Con lắc đơn - Các đại lượng đặc trưng - Viết phương trình dao động của con lắc đơn

Ta có, tần số của con lắc đơn \(f = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt {\dfrac{g}{l}} \) ta thấy tần số của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng nên khi tăng khối lượng của con lắc không làm ảnh hưởng đến tần số của nó và vẫn bằng \(f\)

Ta có tần số: \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}}  \Rightarrow f \sim \frac{1}{{\sqrt l }}\)

\( \Rightarrow \) Khi chiều dài tăng 4 lần thì tần số giảm 2 lần.

Tần số của con lắc lò xo là \(f = \dfrac{\omega }{{2\pi }} = \dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1Hz\)

Từ bảng số liệu ta có:

Chu kì dao động trung bình: \(\overline T  = \frac{{2,12 + 2,13 + 2,09 + 2,14 + 2,09}}{5} = 2,114{\rm{s}}\)

Sai số tuyệt đối ứng với từng lần đo: \(\Delta {T_1} = \left| {\overline T  - {T_1}} \right|;\Delta {T_2} = \left| {\overline T  - {T_2}} \right|;...\)

Sai số ngẫu nhiên:

\(\begin{array}{l}\overline {\Delta T}  = \frac{{\Delta {T_1} + \Delta {T_2} + ... + \Delta {T_5}}}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2,12 - 2,11} \right) + \left( {2,13 - 2,11} \right) + \left( {2,11 - 2,09} \right) + \left( {2,14 - 2,11} \right) + \left( {2,11 - 2,09} \right)}}{5}\\ \Rightarrow \overline {\Delta T}  = 0,02{\rm{s}}\end{array}\)

Vậy \(T = \overline T  \pm \overline {\Delta t}  = 2,11 \pm 0,02{\rm{s}}\)

Chu kỳ dao động của con lắc là:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,8}}{{9,81}}}  \approx 1,793\left( s \right)\)

Tần số dao động của con lắc đơn: \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} \)

Ta có chu kì dao động của con lắc đơn: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

=> Chu kì dao động của con lăc đơn tỉ lệ thuận với căn bậc 2 chiều dài con lắc và tỉ lệ nghịch với căn bậc hai gia tốc trọng trường

Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,72}}{{{\pi ^2}}}}  \approx 1,7{\rm{s}}\)

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài \(l\): \({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài \(\dfrac{l}{2}\): \({T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{\dfrac{l}{2}}}{g}}  = \dfrac{{{T_1}}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 s\)

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài \({l_1}\) : \({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{l_1}}}{g}} \)

+ Tần số dao động của con lắc đơn có chiều dài \({l_2}\): \({T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{l_2}}}{g}} \)

\( \to \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} \)

Ta có:

+ Chu kì dao động của con lắc: \(T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = \dfrac{{9,5}}{5} = 1,9{\rm{s}}\)

Mặt khác, ta có: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to g = \dfrac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}.0,9}}{{1,{9^2}}} \approx 9,83m/{s^2}\)

Ta có: \({T^2} \sim l\)

\(\begin{array}{l}{l_3} = {l_1} + {l_2}\\T_3^2 = T_1^2 + T_2^2\\ \to {T_3} = \sqrt {T_1^2 + T_2^2}  = \sqrt {0,{6^2} + 0,{8^2}}  = 1s\end{array}\)

Ta có:

- Tần số dao động của con lắc đơn lúc đầu: \({f_1} = \dfrac{{32}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{\ell }} \)

- Tần số dao động của con lắc đơn khi tăng chiều dài dây của dây treo thêm \(12cm\): \({f_2} = \dfrac{{24}}{{\Delta t}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\ell  + 0,12}}} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{{f_1}}}{{{f_2}}} \leftrightarrow \dfrac{{32}}{{24}} = \sqrt {\dfrac{{l + 0,12}}{l}}  \to l = 0,154m = 15,4cm\)

Ta có: pha dao động tại thời điểm t: \((\omega t{\rm{ }} + \varphi ) = 2\pi t + \dfrac{\pi }{8}\)

Thay \(t = 0,125s\) vào, ta được:

Pha dao động là \(2\pi .0,125 + \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{{3\pi }}{8}rad\)

Ta có: \(9,{6^0} = \dfrac{{9,6\pi }}{{180}} \approx 0,17rad\)

\(4,{8^0} = \dfrac{{4,8\pi }}{{180}} \approx 0,0834rad\)

+ Theo bài ra ta có: \(s = l\alpha \)

Ta suy ra: \(l = \dfrac{s}{\alpha } = \dfrac{{3,2\pi }}{{\dfrac{{4,8\pi }}{{180}}}} = 120cm\)

Ta có, vận tốc: \(v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \\ = \sqrt {10.1,2\left( {0,{{17}^2} - 0,{{0834}^2}} \right)}  \\\approx 0,513m/s = 51,3cm/s\)

Ta có:

+ \({v_{\max }} = \sqrt {2gl(1 - \cos {6^0})} \)

+ Biên độ góc lúc sau:

\(\begin{array}{l}{s'}_0^2 = \dfrac{{v_{max}^2}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{{2gl\left( {1 - c{\rm{os}}{{\rm{6}}^0}} \right)}}{{\dfrac{g}{{\dfrac{l}{2}}}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{l}{2}{\alpha}_0} \right)^2} = \dfrac{{2g{l^2}\left( {1 - c{\rm{os}}{{\rm{6}}^0}} \right)}}{{2g}}\\ \Rightarrow {\alpha}_0 = 0,148\left( {rad} \right) = 8,{48^0}\end{array}\)

Bộ thiết bị thí  nghiệm khảo sát dao động của con lắc đơn gồm: 5 – dây treo; 6 – quả cầu; 7 – cổng quang điện hồng ngoại; 8 – đồng hồ đo thời gian hiện số; 9 – thanh ke.

Ta có:

+ Chiều dài: \(l = 650 \pm 1\left( {mm} \right)\)

+ Chu kì dao động: \(T = 1,62 \pm 0,02\left( s \right)\)

Mặt khác, chu kì dao động được xác định bởi biểu thức: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  \to g = \frac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}} = \overline g  \pm \Delta g\)

+ Gia tốc trọng trường trung bình: \(\overline g  = \frac{{4{\pi ^2}\overline l }}{{{{\overline T }^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}.0,65}}{{{{\left( {1,62} \right)}^2}}} = 9,77m/{s^2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\Delta g}}{{\overline g }} = \frac{{\Delta l}}{{\overline l }} + 2\frac{{\Delta T}}{{\overline T }}\\ \leftrightarrow \frac{{\Delta g}}{{\overline g }} = \frac{1}{{650}} + 2\frac{{0,02}}{{1,62}}\\ \to \Delta g = 0,256\left( {m/{s^2}} \right)\end{array}\)

Vậy \(g = 9,77 \pm 0,26\left( {m/{s^2}} \right)\)

Ta có:

+ Biên độ dài \({S_0} = 6cm\)

+ Tần số góc của con lắc: \(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  = \sqrt {\frac{{10}}{{0,9}}}  = \frac{{10}}{3}\left( {rad/s} \right)\)

+ Tại \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}0\):

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}s = {s_0}{\rm{cos}}\varphi  = 0\\v =  - \omega {s_0}\sin \varphi  < 0\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  = 0\\\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \varphi  = \frac{\pi }{2}\end{array}\)

\(s = 6cos(\frac{{10}}{3}t + \frac{\pi }{2})cm\)

Ta có:

+ \({\alpha _0} = 0,25rad\)

+ Tần số góc của dao động: \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,5}} = 4\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

+ Tại \(t = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}\alpha  = {\alpha _0}{\rm{cos}}\varphi  = 0\\v =  - \omega {s_0}\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  = 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \frac{\pi }{2}\)

\( \to \alpha  = 0,25c{\rm{os}}\left( {4\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)rad\)