Bài tập sóng ánh sáng hay và khó (phần 2)

+ Ban đầu M là vân tối thứ 3 nên :${x_M} = (2 + \dfrac{1}{2})\dfrac{{\lambda D}}{a}(1)$.

+ Khi giãm S₁S₂ một lượng $\Delta a$thì M là vân sáng bậc n $\left( {{k_1} = n} \right)$ nên: ${x_M} = {k_1}\dfrac{{\lambda D}}{{a - \Delta a}} = n\dfrac{{\lambda D}}{{a - \Delta a}}(2)$

+ Khi tăng S₁S₂ một lượng $\Delta a$thì M là vân sáng bậc 3n  $\left( {{k_2} = 3n} \right)$nên: ${x_M} = {k_2}\dfrac{{\lambda D}}{{a + \Delta a}} = 3n\dfrac{{\lambda D}}{{a + \Delta a}}(3)$

+ (2) và (3) $\Rightarrow n\dfrac{{\lambda D}}{{a - \Delta a}} = 3n\dfrac{{\lambda d}}{{a + \Delta a}} \Rightarrow \Delta a = \dfrac{a}{2}$

+ Khi tăng S₁S₂ một lượng $2\Delta a$thì M là sáng bậc k nên: ${x_M} = k\dfrac{{\lambda D}}{{a + 2\Delta a}} = k\dfrac{{\lambda D}}{{2a}}(4)$

+ Từ (1) và (4) $\Rightarrow k = 5$.

Vậy tại M lúc này là vân sáng bậc 5.

Gọi D là khoảng cách từ mặt phẳng hai khe tới màn quan sát.

Ta có x_H = $\dfrac{a}{2}$ = 0,4 mm

Gọi E₁ và E₂ là hai vị trí của màn mà H là vân sáng giao thoa.

Khi đó, tại vị trí E₁, H là vân sáng thứ hai nên :

x_H  = 2i₁ => i₁ = 0,2 mm.

Với i₁ = $\dfrac{{\lambda {D_1}}}{a}$

=> D₁ = 0,4m

Tại E₂, H là vân sáng thứ nhất nên: x_H  = i₂ => i₂ = 0,4 mm = 2i₁.

Với  i₂ = $\dfrac{{\lambda {D_2}}}{a}$_.

Suy ra : i₂ = 2i₁ => D₂ = 2D₁ = 0,8m

Gọi E  vị trí của màn mà H là vân tối giao thoa lần cuối.

Khi đó tại H là vân tối thứ nhất:

x_H = $\dfrac{i}{2}$ => i = 2x_H = 0,8 mm.

Mà  i = $\dfrac{{\lambda D}}{a}$=> D = 1,6 m.

Khoảng cách giữa 2 vị trí của màn để H là vân sáng giao thoa lần đầu và là vân tối giao thoa lần cuối là E₁E là:

D – D₁ = 1,2 m.

Ta có: ${i_1} = \dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} = {3.10^{ - 3}}m$; $\dfrac{L}{{{i_1}}} = 8$

=> có 9 vân sáng của bức xạ có bước sóng ${\lambda _1}$  và có 17 - 9 + 3 = 11 vân sáng của bức xạ có bước sóng ${\lambda _2}$

=> ${i_2} = \dfrac{L}{{11 - 1}} = {2,4.10^{ - 3}}m = 0,24cm$

Gọi n là số vân sáng của nguồn ${\lambda _2}$ quan sát được trong vùng MN.

Ta có khoảng vân: i₁ = $\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a}$ = $\dfrac{{MN}}{{12}}$;

i₂ = $\dfrac{{{\lambda _2}D}}{a}$ = $\dfrac{{MN}}{{n - 1}}$

=> $\dfrac{{{i_1}}}{{{i_2}}}$= $\dfrac{{n - 1}}{{12}}$ = $\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}$= $\dfrac{3}{4}$

=> n = 10

Ta có: ${i_1} = \dfrac{{\lambda D}}{a} = 1mm$

Khi khoảng cách từ màn quan sát đến mặt phẳng hai khe thay đổi :

$\begin{array}{l}{i_2} = 2i = \dfrac{{D + \Delta D}}{a}\lambda (1)\\{i_3} = i = \dfrac{{D - \Delta D}}{a}\lambda (2)\\\dfrac{{(1)}}{{(2)}} \Rightarrow \Delta D = \dfrac{D}{3}(3)\end{array}$

Nếu khoảng cách từ màn quan sát đến mặt phẳng hai khe là $D + 3\Delta D$:

$\Rightarrow i' = \dfrac{{D + 3\Delta D}}{a}\lambda  = \dfrac{{D + D}}{a}\lambda  = 2{i_1} = 2.1 = 2mm$

Trên đoạn MN có 3 vân trùng kể cả vân trung tâm do đó khoảng cách giữa hai vân trùng là

$\Delta {x_1} = \dfrac{{MN}}{2} = 9,45mm$

Mặt khác: ${i_1} = \dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} = 1,89mm \Rightarrow \dfrac{{\Delta {x_1}}}{{{i_1}}} = 5 \Rightarrow$ số vân đơn sắc trong đoạn MN: 2(5 - 1) = 8

Số vân đơn sắc ứng với ${\lambda _2}$ trên đoạn MN là: 23 - 3 - 8 = 12.

Vậy số vân đơn sắc giữa hai vân trùng gần nhau nhất là: 6

$\Rightarrow {i_1} = \dfrac{{\Delta {x_1}}}{{6 + 1}} = 1,35mm \Rightarrow {\lambda _2} = \dfrac{{a{i_2}}}{D} = 0,45\mu m$

Ta có: ${k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3} \Leftrightarrow 3{k_1} = 4{k_2} = 5{k_3}$

BSCNN (3,4,5) = 60 → k₁ = 20; k₂ = 15; k₃ = 12.

Xét ${\lambda _1},\,{\lambda _2}:\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{{12}}{9} = \dfrac{{16}}{{12}} \Rightarrow$ có 4 vân trùng

Xét ${\lambda _1},\,{\lambda _3}:\dfrac{{{k_1}}}{{{k_3}}} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{9} \Rightarrow$ có 3 vân trùng

Xét ${\lambda _2},\,{\lambda _3}:\dfrac{{{k_2}}}{{{k_3}}} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{10}}{8} \Rightarrow$ có 2 vân trùng

Vậy số vân tím = 19 – 7 = 12; Số vân đỏ = 11 - 5 = 6

Số vân cần tìm: 12 + 6 = 18

Gọi R là khoảng cách từ nguồn đến người quang sát, r là bán kính con ngươi của người. Vì năng lượng được tỏa ra đều trong không gian nên khi tới con ngươi của người thì năng lượng ấy phân bố đều trên mặt cầu diện tích $S = 4\pi {R^2}$, phần lọt vào con ngươi của mặt cầu này có diện tích $S' = \pi {r^2}$

- Gọi P là công suất của nguồn và P’ là là công suất đi vào người quang sát, ta có : $\dfrac{{P'}}{P} = \dfrac{{S'}}{S} = \dfrac{{{r^2}}}{{4{R^2}}} \Rightarrow P' = \dfrac{{P.{r^2}}}{{4{R^2}}}$.

- Gọi N là số photon lọt vào con ngươi trong 1 s, công suất P’ chính là năng lượng do N photon đó đem tới, vậy:$P' = N\dfrac{{hc}}{\lambda }$.

- Từ hai biểu thức trên ta có: $N = \dfrac{{\lambda {{\Pr }^2}}}{{4hc.{R^2}}}$

- Để mắt nhìn thấy được nguồn, theo giả thiết ta phải có:

$\begin{array}{l}N \ge 80 \Rightarrow \dfrac{{\lambda .{{\Pr }^2}}}{{4hc{R^2}}} \ge 80\\ \Rightarrow R \le r\sqrt {\dfrac{{\lambda P}}{{320hc}}}  = 274000m\end{array}$

+ Số photon phát ra trong 1 đơn vị thời gian: ${N_0} = \dfrac{P}{\varepsilon } = \dfrac{{P.\lambda }}{{hc}} = {6.10^{18}}\left( {ph{\rm{oto}}n} \right)$

+ Số photon truyền qua 1 đơn vị diện tích mặt cầu có bán kính R: $n = \dfrac{{{N_0}}}{{4\pi {R^2}}}$

+ Số photon truyền qua con ngươi trong 1 giây : $N = n.S = n.\pi {\left( {\dfrac{d}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{N_0}}}{{4\pi .{R^2}}}.\dfrac{{\pi {d^2}}}{4} = \dfrac{{{{6.10}^{12}}}}{{{R^2}}}$

+ Theo đề bài N ≥ 80 → R ≤ 273861,3(m)

Với các giá trị khác nhau của D và a không làm thay đổi đáp án nên lấy D = 1m và a = 1mm.

Ta có: i₁= 0,72mm, i₂= 0,60mm, i₃= 0,48mm.

BCNN (i₁,i₂,i₃) = 7,2mm; BCNN (i₁,i₂) = 3,6mm; BCNN (i₁,i₂) = 2,4mm

Số vân trùng của ${\lambda _1}$ và ${\lambda _2}$ trong khoảng giữa hai vân liên tiếp cùng màu với vân trung tâm là:

N₁₂ = 1 vì 0 < 3,6n < 7,2 suy ra: 0 < n < 2, lấy n =1

Số vân trùng của ${\lambda _2}$ và ${\lambda _3}$ trong khoảng giữa hai vân liên tiếp cùng màu với vân trung tâm là:

N₂₃= 2 vì 0 < 2,4n < 7,2 suy ra: 0 < n < 3, lấy n = 1, 2.

Số vân của ${\lambda _2}$ trong khoảng giữa hai vân liên tiếp cùng màu với vân trung tâm là:

N₂= 11 vì 0 < 0,6n < 7,2 suy ra: 0 < n < 12, lấy n = 1,2,3,……11

Vậy số vân của ${\lambda _2}$ quan sát được trong khoảng giữa hai vân liên tiếp cùng màu với vân trung tâm là:

N = N₂ – N₁₂ – N₂₃ = 11 – 1 – 2 = 8

Trên hình vẽ, ta có ${L_1};{L_2}$ là 2 vị trí của thấu kính sao cho ảnh rõ nét của 2 nguồn trên màn.

Gọi $f$ là tiêu cự của thấu kính, ta có:

+ Xét vị trí ${L_1}$: $\frac{1}{f} = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{d{'_1}}}$

+ Xét vị trí ${L_2}$: $\frac{1}{f} = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{d{'_2}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_1}'}} = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{{d_2}'}}$

Lại có: ${d_1} + {d_1}' = {d_2} + {d_2}' = S$

$\Rightarrow {d_1}.{d_1}' = {d_2}{d_2}' = P\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Từ (1) ta suy ra ${d_1};{d_1}'$ là 2 nghiệm của phương trình:

${X^2} - S{\rm{X}} + P = 0$ và ${d_2};{d_2}'$ cũng vậy.

Phương trình trên là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt ${X_1},{X_2}$

Do ${d_1} \ne {d_2}$ nên ${X_1} = {d_1} = {d_2}'$ và ${X_2} = {d_2} = {d_1}'$

Theo đề bài ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1} + {d_1}' = 1,2m = 120cm\\\frac{3}{{80}} = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{120 - {d_1}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = {d_2}' = 40cm\\{d_1}' = {d_2} = 80cm\end{array} \right.$

Ta xét 1 vị trí bất kì của thấu kính

Từ hình vẽ, ta có: ${S_1}'{S_2}' = {S_1}{S_2}\frac{{d'}}{d}$

Suy ra để có ảnh lớn hơn, ta phải có $\frac{{d'}}{d} > 1$

Tức là thấu kính gần ${S_1}{S_2}$ hơn

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}d = 40cm\\d' = 80cm\end{array} \right.$

$\Rightarrow {S_1}{S_2} = {S_1}'{S_2}'\frac{d}{{d'}} = 1,6\frac{{40}}{{80}} = 0,8mm$

Vậy $a = 0,8mm$

Khi bỏ thấu kính cho giao thoa ánh sáng trên màn khi đó có khoảng vân:

$i = \frac{{\lambda D}}{a} = \frac{{0,{{6.10}^{ - 6}}.1,2}}{{0,{{8.10}^{ - 3}}}} = {9.10^{ - 4}}m = 0,9mm$

Để người quan sát không thể nhìn thấy vật thể nào bên ngoài hành lang thì:

$\beta  < \alpha$

$\Rightarrow \tan \beta  < \tan \alpha  \Leftrightarrow \frac{{0,5L}}{{nD + (n + 0,5)a}} < \frac{a}{D}$

$\Leftrightarrow \frac{{0,5.5}}{{4n + (n + 0,5).0,35}} < \frac{{0,35}}{4}$

$\Leftrightarrow n > 6,53$

Vậy kể từ cột thứ 7 trở đi, sẽ không thể nhìn thấy vật thể nào bên ngoài hành lang.