Một con lắc đơn có chiều dài l, dao động điều hòa với chu kì T1 . Tại nơi có gia tốc trọng trường là g = π2 = 10m/s2. Khi vật đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng đinh tại vị trí 0,5l và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kì dao động của con lắc đơn khi này?
Ta có: Chu kì dao động của con lắc đơn khi đó: \(T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} )\)
Một con lắc đơn có chiều dài \(l = 2m\) đang dao động điều hòa với chu kì \(T\) tại nơi có gia tốc trọng trường là \(g{\rm{ }} = {\rm{ }}{\pi ^2} = {\rm{ }}10m/{s^2}\). Khi dao động qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng đinh tại vị trí \(\dfrac{l}{2}\) và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kì của con lắc đơn khi này?
Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn khi bị vướng đinh:
\(T = \dfrac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \dfrac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} ) = \dfrac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2}} }}(\sqrt 2 + \sqrt 1 ) = \sqrt 2 + 1\left( s \right)\)
Kéo con lắc đơn có chiều dài \(l = 1m\) ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng vào một chiếc đinh đóng dưới điểm treo con lắc một đoạn \(64cm\). Lấy \(g = {\pi ^2} = 10m/{s^2}\). Chu kì dao động của con lắc khi bị vướng đinh là:
Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn khi bị vướng đinh:
\(\begin{array}{l}T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right)\\ \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} ) = \frac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2}} }}(\sqrt 1 + \sqrt {1 - 0,64} ) = 1,6{\rm{s}}\end{array}\)
Cho một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo trên một sợi dây chỉ nhẹ có chiều dài \(l\), không co giãn. Con lắc đang dao động với biên độ góc \({\alpha _1}\) nhỏ và đang đi qua vị trí cân bằng thì điểm cách đầu cố định của con lắc \(\dfrac{1}{3}l\) bị giữ lại. Biên độ góc dao động sau đó là:
Khi \(\alpha \) nhỏ, ta có: \(\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}})^2}\)
Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_1} = l\\{l_2} = l - \dfrac{1}{3}l = \dfrac{2}{3}l\end{array} \right.\)
Ta suy ra: \(\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \frac{3}{2} = {\left( {\dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}}} \right)^2} \to {\alpha _2} = {\alpha _1}\sqrt {\dfrac{3}{2}} = \dfrac{{{a_1}\sqrt 6 }}{2}\)
Một con lắc đơn có chiều dài \(l\). Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc \({\alpha _0} = {45^0}\) rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng vào một chiếc đinh nằm trên đường thẳng đứng cách điểm treo con lắc một đoạn \(\dfrac{{2l}}{5}\). Tính biên độ góc α0’ mà con lắc đạt được sau khi vướng đinh?
Ta có mối liên hệ giữa chiều dài dây và biên độ góc : \(\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \dfrac{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _2}}}{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _1}}}\)
Theo đầu bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_1} = l\\{l_2} = l - \dfrac{{2l}}{5} = \dfrac{{3l}}{5}\end{array} \right.\)
Ta suy ra:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \dfrac{{1 - c{\rm{os}}\alpha {'_0}}}{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}}} = \dfrac{l}{{\dfrac{{3l}}{5}}} = \dfrac{5}{3}\\ \to c{\rm{os}}\alpha {'_0} = \dfrac{{5c{\rm{os}}{\alpha _0} - 2}}{3} = \dfrac{{5\cos {{45}^0} - 2}}{3} = 0,5118\\ \to {\alpha _2} = 59,{21^0}\end{array}\)
Một con lắc đơn có chiều dài \(1,2m\). Phía dưới điểm treo \(O\) trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng vào điểm \(O'\) cách \(O\) một khoảng \(OO' = 30cm\). Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc \(\alpha = {3^0}\) rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Biên độ cong trước và sau khi vướng đinh là:
Ta có:
Biên độ cong (biên độ dài) \({s_0} = {\rm{ }}l{\alpha _0}\)
+ Biên độ dài trước khi vướng đinh: \({s_{01}} = {l_1}{\alpha _1} = 1,2.\left( {\frac{{3.\pi }}{{180}}} \right) = 0,0628m \approx 6,3cm\)
Theo đầu bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{l_1} = 1,2m\\{l_2} = {l_1} - 0,3 = 1,2 - 0,3 = 0,9m\end{array} \right.\)
+ Mặt khác, ta có: \(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}})^2} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = \frac{4}{3} \to {\alpha _2} = \frac{{2{\alpha _1}}}{{\sqrt 3 }} = 3,{46^0} = 0,06{\rm{r}}a{\rm{d}}\)
\( \to {s_{02}} = {l_2}{\alpha _{02}} = 0,9.0,06 = 0,054m = 5,4cm\)
Cho con lắc đơn có chiều dài dây là \({l_1}\) dao động điều hòa với biên độ góc \(\alpha \). Khi qua vị trí cân bằng, dây treo bị mắc đinh tại vị trí \({l_2}\) và dao động với biên độ góc \(\beta \). Mối quan hệ giữa \(\alpha \) và \(\beta \) là:
ta có: \(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\frac{\beta }{\alpha })^2} \to {\beta ^2} = {\alpha ^2}\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}\)
Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kỳ dao động nhỏ là T1 = 4s và T2 = 4,8s. Kéo hai con lắc lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ. Hỏi sau thời gian thời gian để hai con lắc trùng phùng lần thứ 2 và khi đó mỗi con lắc thực hiện bao nhiêu dao động?
Ta có:
+ Với \(n\left( {{T_2} - {T_1}} \right) = 1.{T_1}\) thì xảy ra hiện tượng trùng phùng lần thứ nhất với \(n = 5\)
+ Với \(n\left( {{T_2} - {T_1}} \right) = m{T_1}\) thì xảy ra hiện tượng trùng phùng lần thứ m
=> Khi có hiện tượng trùng phùng lần thứ 2 thì:
\(n\left( {{T_2} - {T_1}} \right) = 2{T_1}\) và \(\Delta t = n{T_2} = \left( {n + 2} \right){T_1}\)
=> \(n = 10 \to \Delta t = 48s\) và khi đó con lắc thứ 2 thực hiện được $10$ dao động, còn con lắc thứ nhất thực hiện được $12$ dao động.
Hai con lắc lò xo treo cạnh nhau có chu kỳ dao động nhỏ là T1 = 2s và T2 = 2,1s. Kéo hai con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn như nhau rồi đồng thời buông nhẹ. Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu thì hai con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí này
Khoảng thời gian ngắn nhất để 2 con lắc đồng thời trở lại vị trí ban đầu chính là một chu kì trùng phùng
\(\Delta t = n{T_1} = \left( {n + 1} \right){T_2} = \dfrac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \dfrac{{2.2,1}}{{\left| {2 - 2,1} \right|}} = 42s\)
Hai con lắc đơn dao động trong hai mặt phẳng thẳng đứng, song song với chu kì lần lượt là $2s$, $2,05s$. Xác định chu kì trùng phùng của hai con lắc?
Ta có thời gian trùng phùng: \(\Delta t = nT = \left( {n + 1} \right){T_0}\)
=> Chu kì trung phùng \(\Delta t = \dfrac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \dfrac{{2.2,05}}{{\left| {2 - 2,05} \right|}} = 82s\)
Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kỳ dao động nhỏ là T1 = 0,2 s và T2 (với T1 < T2). Kéo hai con lắc lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ. Thời gian giữa 3 lần trùng phùng liên tiếp là 4 s. Tìm T2
Ta có:
+ Khoảng thời gian giữa 3 lần trùng phùng liên tiếp là 4s
=> Chu kì trùng phùng của hai con lắc \(\Delta t = \dfrac{4}{2} = 2s\)
+ Mặt khác, ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta t = \dfrac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_2} - {T_1}}} = 2s\\ \leftrightarrow \dfrac{{0,2.{T_2}}}{{{T_2} - 0,2}} = 2\\ \to {T_2} = 0,222s\end{array}\)
Một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s và một con lắc đơn dài 1m có chu kì T chưa biết. Con lắc đơn dao động nhanh hơn con lắc đồng hồ một chút. Dùng phương pháp trùng phùng người ta ghi được khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 8 phút 20 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và gia tốc trọng trường tại nơi quan sát.
Do cứ sau 1 khoảng thời gian \(\Delta t{\text{ }} = {\text{ }}n{T_0}{\text{ }} = {\text{ }}\left( {n{\text{ }} + {\text{ }}1} \right){T}\) thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l} \to 8.60 + 20 = \left( {n } \right){T_0}\\ \to n = 250\\ \to T = 1,992s\end{array}\)
Lại có : \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \to g = 9,949m/{s^2}\) với \(\pi = \sqrt {10} \)
Hai con lắc đơn có chu kì $T_1 = 1,6s$ , chu kì $T_2 = 1,8s$ dao động nhỏ trong hai mặt phẳng song song , hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều lúc $t = 0s$. Xác định thời điểm gần nhất mà $2$ con lắc lặp lại trạng thái như trên.
Gọi \(t\) - thời gian 2 con lắc lặp lại trạng thái ban đầu
Ta có, trong thời gian \(t\) số dao động mà 2 con lắc thực hiện được lần lượt là:
\({N_1} = \dfrac{t}{{{T_1}}}\) và \({N_2} = \dfrac{t}{{{T_2}}}\)
Ta suy ra: \(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \leftrightarrow \dfrac{{1,6}}{{1,8}} = \dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}} \to \dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}} = \dfrac{8}{9}\)
Vì \({N_1},{N_2}\) nguyên nên ta suy ra:
\( \to {N_1} = 9,18,27,...\)
\({N_2} = 8,16,24s,...\)
=> Thời điểm lần đầu gặp nhau ứng với \({N_1},{N_2}\) nhỏ nhất hay \({N_1} = 9,{N_2} = 8\)
=> Thời gian gặp nhau lần đầu: \({t_{\min }} = {T_1}{N_{1\min }} = {T_2}{N_{2\min }} = 1,6.9 = 14,4s\)
Hai con lắc đơn dao động với các chu kì $T_1= 6,4s$ và $T_2 = 4,8 s$. Khoảng thời gian giữa hai lần chúng cùng đi qua vị trí cân bằng và chuyển động về cùng một phía liên tiếp là
Do cứ sau 1 khoảng thời gian \(\Delta t = nT = \left( {n + 1} \right){T_0}\) thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l} \to n = \dfrac{{{T_0}}}{{T - {T_0}}} = 3\\ \to \Delta t = 3{T_2} = 19,2s\end{array}\)
Hai con lắc $A$ và $B$ cùng dao động trong hai mặt phẳng song song. Trong thời gian dao động có lúc hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng thẳng đứng và đi theo cùng chiều (gọi là trùng phùng). Thời gian gian hai lần trùng phùng liên tiếp là $T = 13$ phút $22$ giây. Biết chu kì dao động con lắc $A$ là $T_A = 2 s$ và con lắc $B$ dao động chậm hơn con lắc $A$ một chút. Chu kì dao động con lắc $B$ là:
Ta có:
+ Thời gian gian hai lần trùng phùng liên tiếp là $\Delta t=T = 13$ phút $22$ giây $=802s$
+ Do cứ sau 1 khoảng thời gian \(\Delta t = n{T_B} = \left( {n + 1} \right){T_A}\) thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l} \to 13.60{\rm{ }} + {\rm{ }}22{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){T_A}\\ \to n{\rm{ }} = {\rm{ }}400\\ \to {T_B} = {\rm{ }}2,005s\end{array}\)
Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ $A$. Biết $f_1 =2 Hz$ và $f_2 =2,5 Hz$. Ở thời điểm ban đầu $2$ vật đều có li ${x_0} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}$ và $2$ vật chuyển động cùng chiều dương . Hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu hai vật lại có cùng li độ?
+ Chu kì dao động của 2 vật: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = \dfrac{1}{{{f_1}}} = \dfrac{1}{2} = 0,5s\\{T_2} = \dfrac{1}{{{f_2}}} = \dfrac{1}{{2,5}} = 0,4s\end{array} \right.\)
+ Do ban đầu 2 vật có cùng li độ \({x_0} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\) và cùng đi theo chiều dương
=> Pha ban đầu của 2 vật là \(\varphi = - \dfrac{\pi }{6}\)
+ Gọi \({\varphi _1}\) là góc vật 1 quay được tới vị trí lần đầu tiên 2 vật có cùng li độ
\({\varphi _2}\) là góc vật 2 quay được tới vị trí lần đầu tiên 2 vật có cùng li độ
+ Do \({T_2} = \dfrac{{0,4}}{{0,5}}{T_1} = 0,8{T_1}\) (\({T_2}\) trễ pha hơn \({T_1}\))
Ta suy ra: \({\varphi _2} = \dfrac{1}{{0,8}}{\varphi _1} = 1,25{\varphi _1}\)
Để hai vật có li độ bằng nhau thì:
\(\begin{array}{l}cos\left( { - \dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = cos\left( { - \dfrac{\pi }{6} + {\varphi _2}} \right)\\ \leftrightarrow cos\left( { - \dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = cos\left( { - \dfrac{\pi }{6} + 1,25{\varphi _1}} \right)\\ \leftrightarrow \left( { - \dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = \pm \left( { - \dfrac{\pi }{6} + 1,25{\varphi _1}} \right) + k2\pi \\ \to \left[ \begin{array}{l}{\varphi _1} = - 8k\pi \left( {loai} \right)\\{\varphi _1} = \dfrac{4}{{27}}\pi + \dfrac{8}{9}k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Ta suy ra: \({\varphi _{1\min }} = \dfrac{{4\pi }}{{27}}\)
=> Thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu đến khi 2 vật có li độ bằng nhau là:
\(\Delta t = \dfrac{{{\varphi _1}}}{{{\omega _1}}} = \dfrac{{\dfrac{{4\pi }}{{27}}}}{{\dfrac{{2\pi }}{{{T_1}}}}} = \dfrac{{2{T_1}}}{{27}} = \dfrac{1}{{27}}s\)
Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ \(A\). Biết \({f_1} = 2Hz\) và \({f_2} = 2,5Hz\).Ở thời điểm ban đầu 2 vật đều có li \({x_0} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\) và \(2\) vật chuyển động cùng chiều âm . Hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu hai vật lại có cùng li độ?
+ Chu kì dao động của 2 vật: \(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = \dfrac{1}{{{f_1}}} = \dfrac{1}{2} = 0,5s\\{T_2} = \dfrac{1}{{{f_2}}} = \dfrac{1}{{2,5}} = 0,4s\end{array} \right.\)
+ Do ban đầu 2 vật có cùng li độ \({x_0} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\) và cùng đi theo chiều âm
=> Pha ban đầu của 2 vật là \(\varphi = \dfrac{\pi }{6}\)
+ Gọi \({\varphi _1}\) là góc vật 1 quay được tới vị trí lần đầu tiên 2 vật có cùng li độ
\({\varphi _2}\) là góc vật 2 quay được tới vị trí lần đầu tiên 2 vật có cùng li độ
+ Do \({T_2} = \dfrac{{0,4}}{{0,5}}{T_1} = 0,8{T_1}\) (\({T_2}\) trễ pha hơn \({T_1}\))
Ta suy ra: \({\varphi _2} = \dfrac{1}{{0,8}}{\varphi _1} = 1,25{\varphi _1}\)
Để hai vật có li độ bằng nhau thì:
\(\begin{array}{l}cos\left( {\dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = cos\left( {\dfrac{\pi }{6} + {\varphi _2}} \right)\\ \leftrightarrow cos\left( {\dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = cos\left( {\dfrac{\pi }{6} + 1,25{\varphi _1}} \right)\\ \leftrightarrow \left( {\dfrac{\pi }{6} + {\varphi _1}} \right) = \pm \left( {\dfrac{\pi }{6} + 1,25{\varphi _1}} \right) + k2\pi \\ \to \left[ \begin{array}{l}{\varphi _1} = - 8k\pi \left( {loai} \right)\\{\varphi _1} = - \dfrac{4}{{27}}\pi + \dfrac{8}{9}k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Do \({\varphi _1} > 0\)
\({\varphi _{1\min }}\) khi \(k = 1\)\( \to {\varphi _{1\min }} = \dfrac{{20}}{{27}}\pi \)
Ta suy ra: \({\varphi _{1\min }} = \dfrac{{4\pi }}{{27}}\)
=> Thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu đến khi 2 vật có li độ bằng nhau là:
\(\Delta t = \dfrac{{{\varphi _1}}}{{{\omega _1}}} = \dfrac{{\dfrac{{20\pi }}{{27}}}}{{\dfrac{{2\pi }}{{{T_1}}}}} = \dfrac{{10{T_1}}}{{27}} = \dfrac{5}{{27}}s\)
Một con lắc đơn có chiều dài l, dao động điều hòa với chu kì T1 . Tại nơi có gia tốc trọng trường là g = π2 = 10m/s2. Khi vật đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng đinh tại vị trí 0,5l và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kì dao động của con lắc đơn khi này?
Ta có: Chu kì dao động của con lắc đơn khi đó: \(T = \dfrac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \dfrac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} )\)
Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m đang dao động điều hòa với chu kì T tại nơi có gia tốc trọng trường là g = π2 = 10m/s2. Khi dao động qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng đinh tại vị trí 0,5l và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kì của con lắc đơn khi này?
Ta có: Chu kì dao động của con lắc đơn khi bị vướng đinh:
\(T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} ) = \frac{\pi }{{\sqrt {{\pi ^2}} }}(\sqrt 1 + \sqrt {0,5} ) = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}s\)
Kéo con lắc đơn có chiều dài l = 1m ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng vào một chiếc đinh đóng dưới điểm treo con lắc một đoạn 36cm. Lấy g = π2 = 10m/s2. Chu kì dao động của con lắc khi bị vướng đinh là:
Ta có: Chu kì dao động của con lắc đơn khi bị vướng đinh:
\(T = \frac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \frac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}} + \sqrt {{l_2}} ) = \frac{\pi }{{\sqrt {10} }}(\sqrt 1 + \sqrt {1 - 0,36} ) = 1,8{\rm{s}}\)
