Bài tập xác định cực đại - cực tiểu giao thoa sóng

Ta có, $BN - AN = 17 - 8 = 9cm$

Giữa N và đường trung trực của AB có 2 dãy cực đại khác

$\Rightarrow N$ là  cực đại bậc 3

$\Rightarrow BN - AN = 3\lambda  \Rightarrow \lambda  = 3cm$

Số cực đại trên AB thỏa mãn:

$- \frac{{AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda } \Leftrightarrow  - \frac{{14}}{3} < k < \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow  - 4,67 < k < 4,67$

M thuộc cực đại xa A nhất $\Rightarrow M$ là cực đại bậc 4

$\Rightarrow MA - MB = 4\lambda  \Rightarrow MA = MB + 4\lambda  = 14 + 4.3 = 26cm$

$M{H^2} = A{M^2} - {\left( {AB + BH} \right)^2} = B{M^2} - B{H^2}$

$\Leftrightarrow {26^2} - {\left( {14 + BH} \right)^2} = {14^2} - B{H^2} \Rightarrow BH = \frac{{71}}{7}cm$

Giao thoa của 2 nguồn cùng pha, có cực đại giao thoa thỏa mãn: ${d_2} - {d_1} = k\lambda$ với $k = 0; \pm 1,...$

Để trên MN có đúng 5 điểm cực đại thì M và N nằm trên các đường cực đại bậc 2

NB – NA = 2λ = 2cm

$\Rightarrow \sqrt {H{B^2} + N{H^2}}  - \sqrt {H{A^2} + N{H^2}}  = 2 \\\Rightarrow \sqrt {{6^2} + N{H^2}}  - \sqrt {{2^2} + N{H^2}}  = 2cm \\\Rightarrow NH = 3\sqrt{5} cm$

Diện tích hình thang :

$S = \dfrac{{AB + MN}}{2}.NH = \dfrac{{8 + 4}}{2}.3\sqrt{5}=18\sqrt 5 c{m^2}$

Do A, B dao động cùng pha nên số đường cực đại trên AB thoã mãn: $\frac{{ - L}}{\lambda } < k < \frac{L}{\lambda }$

Thay số ta có : $- \frac{{12}}{{1,6}} < k < \frac{{12}}{{1,6}} \Leftrightarrow  - 7,5 < k < 7,5$

$\to k =  \pm 7, \pm 6, \pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1,0$ .

=> Có 15 đường

Ta có:

+ Bước sóng: $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{20}}{{50}} = 0,4m$

+ A, B dao động cùng pha => Số điểm không dao động (cực tiểu) trên AB thỏa mãn:

 $\begin{array}{l}\frac{{ - L}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{L}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow  - \frac{{1,2}}{{0,4}} - \frac{1}{2} < k < \frac{1,2}{{0,4}} - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow  - 3,5 < k < 2,5\\ \to k =  - 3; \pm 2; \pm 1,0\end{array}$

=> Có 6 điểm

- Giả sử $M$ và $M'$ thuộc vân cực đại.

Khi đó:

+ $MA - MB = 12mm = k\lambda$

+ $M'A - M'B = 28mm = \left( {k + 2} \right)\lambda$

$\to \dfrac{{MA - MB}}{{M'A - M'B}} = \dfrac{k}{{k + 2}} = \dfrac{{12}}{{28}} = \dfrac{3}{7} \to k = 1,5$ không thoả mãn (do $k \in Z$)

=> $M$ và $M'$ không thuộc vân cực đại.

- Nếu M, M’ thuộc vân cực tiểu thì:

+ $MA-MB = 12mm = \left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\dfrac{\lambda }{2}$

+ $M'A-M'B{\rm{ }} = 28mm = \left( {2\left( {k + 2} \right) + 1} \right)\dfrac{\lambda }{2}$

$\to \dfrac{{MA - MB}}{{M'A - M'B}} = \dfrac{{2k + 1}}{{2(2k + 1)}} = \dfrac{3}{7} \to k = 1$ 

Vậy $M,M'$ thuộc vân cực tiểu thứ 2 và thứ 4

 $\begin{array}{l} \to MA-MB = 12mm = \left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\dfrac{\lambda }{2} = \dfrac{{3\lambda }}{2}\\ \to \lambda  = 8mm = \dfrac{v}{f}\\ \to v = \lambda f = 8.\dfrac{{100\pi }}{{2\pi }} = 400mm/s = 0,4m/s\end{array}$

Bước sóng : $\lambda  = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 0,5.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 0,02(m) = 2cm$

Ta thấy A, B là hai nguồn dao động ngược pha nên số điểm dao động cực đại thoã mãn : 

$\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow  - \frac{{12}}{2} - \frac{1}{2} < k < \frac{{12}}{2} - \frac{1}{2}\\ \to  - 6,5 < k < 5,5\\ \to k =  - 6; \pm 5; \pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1;0\end{array}$

=> Có 12 điểm

Do hai nguồn dao động ngược pha nên số điểm đứng yên trên đoạn AB là :

$\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda }\\ \leftrightarrow  - \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } < k < \frac{{13,6\lambda }}{\lambda }\\ - 13,6{\rm{ }} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < {\rm{ }}13,6\end{array}$

=> Có 27 điểm đứng yên (cực tiểu)

Số điểm cực đại là :

$\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow  - \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } - \frac{1}{2} < k < \frac{{13,6\lambda }}{\lambda } - \frac{1}{2}\\ \to  - 14,1 < k < 13,1\end{array}$

=> Có 28 điểm cực đại

Bước sóng : $\lambda  = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 0,5.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 0,02(m) = 2cm$

Nhìn vào phương trình ta thấy A, B là hai nguồn dao động vuông pha nên số điểm dao động cực đại và cực tiểu là bằng nhau và thoã mãn : 

$\begin{array}{l} - \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{4} < k < \frac{{AB}}{\lambda } - \frac{1}{4}\\ \leftrightarrow  - \frac{{12}}{2} - \frac{1}{4} < k < \frac{{12}}{2} - \frac{1}{4}\\ \to  - 6,25 < k < 5,75\end{array}$

=> Có 12 điểm dao động với biên độ cực đại và 12 điểm dao động cực tiểu.

Cách 1:

+ Vì A và B cùng pha, do đó I dao động với biên độ cực đại.

Gọi N là giao của đường cực đại qua M và đường AB.

Vì M gần H nhất và dao động với biên độ cực đại nên

$NI = \frac{\lambda }{2} = \frac{{0,5}}{2} = 0,25m$

Theo tính chất về đường Hypecbol ta có:

Khoảng cách $BI{\rm{ }} = {\rm{ }}c{\rm{ }} = 0,45m$

Khoảng cách $IN = a = 0,25m$

Mà ta có ${b^2} + {\rm{ }}{a^2} = {\rm{ }}{c^2}$

Suy ra ${b^2} = 0,14$

Toạ độ điểm M là x, y thoả mãn:  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Với $x{\rm{ }} = {\rm{ }}MH,{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}HI{\rm{ }} = 15m$

$\frac{{M{H^2}}}{{0,{{25}^2}}} - \frac{{{{15}^2}}}{{0,14}} = 1$

Suy ra $MH = 10,025m$

Cách 2:

Vì A và B cùng pha và M gần H nhất và dao động với biên độ cực đại nên M thuộc cực đại ứng với k =1

Ta có: $MA - MB = k\lambda  = \lambda$

Theo hình vẽ ta có: $\sqrt {A{Q^2} + M{Q^2}}  - \sqrt {B{Q^2} + M{Q^2}}  = \lambda$

Đặt $MH{\rm{ }} = {\rm{ }}IQ{\rm{ }} = {\rm{ }}x$, có $HI = MQ = 15m$

Ta có: $\sqrt {{{\left( {0,45 + x} \right)}^2} + {{15}^2}}  - \sqrt {{{\left( {0,45 - x} \right)}^2} + {{15}^2}}  = 0,5$

(Dùng Shift Solve)

Giải phương trình tìm được $x{\rm{ }} = {\rm{ }}10,025m$

+ Bước sóng $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{1,5}}{{60}} = 0,025m = 2,5cm$

+ Xét điểm N trên AB dao động với biên độ cực đại:

$\left\{ \begin{array}{l}AN = {d_1}'\\BN = {d_2}'\end{array} \right.$

${d_1}' - {d_2}' = k\lambda  = 2,5k$ (1)

Mặt khác, ta có:

${d_1}' + {d_2}' = AB = 16cm$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: ${d_1}' = 8 - 1,25k$

$\begin{array}{l}0 \le {d_1}' \le AB\\ \leftrightarrow 0 \le 8 - 1,25k \le 16\\ \leftrightarrow  - 6,4 \le k \le 6,4\end{array}$

=> Trên đường tròn có 25 điểm dao động với biên độ cực đại

Điểm gần đường thẳng AB nhất ứng với k = 6

Điểm M thuộc cực đại thứ 6

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1} - {d_2} = 6\lambda  = 15cm\\{d_2} = {d_1} - 15 = 16 - 15 = 1cm\end{array} \right.$

Xét tam giác AMB; hạ MH = h vuông góc với AB. Đặt HB = x, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{h^2} = d_1^2 - A{H^2} = {16^2} - {\left( {16 - x} \right)^2}\\{h^2} = d_2^2 - B{H^2} = {1^2} - {x^2}\end{array} \right.\\ \to {16^2} - {\left( {16 - x} \right)^2} = {1^2} - {x^2}\\ \leftrightarrow 32x = 1\\ \to x = 0,03125cm\end{array}$

$\to h = \sqrt {d_2^2 - {x^2}}  = \sqrt {{1^2} - 0,{{03125}^2}}  = 0,9995cm = 9,995mm$

Ta có  $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{3}{{12}} = 0,25m = 25(cm)$

Số vân dao động với biên độ dao động cực đại trên đoạn AB  thõa mãn điều kiện :

 $- AB < {d_2} - {d_1} = k\lambda  < AB$

Hay :

$\begin{array}{l}\frac{{ - AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda }\\ \leftrightarrow \frac{{ - 90}}{{25}} < k < \frac{{90}}{{25}}\\ \leftrightarrow  - 3,6 < k < 3,6\\ \to k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\end{array}$

=> Đoạn AM có giá trị bé nhất thì M phải nằm trên đường cực đại bậc 3 (kmax) như hình vẽ và thõa mãn : ${d_2} - {d_1} = k\lambda  = 3.25 = 75(cm)$(1) (lấy k=3)

Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :

 $BM = {d_2} = \sqrt {(A{B^2}) + (A{M^2})}  = \sqrt {{{90}^2} + {d_1}^2}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

$\begin{array}{l}\sqrt {{{90}^2} + {d_1}^2}  - {d_1} = 75\\ \leftrightarrow \sqrt {{{90}^2} + d_1^2}  = 75 + {d_1}\\ \leftrightarrow {90^2} + d_1^2 = {75^2} + 150{d_1} + d_1^2\\ \to {d_1} = 16,5cm\end{array}$

Ta có  $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{2,4}}{{12}} = 0,2m = 20(cm)$.

Do M là một cực đại giao thoa nên để đoạn AM có giá trị lớn nhất thì M phải nằm trên vân cực đại bậc 1 như hình vẽ và thõa mãn:

${d_2} - {d_1} = k\lambda  = 1.20 = 20(cm)$ (1) (lấy k = +1)

Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :

$BM = {d_2} = \sqrt {(A{B^2}) + (A{M^2})}  = \sqrt {{{32}^2} + {d_1}^2}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

$\begin{array}{l}\sqrt {{{32}^2} + {d_1}^2}  - {d_1} = 20\\ \leftrightarrow \sqrt {{{32}^2} + d_1^2}  = 20 + {d_1}\\ \leftrightarrow {32^2} + d_1^2 = {20^2} + 40{d_1} + d_1^2\\ \to {d_1} = 15,6cm\end{array}$

Cách 1:  Xét điểm M trên AB  ($AB = 2x = 18\lambda$)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AM = {d_1}\\BM = {d_2}\end{array} \right.$

Để M là vân cực đại: $\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\{d_1} + {d_2} = 9\lambda \end{array} \right. \to {d_1} = \left( {4,5 - 0,5k} \right)\lambda$

Ta có:

$\begin{array}{l}0 \le {d_1} \le 9\lambda \\ \leftrightarrow 0 \le \left( {4,5 - 0,5k} \right)\lambda  \le 9\lambda \\ \leftrightarrow  - 9 \le k \le 9\end{array}$

Số điểm dao động cực đại trên AB  là 19 điểm kể cả hai nguồn A, B.

Nhưng số đường cực đại cắt đường tròn chỉ có 17 vì vậy,

Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là 34

=> Chọn C

Cách 2: Các vân cực đại gồm các đường hyperbol nhận 2 nguồn làm tiêu điểm nên tại vị trí nguồn không có các hyperbol do đó khi giải bài toán này ta chỉ có $- 9\lambda  < k\lambda  < 9\lambda$( không có dấu bằng)

Nên chỉ có 17 vân cực đại do đó cắt đường tròn 34 điểm cực đại.

+ Bước sóng $\lambda  = vT = v.\frac{{2\pi }}{\omega } = 45.\frac{{2\pi }}{{50\pi }} = 1,8cm$

+ Muốn trên MN có ít nhất 5 điểm dao động với biên độ cực đại thì M và N phải thuộc đường cực đại thứ 2 tính từ cực đại trung tâm.

Xét M ta có : ${d_2} - {d_1} = k\lambda  = 2\lambda  = 2.1,8 = 3,6$ (1) (cực đại thứ 2 nên $k = 2$)

Mặt khác, ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{d_1} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2} - \frac{{MN}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {7^2}} \\{d_2} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2} + \frac{{MN}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{13}^2}} \end{array} \right.$

Thay vào (1), ta được :

$\begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = \sqrt {{x^2} + {{13}^2}}  - \sqrt {{x^2} + {7^2}}  = 3,6\\ \leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{13}^2}}  = 3,6 + \sqrt {{x^2} + {7^2}} \\ \leftrightarrow {x^2} + {13^2} = 3,{6^2} + 7,2\sqrt {{x^2} + {7^2}}  + \left( {{x^2} + {7^2}} \right)\\ \leftrightarrow 7,2\sqrt {{x^2} + {7^2}}  = 107,04\\ \to {x^2} + {7^2} = {\left( {\frac{{107,04}}{{7,2}}} \right)^2}\\ \to x \approx 13,12cm\end{array}$

Giả sử biểu thức sóng của hai nguồn ${u_1} = {u_2} = acos\omega t$

Bước sóng: $\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{12}}{8} = 1,5m$, O là trung điểm của AB

Xét điểm C trên MN: $O{C} = d$ $(0 < d < \dfrac{{AB}}{2})$

Ta có phương trình sóng do hai nguồn gây ra tại điểm C:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_{1C}} = ac{\rm{os(}}\omega t - \dfrac{{2\pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + d} \right)}}{\lambda }) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t - \dfrac{4}{3}\pi d - \dfrac{{AB}}{2}\pi } \right)\\{u_{2C}} = ac{\rm{os(}}\omega t - \dfrac{{2\pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} - d} \right)}}{\lambda }) = ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \dfrac{4}{3}\pi d - \dfrac{{AB}}{2}\pi } \right)\end{array} \right.$

Điểm C dao động với biên độ cực đại khi ${u_{1C}}$ và ${u_{2C}}$ cùng pha với nhau

$\dfrac{8}{3}\pi d = 2k\pi  \to d = \dfrac{3}{4}k$

Với 

$\begin{array}{l} - 3,75 \le \dfrac{3}{4}k \le 2,25\\ \Rightarrow  - 5 < k < 3\end{array}$

=> Có 7 cực đại

Điểm C dao động với biên độ cực tiểu khi ${u_{1C}}$ và ${u_{2C}}$ ngược pha với nhau

$\dfrac{8}{3}\pi d = \left( {2k + 1} \right)\pi  \to d = \dfrac{{3\left( {2k + 1} \right)}}{8}$

Với:

 $\begin{array}{l} - 3,75 \le \dfrac{{3\left( {2k + 1} \right)}}{8} \le 2,25\\ \to  - 4,5 \le k \le 2,5\end{array}$

=> Có 7 cực tiểu

$BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{15}^2} + {{15}^2}}  = 15\sqrt 2 (cm)$

+ Với :

$\begin{array}{l}\omega  = 40\pi (rad/s)\\ \to T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{40\pi }} = 0,05(s)\end{array}$

+ Bước sóng : $\lambda  = v.T = 32.0,05 = 1,6cm$

Tìm số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn DB chứ không phải DC.

Nghĩa là điểm C lúc này đóng vai trò là điểm B.

Do hai nguồn dao động ngược pha nên số cực đại trên đoạn BD thoã mãn :

$\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AB - 0\end{array} \right.$ 

Suy ra : $AD - BD < (2k + 1)\frac{\lambda }{2} < AB$

Hay : $\frac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \frac{{2AB}}{\lambda }$.

Thay số :

$\begin{array}{l}\frac{{2(15 - 15\sqrt 2 )}}{{1,6}} < 2k + 1 < \frac{{2.15}}{{1,6}}\\ \leftrightarrow  - 7,77 < 2k + 1 < 18,75\\ \to  - 4,385 < k < 8,875\end{array}$

=> Có 13 điểm cực đại

+ Ta có  $AM{\rm{ }} = 3cm$; $BM{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }}-{\rm{ }}MA{\rm{ }} = 12 - 3{\rm{ }} = 9cm$

Và $AM \bot MC$ => $AC = \sqrt {A{M^2} + M{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5cm$

Và $BM \bot MC$ => $BC = \sqrt {C{M^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + {9^2}}  = 9,85cm$

+ Xét một điểm N bất kì trên CM, điều kiện để điểm đó cực đại là : ${d_2}-{d_1} = {\rm{ }}k\lambda$

Do hai nguồn dao động cùng pha nên :

+ Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CM thoã mãn :$\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\BC - AC \le {d_2} - {d_1} \le BM - AM\end{array} \right.$  

Ta suy ra :

$\begin{array}{l}BC - AC \le k\lambda  \le BM - AM\\ \leftrightarrow \dfrac{{BC - AC}}{\lambda } \le k \le \dfrac{{BM - AM}}{\lambda }\\ \leftrightarrow \dfrac{{9,85 - 5}}{1} \le k \le \dfrac{{9 - 3}}{1}\\ \leftrightarrow 4,85 \le k \le 6\end{array}$

$\to k = 5,6$

=> Có 2 điểm cực đại.

Dễ thấy tại M là 1 cực đại nên

Trên CD có $1.2 + 1 = 3$ cực đại

=> có 3 vị trí mà đường hyperbol cực đại cắt qua CD.

( 1 đường cắt qua CD thành 2 điểm và 1 đường qua M  cắt 1 điểm)

$BD = AD = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}}  = 100cm$

Do hai nguồn dao động cùng pha nên số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD thoã mãn :

+ Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : $\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.$

Suy ra : $AD - BD < k\lambda  < AC - BC$ Hay : $\frac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \frac{{AC - BC}}{\lambda }$

Hay : $\frac{{60 - 100}}{6} < k < \frac{{100 - 60}}{6}$

Giải ra : $- 6,67 < k < 6,67$

=> Kết luận có $13$ điểm cực đại trên CD.

+ Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : $\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\frac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.$

Suy ra : $AD - BD < (2k + 1)\frac{\lambda }{2} < AC - BC$

Hay : $\frac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \frac{{2(AC - BC)}}{\lambda }$

Thay số :

$\frac{{2(60 - 100)}}{6} < 2k + 1 < \frac{{2(100 - 60)}}{6}$

Suy ra : $- 13,33 < 2k + 1 < 13,33$

 Vậy : $- 7,17 < k < 6,17$

=> Kết luận có $14$  điểm đứng yên.

Xét điểm C trên MN:

$\begin{array}{l}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_1}\\BC{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_2}\end{array}$

I là giao điểm của MN và AB

Đặt $AI{\rm{ }} = {\rm{ }}x$, ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{A{M^2}-{\rm{ }}{x^2} = {\rm{ }}B{M^2}-{{\left( {AB - x} \right)}^2}}\\\begin{array}{l}{12^2}-{\rm{ }}{x^2} = {\rm{ }}{{\rm{6}}^2}-{\left( {15 - x} \right)^2}\\ \to x = 11,1{\rm{ }}cm\end{array}\end{array}$

Ta có: $11,1 \le AC = {d_1} \le 12$  (5)

C là điểm thuộc hyperbol cực đại cắt đoạn MN khi

${d_1}-{\rm{ }}{d_2} = k\lambda  = 1,2k$  (6) với k nguyên dương

Ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d_1}^2 = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}I{C^2}}\\{{d_2}^2 = {\rm{ }}{{\left( {15-x} \right)}^2} + {\rm{ }}I{C^2}}\end{array}} \right.$

d₁² – d₂²  = x² – (15 – x)² = 108

$\to {d_1} + {\rm{ }}{d_2} = \dfrac{{108}}{{1,2k}}$  (7)

Từ (6) và (7) $\to {d_1} = 0,6k + \dfrac{{45}}{k}$

$11,1{\rm{ }} \le {\rm{ }}{d_1} = 0,6k + \dfrac{{45}}{k} \le 12$

$11,1 \le \dfrac{{0,6{k^2} + 45}}{k} \le 12$

$0,6{k^2} - 12k + 45 \le 0$               (*)

$0,6{k^2} - 11,1k + 45 \ge 0$           (2*)

Từ (*) ta suy ra: $5 \le k \le 15$

Từ (2*) ta suy ra: $k \le 6$ hoặc $k \ge 12,5$

Kết hợp (*) và (2*) ta suy ra: $5 \le k \le 6$

=> Có 2 hyperbol cực đại cắt đoạn MN.