Một lượng chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là \({m_0}\). Sau 4 chu kỳ bán rã khối lượng chất phóng xạ còn lại là
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 4 chu kì bán rã là:
\(m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {m_0}{.2^{ - \dfrac{{4T}}{T}}} = {m_0}{.2^{ - 4}} = \dfrac{{{m_0}}}{16}\)
Giả sử ban đầu có một mẫu chất phóng xạ \(X\) nguyên chất có chu kì bán rã là \(T\) và biến thành hạt nhân \(Y\). Tại thời điểm \(t_0\), tỉ lệ giữa số hạt nhân \(Y\) và hạt nhân \(X\) là \(\dfrac{{13}}{{24}}\). Tại thời điểm \(t = t_0 +2T\) thì tỉ lệ đó là
\(\dfrac{{{N_1}'}}{{{N_1}}} = \dfrac{{{N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{{{t_0}}}{T}}})}}{{{N_0}{{.2}^{ - \dfrac{{{t_0}}}{T}}}}} = {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}} - 1 = \dfrac{{13}}{{24}} \\\to {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}} = \dfrac{{37}}{{24}}\)
\( \to \dfrac{{{N_2}'}}{{{N_2}}} = {2^{\dfrac{{({t_0} + 2T)}}{T}}} - 1 = {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}}{.2^2} - 1 = \dfrac{{37}}{{24}}.4 - 1 = \dfrac{{31}}{6}\)
Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn - 2021
Đồng vị phóng xạ \(_{84}^{210}Po\) phân rã \(\alpha \), biến đổi thành đồng vị bền \(_{82}^{206}Pb\) với chu kì bán rã là 138 ngày. Ban đầu có một mẫu \(_{84}^{210}Po\) tinh khiết. Đến thời điểm t, tổng số hạt \(\alpha \) và số hạt nhân \(_{82}^{206}Pb\) (được tạo ra) gấp 14 lần số hạt nhân \(_{84}^{210}Po\) còn lại. Giá trị của t bằng
Phương trình phản ứng: \(_{84}^{210}Po \to \alpha + _{82}^{206}Pb\)
Ta có số Pb được tạo ra chính bằng số hạt He được tạo ra và bằng số Po đã phân rã.
Tại thời điểm t:
Số hạt Po còn lại: \({N_{Po}} = {N_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}}\)
Số hạt He và số hạt Pb: \({N_\alpha } = {N_{Pb}} = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)\)
Theo đề bài, ta có: \({N_\alpha } + {N_{Pb}} = 14{N_{Po}}\)
\( \Leftrightarrow 2{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right) = 14{N_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Leftrightarrow 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = {7.2^{ - \frac{t}{T}}}\)
\( \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow \frac{t}{T} = 3 \Rightarrow t = 3T = 3.138 = 414\) ngày.
Trong khoảng thời gian 7,6 ngày có 75% số hạt nhân ban đầu của một đồng vị phóng xa bị phân rã. Chu kì bán rã của đồng vị đó là
Số hạt nhân mẹ bị phân rã sau 7,6 ngày là:
$0,75{{N}_{0}}={{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\frac{7,6}{T}}} \right)\Leftrightarrow 0,75=1-{{2}^{-\frac{7,6}{T}}}$
$\Rightarrow {{2}^{-\frac{7,6}{T}}}=0,25\Rightarrow \frac{7,6}{T}=2\Rightarrow T=3,8$ (ngày).
Poloni là một chất phóng xạ α có chu kì bán rã là 138 ngày. Một mẫu poloni nguyên chất lúc đầu có khối lượng 1g. Sau thời gian t, khối lượng poloni còn lại là 0,707g. Giá trị của t bằng
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_0} = 1g\\m = 0,707g\\T = 138\,ngay\end{array} \right.\)
Khối lượng poloni còn lại được tính theo công thức:
\(\begin{array}{l}m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} = \frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{0,707}}{1} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} \approx \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} = {2^{ - \frac{1}{2}}} \Rightarrow \frac{t}{{138}} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 69ngay\end{array}\)
Một chất phóng xạ có hằng số phóng xạ \(\lambda \) . Ở thời điểm ban đầu ( t = 0 ) có \({N_0}\) hạt nhân của chất phóng xạ này. Ở thời điểm t , số hạt nhân còn lại cuả chất phóng xạ này là :
Số hạt còn lại của phản ứng phóng xạ : \(N = {N_0}{.2^{\dfrac{{ - t}}{T}}} = {N_0}{e^{ - \lambda t}}\)
Radon \({}_{}^{222}Ra\) là chất phóng xạ có chu kỳ bán rã \(T = 3,8\) ngày. Khối lượng Randon lúc đầu là \(m = 2g\). Khối lượng Ra còn lại sau \(19\) ngày là?
Khối lượng Ra còn lại sau 19 ngày: \(m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {2.2^{ - \dfrac{{19}}{{3,8}}}} = 0,0625g\)
Hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) có chu kỳ bán rã T, phóng xạ α biến đổi thành hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) Ban đầu có 200g chất phóng xạ \({}_{84}^{210}Po\) nguyên chất thì sau một chu kỳ bán rã khối \({}_{84}^{210}Po\) còn lại là:
Khối lượng Po còn lại: \(m = {m_0}{2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {200.2^{ - \dfrac{T}{T}}} = {200.2^{ - 1}} = 100g\)
Ban đầu một mẫu chất phóng xạ nguyên chất có N0 hạt nhân. Biết chu kì bán rã của chất phóng xạ này là T. Sau thời gian 3T, kể từ thời điểm ban đầu, số hạt chưa phân rã của mẫu chất phóng xạ này là:
Số hạt nhân chưa phân rã sau 3 chu kì là: \(N = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{3T}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{8}\)
Một nguồn phóng xạ có chu kì bán rã là T và tại thời điểm ban đầu có 48N0 hạt nhân. Hỏi sau khoảng thời gian 3T, số hạt nhân còn lại là bao nhiêu?
Số hạt nhân còn lại sau khoảng thời gian 3T là: \(N = 48{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = 48{N_0}{.2^{ - \dfrac{{3T}}{T}}} = 6{N_0}\)
Gọi \(\Delta t\) là khoảng thời gian để số hạt nhân của một lượng chất phóng xạ giảm đi \(e\) lần (\(e\) - là cơ số của loga tự nhiên \(\ln e = 1\)). Sau khoảng thời gian \(0,51\Delta t\) chất phóng xạ còn lại bao nhiêu phần trăm lượng ban đầu?
Ta có: Số hạt phóng xạ còn lại sau thời gian t là: \(N = {N_0}{e^{ - \lambda t}}\)
Lại có: \(\Delta t\) là khoảng thời gian để số hạt nhân của một lượng chất phóng xạ giảm đi \(e\) lần
\( \Rightarrow N = \dfrac{{{N_0}}}{e} = {N_0}{e^{ - \lambda \Delta t}} \Rightarrow \lambda \Delta t = 1\)
Sau thời gian \(0,51\Delta t\), số hạt còn lại là: \(N = {N_0}{e^{ - \lambda .0,51\Delta t}} = {N_0}{e^{ - 0,51}}\) (vì \(\lambda \Delta t = 1\))
Ta suy ra: \(\dfrac{N}{{{N_0}}} = {e^{ - 0,51}} = 0,6 = 60\% \)
Vậy sau khoảng thời gian \(0,51\Delta t\) chất phóng xạ còn lại \(60\% \) lượng ban đầu
Chất phóng xạ Iôt \({}_{53}^{131}\)I có chu kì bán rã 8 ngày đêm. Lúc đầu có 200g chất này. Sau 24 ngày đêm khối lượng Iôt phóng xạ đã bị biến thành chất khác là:
Khối lượng Iot sau 24 ngày đêm phóng xạ đã bị biến thành chất khác là:
\(\Delta m = {m_o}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 200.(1 - {2^{ - \dfrac{{24}}{8}}}) = 175g\)
Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 20 phút. Ban đầu một mẫu chất đó có khối lượng là 2g. Sau 1h40 phút, lượng chất đã phân rã là:
Ta có:
+ Chu kì bán rã T = 20 phút
+ Thời gian t = 1h40 phút = 100 phút = 5T (T = 20 phút)
+ Khối lượng chất đã phân rã là :
\(\Delta m = {m_0}.\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 2.\left( {1 - {2^{ - \dfrac{{5T}}{T}}}} \right) = 2.\left( {1 - {2^{ - 5}}} \right) = 1,9375g\)
Chu kì bán rã của hai chất phóng xạ A và B lần lượt là \({T_A}\) và \({T_B} = {\rm{ }}2{T_A}\). Ban đầu hai khối chất A, B có số hạt nhân như nhau. Sau thời gian \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}4{T_A}\) thì tỉ số giữa số hạt nhân A và B đã phóng xạ là :
+ Gọi số hạt nhân ban đầu của hai chất phóng xạ A và B là \({N_0}\)
+ Số hạt nhân đã phóng xạ của hai chất phóng xạ A và B sau thời gian t lần lượt là :
\(\Delta {N_A} = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{{{T_A}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{{T_A}}}}}) = \dfrac{{15{N_0}}}{{16}}\)
\(\Delta {N_B} = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{{{T_B}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{{T_B}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{2{T_A}}}}}) = \dfrac{{3{N_0}}}{4}\)
=> Tỉ số giữa số hạt nhân A và B đã phóng xạ là \(\dfrac{{\Delta {N_A}}}{{\Delta {N_B}}} = \dfrac{{\dfrac{{15}}{{16}}}}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{5}{4}\)
Gọi \(\tau \) là khoảng thời gian để số hạt nhân của một đồng vị phóng xạ giảm đi 4 lần. Sau thời gian \(2\tau \) số hạt nhân còn lại của đồng vị đó bằng bao nhiêu phần trăm số hạt nhân ban đầu?
+ \(\tau \) là khoảng thời gian để số hạt nhân của một đồng vị phóng xạ giảm đi 4 lần: \({N_0}{.2^{ - \dfrac{\tau }{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{4} \Rightarrow \tau = 2T\)
+ Số hạt nhân còn lại sau thời gian \(2\tau \) là \(N = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{2\tau }}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{4T}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{{16}}\)
Số hạt nhân còn lại chiếm so với số hạt nhân ban đầu là: \(\dfrac{N}{{{N_0}}} = \dfrac{1}{{16}} = 0,0625 = 6,25\% \)
Đồng vị \({}_{27}^{60}Co\) là chất phóng xạ \({\beta ^ - }\) với chu kỳ bán rã \(T{\rm{ }} = {\rm{ }}5,33\) năm. Sau một năm, khối lượng \({}_{27}^{60}Co\) bị phân rã chiếm bao nhiêu phần trăm so với khối lượng ban đầu ?
+ Khối lượng Co bị phân rã \(\Delta m = {m_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)\)
+ Phần trăm khối lượng bị phân rã: \(\dfrac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = 1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = 1 - {2^{ - \dfrac{1}{{5,33}}}} = 0,122 = 12,2\% \)
Đồng vị \(^{210}Po\) phóng xạ \(\alpha \) và biến thành một hạt nhân chì \(^{206}Pb\). Ban đầu có \(0,168\left( g \right)Po\), sau một chu kì bán rã, thể tích của khí Heli sinh ra ở điều kiện tiêu chuẩn (1mol khí trong điều kiện tiêu chuẩn chiếm một thể tích \(22,4l\)) là:
Ta có: \(^{210}Po{ \to ^{206}}Pb{ + ^4}He\)
=> Số mol chì được tạo ra chính bằng số mol Heli
Lại có, khối lượng chì được tạo ra sau một chu kì bán rã là:
\({m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}}}{{{A_{Po}}}}.{A_{Pb}} = {m_0}\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}}(1 - {2^{\dfrac{t}{T}}}) = 0,168\dfrac{{206}}{{210}}(1 - {2^{ - \dfrac{T}{T}}}) = 0,0824g\)
=> Số mol chì được tạo thành trong thời gian đó là: \(n = \dfrac{{{m_{Pb}}}}{{{A_{Pp}}}} = \dfrac{{0,00824}}{{206}} = {4.10^{ - 4}}\left( {mol} \right)\)
=> Thể tích khí Heli sinh ra ở điều kiện tiêu chuẩn sau một chu kì bán rã là:
\(V = n.22,4 = {4.10^{ - 4}}.22,4 = 8,{96.10^{ - 3}}l = 8,96ml\)
Hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) có chu kỳ bán rã \(T\), phóng xạ \(\alpha \) biến đổi thành hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\). Ban đầu có \(200g\) chất phóng xạ \({}_{84}^{210}Po\) nguyên chất thì sau một chu kỳ bán rã khối lượng chì được tạo thành là:
Nhận xét : \(t = T\) nên ta dùng hàm mũ 2 để giải cho nhanh bài toán:
- Khối lượng Po bị phân rã sau một chu kì bán rã là :
\(\begin{array}{l}\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 200(1 - {2^{ - 1}})\\ \Rightarrow \Delta m{\rm{ }} = 100g\end{array}\)
- Suy ra khối lượng của Pb được tạo thành : \({m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}.{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}} = \dfrac{{100}}{{210}}.206 = 98,1g\)
84210Po là đồng vị phóng xạ α và biến đổi thành hạt nhân chì bền với chu kì bán rã T = 138 ngày. Thời gian cần thiết để tổng số hạt chì và hạt α được tạo ra gấp 6 lần số hạt 84210Po còn lại trong mẫu chất phóng xạ là:
Phương trình phản ứng: \({}_{84}^{210}Po \to \alpha + {}_{82}^{206}Pb\)
Số hạt nhân Po còn lại trong mẫu: \({N_{Po}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}}\)
Số hạt nhân Pb và \(\alpha \) được tạo thành: \({N_{Pb}} = {N_\alpha } = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)\)
Tổng số hạt chì và hạt α được tạo ra: \({N_{Pb}} + {N_\alpha } = 2{N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{N_{Pb}} + {N_\alpha } = 6.{N_{Po}}\\ \Leftrightarrow 2{N_0}.\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}{2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 6{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}}\\ \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
\( \Rightarrow t = 2T = 276\) (ngày)
Tính chu kì bán rã T của một chất phóng xạ, cho biết tại thời điểm \({t_1}\), tỉ số giữa hạt con và hạt mẹ là 7, tại thời điểm \({t_2}\) sau \({t_1}\) 414 ngày thì tỉ số đó là 63.
+ Tại thời điểm \({t_1}\) ta có: \(\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_1}}})}}{{{e^{ - \lambda {t_1}}}}} = 7 \Rightarrow {e^{ - \lambda {t_1}}} = \dfrac{1}{8}\) (1)
+ Tại thời điểm \({t_2} = {\rm{ }}{t_1} + {\rm{ }}414\) ta có :
\(\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_2}}})}}{{{e^{ - \lambda {t_2}}}}} = 63 \Rightarrow \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda ({t_1} + 414)}})}}{{{e^{ - \lambda ({t_1} + 414)}}}} = 63 \Rightarrow \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_1}}}.{e^{ - 414\lambda }})}}{{{e^{ - \lambda {t_1}}}.{e^{ - 414\lambda }}}} = 63\) (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 0,125.{e^{ - 414\lambda }}}}{{0,125.{e^{ - 414\lambda }}}} = 63\\ \Rightarrow {e^{ - 414\lambda }} = 0,125\\ \Rightarrow \lambda = \dfrac{{ - \ln 0,125}}{{414}} = \dfrac{{\ln 2}}{T}\end{array}\)
\( \Rightarrow T = \dfrac{{414.\ln 2}}{{ - \ln 0,125}} = 138\) ngày
