao động cùng tần số \(f{\rm{ }} = {\rm{ }}8Hz\) tạo ra hai sóng lan truyền với \(v{\rm{ }} = {\rm{ }}12cm/s\). Hai điểm MN nằm trên đường nối AB và cách trung điểm O của AB các đoạn lần lượt là \(OM = 3,75 cm\), \(ON = 2,25cm\). Số điểm dao động với biên độ cực đại và cực tiểu trong đoạn MN là:
Giả sử biểu thức sóng của hai nguồn \({u_1} = {u_2} = acos\omega t\)
Bước sóng: \(\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{12}}{8} = 1,5m\), O là trung điểm của AB
Xét điểm C trên MN: \(O{C} = d\) \((0 < d < \dfrac{{AB}}{2})\)
Ta có phương trình sóng do hai nguồn gây ra tại điểm C:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_{1C}} = ac{\rm{os(}}\omega t - \dfrac{{2\pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + d} \right)}}{\lambda }) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \dfrac{4}{3}\pi d - \dfrac{{AB}}{2}\pi } \right)\\{u_{2C}} = ac{\rm{os(}}\omega t - \dfrac{{2\pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} - d} \right)}}{\lambda }) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \dfrac{4}{3}\pi d - \dfrac{{AB}}{2}\pi } \right)\end{array} \right.\)
Điểm C dao động với biên độ cực đại khi \({u_{1C}}\) và \({u_{2C}}\) cùng pha với nhau
\(\dfrac{8}{3}\pi d = 2k\pi \to d = \dfrac{3}{4}k\)
Với
\(\begin{array}{l} - 3,75 \le \dfrac{3}{4}k \le 2,25\\ \Rightarrow - 5 < k < 3\end{array}\)
=> Có 7 cực đại
Điểm C dao động với biên độ cực tiểu khi \({u_{1C}}\) và \({u_{2C}}\) ngược pha với nhau
\(\dfrac{8}{3}\pi d = \left( {2k + 1} \right)\pi \to d = \dfrac{{3\left( {2k + 1} \right)}}{8}\)
Với:
\(\begin{array}{l} - 3,75 \le \dfrac{{3\left( {2k + 1} \right)}}{8} \le 2,25\\ \to - 4,5 \le k \le 2,5\end{array}\)
=> Có 7 cực tiểu
Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B cách nhau \(15cm\) dao động theo phương thẳng đứng với phương trình \({u_A} = 2.cos(40\pi t)(mm)\) và \({u_B} = 2.cos(40\pi t + \pi )(mm)\). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là \(32cm/s\). Xét hình vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn BD là :
\(BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {{15}^2}} = 15\sqrt 2 (cm)\)
+ Với :
\(\begin{array}{l}\omega = 40\pi (rad/s)\\ \to T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{40\pi }} = 0,05(s)\end{array}\)
+ Bước sóng : \(\lambda = v.T = 32.0,05 = 1,6cm\)
Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn DB chứ không phải DC.
Nghĩa là điểm C lúc này đóng vai trò là điểm B.
Do hai nguồn dao động ngược pha nên số cực đại trên đoạn BD thoã mãn :
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AB - 0\end{array} \right.\)
Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\frac{\lambda }{2} < AB\)
Hay : \(\frac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \frac{{2AB}}{\lambda }\).
Thay số :
\(\begin{array}{l}\frac{{2(15 - 15\sqrt 2 )}}{{1,6}} < 2k + 1 < \frac{{2.15}}{{1,6}}\\ \leftrightarrow - 7,77 < 2k + 1 < 18,75\\ \to - 4,385 < k < 8,875\end{array}\)
=> Có 13 điểm cực đại
Trên mặt nước có hai nguồn sóng giống nhau A và B, hai nguồn cùng pha, cách nhau khoảng \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}12cm\) đang dao động vuông góc với mặt nước tạo ra sóng có bước sóng \(\lambda = 1cm\). C và D là hai điểm khác nhau trên mặt nước, CD vuông góc với AB tại M sao cho \(MA = 3cm\); \(MC = MD = 4{\rm{ }}cm\) . Số điểm dao động cực đại trên CD là:
+ Ta có \(AM{\rm{ }} = 3cm\); \(BM{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }}-{\rm{ }}MA{\rm{ }} = 12 - 3{\rm{ }} = 9cm\)
Và \(AM \bot MC\) => \(AC = \sqrt {A{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5cm\)
Và \(BM \bot MC\) => \(BC = \sqrt {C{M^2} + B{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {9^2}} = 9,85cm\)
+ Xét một điểm N bất kì trên CM, điều kiện để điểm đó cực đại là : \({d_2}-{d_1} = {\rm{ }}k\lambda \)
Do hai nguồn dao động cùng pha nên :
+ Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CM thoã mãn :\(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\BC - AC \le {d_2} - {d_1} \le BM - AM\end{array} \right.\)
Ta suy ra :
\(\begin{array}{l}BC - AC \le k\lambda \le BM - AM\\ \leftrightarrow \dfrac{{BC - AC}}{\lambda } \le k \le \dfrac{{BM - AM}}{\lambda }\\ \leftrightarrow \dfrac{{9,85 - 5}}{1} \le k \le \dfrac{{9 - 3}}{1}\\ \leftrightarrow 4,85 \le k \le 6\end{array}\)
\( \to k = 5,6\)
=> Có 2 điểm cực đại.
Dễ thấy tại M là 1 cực đại nên
Trên CD có \(1.2 + 1 = 3\) cực đại
=> có 3 vị trí mà đường hyperbol cực đại cắt qua CD.
( 1 đường cắt qua CD thành 2 điểm và 1 đường qua M cắt 1 điểm)
Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A, B cách nhau \(80cm\) luôn dao động cùng pha, có bước sóng \(6cm\). Hai điểm CD nằm trên mặt nước mà ABCD là một hình chữ nhât, \(AD = 60cm\) . Số điểm cực đại và đứng yên trên đoạn CD lần lượt là :
\(BD = AD = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} = 100cm\)
Do hai nguồn dao động cùng pha nên số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD thoã mãn :
+ Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)
Suy ra : \(AD - BD < k\lambda < AC - BC\) Hay : \(\frac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \frac{{AC - BC}}{\lambda }\)
Hay : \(\frac{{60 - 100}}{6} < k < \frac{{100 - 60}}{6}\)
Giải ra : \( - 6,67 < k < 6,67\)
=> Kết luận có \(13\) điểm cực đại trên CD.
+ Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)
Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\frac{\lambda }{2} < AC - BC\)
Hay : \(\frac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \frac{{2(AC - BC)}}{\lambda }\)
Thay số :
\(\frac{{2(60 - 100)}}{6} < 2k + 1 < \frac{{2(100 - 60)}}{6}\)
Suy ra : \( - 13,33 < 2k + 1 < 13,33\)
Vậy : \( - 7,17 < k < 6,17\)
=> Kết luận có \(14\) điểm đứng yên.
Tại 2 điểm A, B cách nhau \(15cm\) trên mặt nước có 2 nguồn sóng đồng bộ, tạo ra sóng mặt nước có bước sóng là \(1,2cm\). M là điểm trên mặt nước cách A và B lần lượt là \(12cm\) và \(6cm\). N đối xứng với M qua AB. Số hyperbol cực đại cắt đoạn MN là :
Xét điểm C trên MN:
\(\begin{array}{l}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_1}\\BC{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_2}\end{array}\)
I là giao điểm của MN và AB
Đặt \(AI{\rm{ }} = {\rm{ }}x\), ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{M^2}-{\rm{ }}{x^2} = {\rm{ }}B{M^2}-{{\left( {AB - x} \right)}^2}}\\\begin{array}{l}{12^2}-{\rm{ }}{x^2} = {\rm{ }}{{\rm{6}}^2}-{\left( {15 - x} \right)^2}\\ \to x = 11,1{\rm{ }}cm\end{array}\end{array}\)
Ta có: \(11,1 \le AC = {d_1} \le 12\) (5)
C là điểm thuộc hyperbol cực đại cắt đoạn MN khi
\({d_1}-{\rm{ }}{d_2} = k\lambda = 1,2k\) (6) với k nguyên dương
Ta lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}^2 = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}I{C^2}}\\{{d_2}^2 = {\rm{ }}{{\left( {15-x} \right)}^2} + {\rm{ }}I{C^2}}\end{array}} \right.\)
d12 – d22 = x2 – (15 – x)2 = 108
\( \to {d_1} + {\rm{ }}{d_2} = \dfrac{{108}}{{1,2k}}\) (7)
Từ (6) và (7) \( \to {d_1} = 0,6k + \dfrac{{45}}{k}\)
\(11,1{\rm{ }} \le {\rm{ }}{d_1} = 0,6k + \dfrac{{45}}{k} \le 12\)
\(11,1 \le \dfrac{{0,6{k^2} + 45}}{k} \le 12\)
\(0,6{k^2} - 12k + 45 \le 0\) (*)
\(0,6{k^2} - 11,1k + 45 \ge 0\) (2*)
Từ (*) ta suy ra: \(5 \le k \le 15\)
Từ (2*) ta suy ra: \(k \le 6\) hoặc \(k \ge 12,5\)
Kết hợp (*) và (2*) ta suy ra: \(5 \le k \le 6\)
=> Có 2 hyperbol cực đại cắt đoạn MN.