Một con lắc đơn đang dao động điều hoà. Chọn phát biểu đúng?
Ta có:
\(l = {l_0}\left( {1 + \alpha \Delta t} \right)\)
=> Nhiệt độ giảm => \(l\) giảm => \(T\) giảm (Con lắc chạy nhanh ) => \(f\) tăng => A,C sai.
=> Nhiệt độ tăng => \(l\) tăng => $T$ tăng ( con lắc chạy chậm ) =>\(f\) giảm => B sai.
Một đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn chạy đúng giờ tại một địa điểm trên mặt đất. Khi nhiệt độ môi trường giảm thì đồng hồ
Ta có:
\(l = {l_0}\left( {1 + \alpha \Delta t} \right)\) và $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} $
=> Nhiệt độ giảm => \(l\) giảm => \(T\) giảm
=> Con lắc chạy nhanh
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên độ cao h. Đưa đồng hồ xuống mặt đất. Coi nhiệt độ hai nơi này là như nhau. Khi đó đồng hồ sẽ:
Gọi \(T, T'\) lần lượt là chu kì của con lắc ở độ cao h và ở mặt đất.
Ta có:
Khi đưa con lắc lên độ cao h thì:
$\begin{array}{l}\dfrac{{T'}}{T} = \dfrac{{2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{g'}}} }}{{2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} }} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{g}{{g'}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{{G\dfrac{M}{{{R^2}}}}}{{G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} \left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)\end{array}$
Vì chỉ thay đổi chiều cao nên chiều dài của con lắc \(l\) - không đổi
\( \to \dfrac{{T'}}{T} = 1 + \dfrac{h}{R} \to T' > T\)
=> Khi đưa con lắc xuống mặt đất con lắc sẽ chạy nhanh
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ dưới một hầm mỏ có độ sâu h’. Đưa đồng hồ lên mặt đất. Coi nhiệt độ hai nơi này là như nhau. Khi đó đồng hồ sẽ:
Khi đưa đồng hồ xuống độ sâu d thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{g}{{{g_d}}}} \\{g_d} = g\dfrac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\end{array} \right. \\\to \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{R}{{\left( {R + h} \right)}}} \\= \sqrt {\dfrac{1}{{1 - \dfrac{d}{R}}}} = {\left( {1 - \dfrac{d}{R}} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \\\approx 1 + \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{R}\)
\(\begin{array}{l} \to \dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{d}{{2R}}\\ \to T' > T\end{array}\)
=> Khi đưa đồng hồ lên mặt đất thì đồng hồ chạy chậm
Khi đưa một con lắc đơn lên cao theo phương thẳng đứng (coi chiều dài của con lắc không đổi) thì tần số dao động điều hòa của nó sẽ
Ta có:
Khi đưa con lắc lên độ cao h thì:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{T'}}{T} = \dfrac{{2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{g'}}} }}{{2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} }} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{g}{{g'}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{{G\dfrac{M}{{{R^2}}}}}{{G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} \left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)\end{array}\)
Vì chỉ thay đổi chiều cao nên chiều dài của con lắc \(l\) - không đổi
\( \to \dfrac{{T'}}{T} = 1 + \dfrac{h}{R} \to T' > T \to f' < f\)
=> Khi đưa lên cao tần số giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao
Một con lắc đơn dao động theo chu kì \({T_1}\) ở nhiệt độ $t$. Gọi $\alpha $ là hệ số nở dài của con lắc. Khi nhiệt độ môi trường tăng lên một lượng $\Delta t$, độ biến thiên tỉ đối của chu kì $\dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}}$ được xác định bằng biểu thức nào sau đây?
Ta có tỉ số:
$\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t$
Một con lắc đơn dao động tại điểm A có nhiệt độ 250C và tại địa điểm B có nhiệt độ 100C với cùng một chu kì. Hỏi so với gia tốc trong trường tại A thì gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu %? Cho hệ số nở dài của dây treo con lắc là \(\alpha = {4.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có, khi nhiệt độ và vị trí thay đổi,
\(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}\)
Theo đầu bài, ta có: chu kì tại A và B như nhau
\(\begin{array}{l} \to \dfrac{{\Delta T}}{T} = 0 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g} = 0\\ \to \dfrac{{\Delta g}}{{{g_A}}} = \alpha \Delta t = {4.10^{ - 5}}\left( {10 - 25} \right) = - {6.10^{ - 4}}\\ \to \Delta g = - {6.10^{ - 4}}g\end{array}\)
=> Gia tốc trọng trường tại B giảm \(0,06\% \)
Quả lắc đồng hồ có thể xem là một con lắc đơn dao động tại một nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Ở nhiệt độ 150C đồng hồ chạy đúng và chu kì dao động của con lắc là T = 2s. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 250C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu trong một ngày đêm. Cho hệ số nở dài của thanh treo con lắc \(\alpha = {4.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có:
+ \({t_1} = {\rm{ }}{15^0}C,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}{25^0}C\)
+ Gọi \(T\) và \(T'\) là chu kì dao động của con lắc ở \({t_1}\) và \({t_2}\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}{.4.10^{ - 5}}\left( {25 - 15} \right)\\ = {2.10^{ - 4}} > 0\end{array}\)
=> Đông hồ chạy chậm
=> Sau một ngày đêm (24h) đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 17,28s\)
Một con lắc dao động điều hòa với chu kì $T_1$ ở mặt đất. Con lắc được đưa lên vùng núi có độ cao $h$ so với mặt đất. Giả sử nhiệt độ ở độ cao $h$ không thay đổi so với nhiệt độ ở mặt đất. Độ biến thiên tỉ đối $\dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}}$ của chu kì được xác định bằng biểu thức nào sau đây? Biết $R$ là bán kính của Trái Đất.
Ta có, khi thay đổi độ cao
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{g}{{{g_h}}}} \\{g_h} = g\dfrac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\end{array} \right. \to \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{\left( {R + h} \right)}}{R} = 1 + \dfrac{h}{R}\)
\( \to \dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R}\)
Trên mặt đất nơi có gia tốc trọng trường g. Một con lắc đơn dao động với chu kỳ $T = 0,5s$. Nếu đem con lắc này lên độ cao $5 km$ thì nó dao động với chu kỳ bằng bao nhiêu (lấy đến 5 chử số thập phân). Cho bán kính Trái Đất là $R = 6400 km$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{h}{R} = 1 + \dfrac{5}{{6400}} = 1,00078\\ \to {T_2} = 1,00078{T_1} = 0,50039s\end{array}\)
Con lắc đồng hồ có thể coi là con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng ở mực ngang mặt biển. Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m thì đồng hồ chạy nhanh hay chạy chậm và nhanh chậm bao lâu trong một ngày đêm? Biết bán kính Trái Đất R = 6400 km. Coi nhiệt độ không đổi.
\(h = 4000m = 4km\)
Ta có: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R} = \dfrac{4}{{6400}} = 6,{25.10^{ - 4}}\)
=> Đồng hồ chạy chậm
=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 54s\)
Biết bán kính Trái Đất là $R$. Khi đưa một đồng hồ dùng con lắc đơn lên độ cao $h$ so với mặt đất $(h<<R)$ thì thấy trong một ngày đêm đồng hồ chạy chậm hơn $2$ phút so với khi ở mặt đất. Biết chiều dài của con lắc không đổi. Tỉ số $\dfrac{h}{R}$ có giá trị bằng
Ta có: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R}\)
=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 120s\)
\(\begin{array}{l} \leftrightarrow \dfrac{h}{R}.86400 = 120\\ \to \dfrac{h}{R} = \dfrac{1}{{720}}\end{array}\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất. Hỏi khi đưa đồng hồ lên độ cao $h = 300 m$ so với mặt đặt thì nó sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong $30$ ngày. Biết nhiệt độ không thay đổi, bán kính của Trái Đất là $R = 6400 km$.
\(h = 300m = 0,3km\)
Ta có: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R} = \dfrac{{0,3}}{{6400}} = 4,{6875.10^{ - 5}}\)
=> Đồng hồ chạy chậm
=> Sau 30 ngày = (30. 24h) đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.30.24.60.60 = 121,5s\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất. Hỏi khi đưa đồng hồ xuống độ sâu $d = 300 m$ so với mặt đặt thì nó sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu trong $30$ ngày. Biết nhiệt độ không thay đổi, bán kính của Trái Đất là $R =6400 km$.
\(d = 300m = 0,3km\)
Ta có: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{d}{{2R}} = \dfrac{{0,3}}{{2.6400}} = 2,{34375.10^{ - 5}}\)
=> Đồng hồ chạy chậm
=> Sau 30 ngày = 30.24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.30.24.60.60 = 60,75s\)
Một con lắc đơn có dây treo bằng kim loại và có hệ số nở dài \(\alpha = {2.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\) ở mặt đất nhiệt độ 300C. Đưa lên độ cao h, ở đó nhiệt độ 100C thì thấy trong một ngày đêm con lắc chạy nhanh 4,32s. Cho bán kính Trái Đất \(R = 6400km\). Độ cao h là:
Ta có, công thức xác định thời gian chạy sai của đồng hồ quả lắc: \(\dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R}\)
Mặt khác, theo đề bài con lắc chaỵ nhanh 4,32s trong một ngày đêm
\( \to \dfrac{{\Delta T}}{T} < 0\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\theta = \dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}}.24.60.60 = - 4,32s\\ \leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R}} \right).86400 = - 4,32\\ \to \dfrac{1}{2}{2.10^{ - 5}}\left( {10 - 30} \right) + \dfrac{h}{R} = - {5.10^{ - 5}}\\ \leftrightarrow \dfrac{h}{R} = 1,{5.10^{ - 4}}\\ \to h = 1,{5.10^{ - 4}}R = 0,96km\end{array}\)
Một con lắc đơn có chu kì dao động tự do trên Trái Đất là T0. Đưa con lắc lên Mặt Trăng. Gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng bằng 1/6 trên Trái Đất. Chu kì của con lắc trên Mặt Trăng là T. Giá trị của T là:
Ta có:
- Chu kì dao động của con lắc khi ở trái đất: \({T_0} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_0}}}} \) với \({g_0} = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\)
- Chu kì dao động của con lắc khi ở Mặt Trăng: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)với \(g = \dfrac{{Gm}}{{R{'^2}}} = \dfrac{{{g_0}}}{6}\)
\(\begin{array}{l} \to \dfrac{T}{{{T_0}}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{g}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{{\dfrac{{{g_0}}}{6}}}} = \sqrt 6 \\ \to T = \sqrt 6 {T_0}\end{array}\)
Người ta đưa đồng hồ quả lắc từ Trái Đất lên Mặt Trăng. Biết rằng gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất $6$ lần. Chu kì dao động của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Coi rằng nhiệt độ ở Mặt Trăng và Trái Đất là như nhau.
Ta có:
- Chu kì dao động của con lắc khi ở trái đất: \({T_0} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_0}}}} \) với \({g_0} = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\)
- Chu kì dao động của con lắc khi ở Mặt Trăng: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)với \(g = \dfrac{{Gm}}{{R{'^2}}} = \dfrac{{{g_0}}}{6}\)
\( \to \dfrac{T}{{{T_0}}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{g}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{{\dfrac{{{g_0}}}{6}}}} = \sqrt 6 \)
=> Chu kì dao động của con lắc sẽ tăng \(\sqrt 6 \approx 2,45\) lần
Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20oC và tại nơi có gia tốc trọng trường 9,813 m/s2, thanh treo có hệ số nở dài là 17.10–6 K–1. Đưa con lắc đến nơi có gia tốc trọng trường là 9,809 m/s2 và nhiệt độ 300C thì chu kì dao động là:
Chu kì dao động của con lắc khi thay đổi cả vị trí và nhiệt độ: \(\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}\\ = 1 + \dfrac{1}{2}{17.10^{ - 6}}\left( {30 - 20} \right) - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\left( {9,809 - 9,813} \right)}}{{9,813}}\\ = 1 + 8,{5.10^{ - 5}} - \left( { - 2,{{038.10}^{ - 4}}} \right) = 1,0002888\\ \to {T_2} = 1,0002888{T_1} = 2,0005776s\end{array}\)
Người ta đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao $h = 10km$. Phải giảm độ dài của nó đi bao nhiêu % để chu kì dao động của nó không thay đổi. Biết bán kính Trái Đất $R = 6400 km$.
Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn
+ Ở mặt đất: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \) với \(g = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\)
+ Ở độ cao h: \(T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}} \) với \({g_h} = \dfrac{{GM}}{{{{(R + h)}^2}}}\)
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h tương đương với T = T’
\(\begin{array}{l}T = T' \leftrightarrow 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}} \\ \leftrightarrow \dfrac{{l'}}{l} = \dfrac{{{g_h}}}{g} = \dfrac{{{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}} = {\left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)^2} \approx 1 - \dfrac{{2h}}{R}\\ \to \dfrac{{\Delta l}}{l} = - \dfrac{{2h}}{R} = - \dfrac{{2.10}}{{6400}} = - 3,{125.10^{ - 3}}\end{array}\)
=> Cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng \(3,{125.10^{ - 3}}\) chiều dài ban đầu hay giảm \(0,3125\% \)
Một đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn chạy đúng giờ ở một nơi trên mặt đất có nhiệt độ 200C. Tại đó, khi nhiệt độ là 300C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm. Tính thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày đêm. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là \(\alpha = {2.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có, thời gian quả lắc đồng hồ chạy sai trong 1s là: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}\left( {30 - 20} \right) = {10^{ - 4}} > 0\)
=> Đồng hồ chạy chậm
Trong một ngày đêm, đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: \(\theta = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 8,64{\rm{s}}\)
