Các dạng bài tập về phóng xạ

Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 4 chu kì bán rã là:

$m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {m_0}{.2^{ - \dfrac{{4T}}{T}}} = {m_0}{.2^{ - 4}} = \dfrac{{{m_0}}}{16}$

$\dfrac{{{N_1}'}}{{{N_1}}} = \dfrac{{{N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{{{t_0}}}{T}}})}}{{{N_0}{{.2}^{ - \dfrac{{{t_0}}}{T}}}}} = {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}} - 1 = \dfrac{{13}}{{24}} \\\to {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}} = \dfrac{{37}}{{24}}$

$\to \dfrac{{{N_2}'}}{{{N_2}}} = {2^{\dfrac{{({t_0} + 2T)}}{T}}} - 1 = {2^{\dfrac{{{t_0}}}{T}}}{.2^2} - 1 = \dfrac{{37}}{{24}}.4 - 1 = \dfrac{{31}}{6}$

Phương trình phản ứng: $_{84}^{210}Po \to \alpha  + _{82}^{206}Pb$

Ta có số Pb được tạo ra chính bằng số hạt He được tạo ra và bằng số Po đã phân rã.

Tại thời điểm t:

Số hạt Po còn lại: ${N_{Po}} = {N_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}}$

Số hạt He và số hạt Pb: ${N_\alpha } = {N_{Pb}} = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Theo đề bài, ta có: ${N_\alpha } + {N_{Pb}} = 14{N_{Po}}$

$\Leftrightarrow 2{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right) = 14{N_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Leftrightarrow 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = {7.2^{ - \frac{t}{T}}}$

$\Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow \frac{t}{T} = 3 \Rightarrow t = 3T = 3.138 = 414$ ngày.

Số hạt nhân mẹ bị phân rã sau 7,6 ngày là:

$0,75{{N}_{0}}={{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\frac{7,6}{T}}} \right)\Leftrightarrow 0,75=1-{{2}^{-\frac{7,6}{T}}}$

$\Rightarrow {{2}^{-\frac{7,6}{T}}}=0,25\Rightarrow \frac{7,6}{T}=2\Rightarrow T=3,8$ (ngày).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{m_0} = 1g\\m = 0,707g\\T = 138\,ngay\end{array} \right.$

Khối lượng poloni còn lại được tính theo công thức:

$\begin{array}{l}m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} = \frac{m}{{{m_0}}} = \frac{{0,707}}{1} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} \approx \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{{138}}}} = {2^{ - \frac{1}{2}}} \Rightarrow \frac{t}{{138}} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 69ngay\end{array}$

Số hạt còn lại của phản ứng phóng xạ : $N = {N_0}{.2^{\dfrac{{ - t}}{T}}} = {N_0}{e^{ - \lambda t}}$

Khối lượng Ra còn lại sau 19 ngày: $m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {2.2^{ - \dfrac{{19}}{{3,8}}}} = 0,0625g$

Khối lượng Po còn lại: $m = {m_0}{2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {200.2^{ - \dfrac{T}{T}}} = {200.2^{ - 1}} = 100g$

Số hạt nhân chưa phân rã sau 3 chu kì là: $N = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{3T}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{8}$

Số hạt nhân còn lại sau khoảng thời gian 3T là: $N = 48{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = 48{N_0}{.2^{ - \dfrac{{3T}}{T}}} = 6{N_0}$

Ta có: Số hạt phóng xạ còn lại sau thời gian t là: $N = {N_0}{e^{ - \lambda t}}$

Lại có: $\Delta t$ là khoảng thời gian để số hạt nhân của một lượng chất phóng xạ giảm đi $e$ lần

$\Rightarrow N = \dfrac{{{N_0}}}{e} = {N_0}{e^{ - \lambda \Delta t}} \Rightarrow \lambda \Delta t = 1$

Sau thời gian $0,51\Delta t$, số hạt còn lại là: $N = {N_0}{e^{ - \lambda .0,51\Delta t}} = {N_0}{e^{ - 0,51}}$  (vì $\lambda \Delta t = 1$)

Ta suy ra: $\dfrac{N}{{{N_0}}} = {e^{ - 0,51}} = 0,6 = 60\%$

Vậy sau khoảng thời gian $0,51\Delta t$ chất phóng xạ còn lại $60\%$ lượng ban đầu

Khối lượng Iot sau 24 ngày đêm phóng xạ đã bị biến thành chất khác là:

$\Delta m = {m_o}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 200.(1 - {2^{ - \dfrac{{24}}{8}}}) = 175g$

Ta có:

+ Chu kì bán rã T = 20 phút

+ Thời gian t = 1h40 phút = 100 phút = 5T (T = 20 phút)

+ Khối lượng chất đã phân rã là :

$\Delta m = {m_0}.\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 2.\left( {1 - {2^{ - \dfrac{{5T}}{T}}}} \right) = 2.\left( {1 - {2^{ - 5}}} \right) = 1,9375g$

+ Gọi số hạt nhân ban đầu của hai chất phóng xạ A và B là ${N_0}$

+ Số hạt nhân đã phóng xạ của hai chất phóng xạ A và B sau thời gian t lần lượt là :

$\Delta {N_A} = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{{{T_A}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{{T_A}}}}}) = \dfrac{{15{N_0}}}{{16}}$

$\Delta {N_B} = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{{{T_B}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{{T_B}}}}}) = {N_0}.(1 - {2^{ - \dfrac{{4{T_A}}}{{2{T_A}}}}}) = \dfrac{{3{N_0}}}{4}$

=> Tỉ số giữa số hạt nhân A và B đã phóng xạ là $\dfrac{{\Delta {N_A}}}{{\Delta {N_B}}} = \dfrac{{\dfrac{{15}}{{16}}}}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{5}{4}$

+ $\tau$ là khoảng thời gian để số hạt nhân của một đồng vị phóng xạ giảm đi 4 lần: ${N_0}{.2^{ - \dfrac{\tau }{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{4} \Rightarrow \tau  = 2T$

+ Số hạt nhân còn lại sau thời gian $2\tau$ là $N = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{2\tau }}{T}}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{{4T}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{{16}}$

 Số hạt nhân còn lại chiếm so với số hạt nhân ban đầu là: $\dfrac{N}{{{N_0}}} = \dfrac{1}{{16}} = 0,0625 = 6,25\%$

+ Khối lượng Co bị phân rã $\Delta m = {m_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)$

 + Phần trăm khối lượng bị phân rã: $\dfrac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = 1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = 1 - {2^{ - \dfrac{1}{{5,33}}}} = 0,122 = 12,2\%$

Ta có: $^{210}Po{ \to ^{206}}Pb{ + ^4}He$

=> Số mol chì được tạo ra chính bằng số mol Heli

Lại có, khối lượng chì được tạo ra sau một chu kì bán rã là:

${m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}}}{{{A_{Po}}}}.{A_{Pb}} = {m_0}\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}}(1 - {2^{\dfrac{t}{T}}}) = 0,168\dfrac{{206}}{{210}}(1 - {2^{ - \dfrac{T}{T}}}) = 0,0824g$

=> Số mol chì được tạo thành trong thời gian đó là: $n = \dfrac{{{m_{Pb}}}}{{{A_{Pp}}}} = \dfrac{{0,00824}}{{206}} = {4.10^{ - 4}}\left( {mol} \right)$

=> Thể tích khí Heli sinh ra ở điều kiện tiêu chuẩn sau một chu kì bán rã là:

$V = n.22,4 = {4.10^{ - 4}}.22,4 = 8,{96.10^{ - 3}}l = 8,96ml$

Nhận xét : $t = T$ nên ta dùng hàm mũ 2 để giải cho nhanh bài toán:

- Khối lượng Po bị phân rã sau một chu kì bán rã là :

$\begin{array}{l}\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 200(1 - {2^{ - 1}})\\ \Rightarrow \Delta m{\rm{ }} = 100g\end{array}$

 - Suy ra khối lượng của Pb được tạo thành :    ${m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}.{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}} = \dfrac{{100}}{{210}}.206 = 98,1g$

Phương trình phản ứng: ${}_{84}^{210}Po \to \alpha  + {}_{82}^{206}Pb$

Số hạt nhân Po còn lại trong mẫu: ${N_{Po}} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}}$

Số hạt nhân Pb và $\alpha$ được tạo thành: ${N_{Pb}} = {N_\alpha } = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)$

Tổng số hạt chì và hạt α được tạo ra: ${N_{Pb}} + {N_\alpha } = 2{N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}{N_{Pb}} + {N_\alpha } = 6.{N_{Po}}\\ \Leftrightarrow 2{N_0}.\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}{2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 6{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}}\\ \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{4}\end{array}$

$\Rightarrow t = 2T = 276$ (ngày)

+ Tại thời điểm ${t_1}$ ta có: $\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_1}}})}}{{{e^{ - \lambda {t_1}}}}} = 7 \Rightarrow {e^{ - \lambda {t_1}}} = \dfrac{1}{8}$  (1)

+ Tại thời điểm ${t_2} = {\rm{ }}{t_1} + {\rm{ }}414$ ta có :

$\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_2}}})}}{{{e^{ - \lambda {t_2}}}}} = 63 \Rightarrow \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda ({t_1} + 414)}})}}{{{e^{ - \lambda ({t_1} + 414)}}}} = 63 \Rightarrow \dfrac{{(1 - {e^{ - \lambda {t_1}}}.{e^{ - 414\lambda }})}}{{{e^{ - \lambda {t_1}}}.{e^{ - 414\lambda }}}} = 63$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{{1 - 0,125.{e^{ - 414\lambda }}}}{{0,125.{e^{ - 414\lambda }}}} = 63\\ \Rightarrow {e^{ - 414\lambda }} = 0,125\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{ - \ln 0,125}}{{414}} = \dfrac{{\ln 2}}{T}\end{array}$

$\Rightarrow T = \dfrac{{414.\ln 2}}{{ - \ln 0,125}} = 138$  ngày