Bài tập năng lượng liên kết - năng lượng liên kết riêng

Để so sánh độ bền vững của hai hạt nhân ta dựa vào năng lượng liên kết riêng hạt nhân.    

Lực tương tác giữa các nuclon gọi là lực hạt nhân (tương tác hạt nhân hay tương tác mạnh)

Độ hụt khối của hạt nhân được xác định bằng biểu thức: $\Delta m = Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_X}$

Ta có, hạt nhân $_{13}^{27}Al$ có: $\left\{ \begin{array}{l}Z = 13\\N = A - Z = 27 - 13 = 14\end{array} \right.$

Độ hụt khối của hạt nhân: $_{13}^{27}Al$ là:

$\begin{array}{l}\Delta m = Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_{Al}}\\ = 13.1,00728u + 14.1,00866u - 26,9803u\\ = 0,23558u\end{array}$

+ Năng lượng để tách 1 hạt nhân He thành các proton và các notron tự do chính bằng năng lượng liên kết của hạt nhân He

+ Năng lượng liên kết của 1 hạt nhân He:

${{\rm{W}}_{lk}} = \Delta m{c^2} = \left( {2.1,0073 + 2.1,0087 - 4,0015} \right).931,5 = 28,41MeV$

+ Trong 1 gam He chứa: $N = \dfrac{m}{A}{N_A} = \dfrac{1}{4}.6,{02.10^{23}} = 1,{505.10^{23}}$nguyên tử

=>  Năng lượng để tách các hạt nhân trong 1 gam ${}_2^4He$ thành các proton và nơtron tự do là: 

$W = N.{W_{lk}} = 1,{505.10^{23}}.28,41 = 42,{7.10^{23}}\,MeV$

Hạt nhân càng bền vững khi có năng lượng liên kết riêng càng lớn.

Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân  ${}_{18}^{40}{\rm{Ar}}$${{\rm{W}}_{LK({\rm{Ar}})}} = \left[ {\left( {18{m_p} + 22{m_n}} \right) - {m_{Ar}}} \right]{c^2} = 344,93445(MeV) \to {{\rm{W}}_{LKR({\rm{Ar}})}} = \dfrac{{{{\rm{W}}_{LK({\rm{Ar}})}}}}{{{A_{{\rm{Ar}}}}}} \approx 8,62336(MeV/nuclon)$

Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân ${}_3^6Li$:

${{\rm{W}}_{LK(Li)}} = \left[ {\left( {3{m_p} + 3{m_n}} \right) - {m_{Li}}} \right]{c^2} = 31,20525(MeV) \to {{\rm{W}}_{LKR(Li)}} = \dfrac{{{{\rm{W}}_{LK(Li)}}}}{{{A_{Li}}}} \approx 5,200875(MeV/nuclon)$

$\to \Delta {{\rm{W}}_{LKR}} = {{\rm{W}}_{LKR(Ar)}} - {{\rm{W}}_{LKR(Li)}} \approx 3,42248625(MeV/nuclon)$

Năng lượng liên kết của hạt nhân này là:

$E = \Delta m.{c^2} = 0,21u.{c^2} = 195,615MeV$

Hạt nhân Heli có : $\left\{ \begin{array}{l}Z = 2\\N = A - Z = 4 - 2 = 2\end{array} \right.$

=> Năng lượng liên kết của hạt nhân Heli :

${W_{lk}} = {\rm{ }}\left( {2.1,0073 + 2.1,0087-4,0015} \right).{c^2} = {\rm{ }}0,0305u{c^2} = 0,0305.931,5{\rm{ }}MeV = 28,41{\rm{ }}MeV$

Hạt nhân $_8^{16}O$ có: $\left\{ \begin{array}{l}Z = 8\\N = A - Z = 16 - 8 = 8\end{array} \right.$

=> Năng lượng liên kết của hạt nhân $_8^{16}O$

$\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{lk}} = \Delta m{c^2} = \left( {Z.{m_p} + N.{m_n} - {m_O}} \right){c^2}\\ = \left( {8.1,0073u + 8.1,0087u - 15,9904u} \right){c^2}\\ = 0,1376u{c^2} = 0,1376.931,5 = 128,1744MeV\end{array}$

$\Delta E = \Delta m{c^2} = \left[ {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_X}} \right] = \left[ {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - \left( {{m_{nt}} - Z{m_e}} \right)} \right]$    

$\Delta E = \left[ {6.938,256 + (13 - 6).939,550 - (12112,490 - 6.0,511)} \right]\frac{{MeV}}{{{c^2}}}{c^2} = 96,962MeV$

Ta có:

+ Năng lượng tỏa ra khi tạo thành 1 nguyên tử $_2^4He$ từ các proton và nơtron: $\Delta m{c^2}$

+ 2g $_2^4He$có số nguyên tử là: $N = n.{N_A} = \dfrac{m}{M}{N_A} = \dfrac{2}{4}.6,{02.10^{23}} = 3,{01.10^{23}}$

+ Năng lượng tỏa ra khi tạo thành 2g $_2^4He$ từ các proton và nơtron là:

$\begin{array}{l}Q = N.\Delta m{c^2} = 3,{01.10^{23}}.0,0304.931\dfrac{{MeV}}{{{c^2}}}.{c^2}\\ = 8,{52.10^{24}}MeV = 1,{36.10^{12}}J\end{array}$

Năng lượng liên kết : ${{\rm{W}}_{lk}} = \Delta m{c^2}$  (Với $\Delta m$: độ hụt khối)

=> Năng lượng liên kết càng lớn thì độ hụt khối càng lớn.

Đặc trưng cho mức độ bền vững của hạt nhân là năng lượng liên kết riêng

Để so sánh độ bền vững giữa hai hạt nhân ta dựa vào đại lượng năng lượng liên kết riêng của hạt nhân

Theo đề bài hạt nhân nguyên tử X bền vững hơn hạt nhân nguyên tử Y

Do đó ta có:

${{\rm{W}}_{lkrX}} > {{\rm{W}}_{lkrY}} \Leftrightarrow \dfrac{{\Delta {m_1}{c^2}}}{{{A_1}}} > \dfrac{{\Delta {m_2}{c^2}}}{{{A_2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{\Delta {m_1}}}{{{A_1}}} > \dfrac{{\Delta {m_2}}}{{{A_2}}}$

Hạt nhân X bền vững hơn hạt nhân Y: ${\varepsilon _X} > {\varepsilon _Y} \Leftrightarrow \dfrac{{{E_X}}}{{{A_X}}} > \dfrac{{{E_Y}}}{{{A_Y}}}$

Ta có:

+ Năng lượng liên kết của hạt nhân $_{17}^{37}Cl$: ${{\rm{W}}_{lk}} = \Delta m{c^2} = \left( {Z{m_p} + \left( {A - Z} \right){m_n} - {m_{Cl}}} \right){c^2}$

=> Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân $_{17}^{37}Cl$ bằng:

$\varepsilon  = \dfrac{{\Delta m.{c^2}}}{A} = \dfrac{{\left( {17.1,007276 + 20.1,00867 - 36,956563} \right).931}}{{37}} = 8,5684\,MeV$

+ Hạt nhân có số khối $A = 8 + 9 = 17$

+ Năng lượng liên kết riêng của hạt nhân :

$\begin{array}{l}\varepsilon  = \dfrac{{{W_{lk}}}}{A} = \dfrac{{\Delta m{c^2}}}{A} = 7,75\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {8.1,0073 + 9.1,0087 - m} \right).931,5}}{{17}} = 7,75\\ \Rightarrow m = 16,995\,u\end{array}$

Ta có: ${m_p} = {\rm{ }}{m_H} = {\rm{ }}1,007825u$

Năng lượng liên kết riêng:

$\begin{array}{l}\varepsilon  = \dfrac{{\Delta E}}{A} = \dfrac{{\left( {13.{m_p} + (26 - 13).{m_n} - {m_{hn}}} \right).{c^2}}}{{26}}\\ = \dfrac{{\left( {13.1,007825u + 13.1,008665u - 25,986982u} \right){c^2}}}{{26}}\\ = 8,{76.10^{ - 3}}u{c^2} = 8,15MeV\end{array}$