Bài tập năng lượng của mạch dao dộng LC

Năng lượng điện từ của mạch dao động LC được xác định bằng biểu thức:

=> Các phương án A, B, C – đúng

Phương án D - sai

Năng lượng điện trường tập trung trong khoảng không gian giữa hai bản tụ (nói tắt là tập trung trong tụ điện)

A – sai vì: Năng lượng điện trường cực đại: \({{\rm{W}}_{{d_{max}}}} = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}\dfrac{{Q_0^2}}{C}\)

B – sai vì: Năng lượng điện trường biến thiên với tần số \(2f\)

C - đúng

D - sai vì năng lượng điện trường biến thiên với chu kì \(T' = \dfrac{T}{2}\)

Ta có, năng lượng điện trường trong mạch: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{q^2}}}{C} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{{\left( {{{2.10}^{ - 6}}} \right)}^2}}}{{{{60.10}^{ - 9}}}} = \dfrac{1}{3}{.10^{ - 4}}J\)

A – sai vì: Luôn có sự trao đổi năng lượng giữa năng lượng điện trường trong  tụ điện và năng lượng từ trường trong cuộn cảm (Năng lượng điện trường tăng thì năng lượng từ trường giảm và ngược lại năng lượng điện trường giảm thì năng lượng từ trường tăng)

B - đúng

C - sai vì: Tổng năng lượng điện trường trong tụ điện và năng lượng từ trường của cuộn cảm là năng lượng điện từ: 

là hằng số

D – sai vì: Cường độ dòng điện trong mạch luôn sớm pha \(\dfrac{\pi }{2}\)  so điện áp giữa hai bản tụ điện.

Ta có:

+ Tần số góc dao động của mạch dao động LC: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{1}{{LC}}} \)

+ Biểu thức dòng điện trên cuộn dây: \(i = {I_0}cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

+ Năng lượng từ trường trong cuộn dây: \({{\rm{W}}_L} = \dfrac{1}{2}L{i^2}\)

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_L} = \dfrac{1}{2}LI_0^2co{s^2}\left( {\omega t + \varphi } \right) = \dfrac{1}{2}LI_0^2\left( {\dfrac{{1 + cos2\left( {\omega t + \varphi } \right)}}{2}} \right)\\ = \dfrac{{LI_0^2}}{4} + \dfrac{{LI_0^2}}{4}cos\left( {2\omega t + 2\varphi } \right)\end{array}\)

=> Năng lượng từ trường trong cuộn dây biến thiên với tần số góc \(\omega ' = 2\omega  = 2\dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}\)  , tần số \(f' = 2f = \dfrac{1}{{\pi \sqrt {LC} }}\), chu kì \(T' = \dfrac{T}{2} = \pi \sqrt {LC} \) 

Ta có, năng lượng điện trường trong tụ điện biến thiên tuần hoàn với chu kì \(T' = \dfrac{T}{2} = \dfrac{2}{2} = 1ms\)

Ta có, tần số dao động trong mạch LC: \(f = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {{{3.10}^{ - 3}}{{.12.10}^{ - 9}}} }} = \dfrac{{25}}{{3\pi }}{.10^4}H{\rm{z}}\)

Năng lượng điện trường trong mạch biến thiên tuần hoàn với tần số  \(f = 2f = \frac{{50}}{{3\pi }}{.10^4}H{\rm{z}}\)

\({{\rm{W}}_{LC}} = {{\rm{W}}_L} + {{\rm{W}}_C} = {{\rm{W}}_{Lm{\rm{ax}}}} = {{\rm{W}}_{Cm{\rm{ax}}}}\)

=> Phương án D - Tại một thời điểm, năng lượng dao động của mạch chỉ có thể là năng lượng từ trường hoặc điện trường - sai

Ta luôn có sự trao đổi năng lượng giữa năng lượng điện trường trong  tụ điện và năng lượng từ trường trong cuộn cảm (Năng lượng điện trường tăng thì năng lượng từ trường giảm và ngược lại năng lượng điện trường giảm thì năng lượng từ trường tăng)

Ta có, năng lượng điện từ:

\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 = \dfrac{1}{2}CU_0^2\\ \Rightarrow L{i^2} = CU_0^2 - C{u^2}\\ \Rightarrow {i^2} = \left( {U_0^2 - {u^2}} \right)\dfrac{C}{L}\end{array}\)

Ta có năng lượng điện từ trong mạch:

\(\begin{array}{l}{\rm{W}} = {{\rm{W}}_L} + {{\rm{W}}_C}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{LI_0^2}}{2} = \dfrac{{L{i^2}}}{2} + \dfrac{{C{u^2}}}{2}\\ \Rightarrow u = \sqrt {\left( {I_0^2 - {i^2}} \right)\dfrac{L}{C}}  = \sqrt {\dfrac{{0,1}}{{{{10}^{ - 5}}}}\left( {{{0,05}^2} - {{0,02}^2}} \right)}  = 4V\end{array}\)

Hiệu điện thế cực đại của tụ: \({U_0} = 4V\)

Năng lượng điện từ của mạch là : \(W = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}LI_0^2 = {1.6.10^{ - 8}}J\)

Cường độ dòng điện trong mạch là : \(\dfrac{{CU_0^2}}{2} = \dfrac{{LI_0^2}}{2} \Rightarrow {I_0} = \sqrt {\dfrac{{2W}}{L}}  = {4.10^{ - 3}}A = 4mA\)

Năng lượng điện từ của mạch: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}L{i^2} + \dfrac{{{q^2}}}{{2C}} = \dfrac{{q_0^2}}{{2C}} \Rightarrow {q_0} = {4.10^{ - 8}}C\)

Ta có năng lượng cực đại của từ trường tập trung ở cuộn dây cũng chính bằng năng lượng cực đại của điện trường trong tụ điện: \({{\rm{W}}_{{t_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}{3.10^{ - 6}}{.3^2} = {1,35.10^{ - 5}}J\)

Ta có, năng lượng điện từ chính bằng năng lượng từ trường cực đại và bằng năng lượng điện trường cực đại:

\({\rm{W}} = \dfrac{{LI_0^2}}{2} = \dfrac{{CU_0^2}}{2}\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}I_0^2 = \dfrac{{CU_0^2}}{L} = \dfrac{{{{50.10}^{ - 6}}{{.6}^2}}}{{{{5.10}^{ - 3}}}} = 0,36\\ \Rightarrow {I_0} = 0,6A\end{array}\)

Ta có, năng lượng điện từ trong mạch: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 = \dfrac{1}{2}CU_0^2\)

+ Khi \(i = \dfrac{{{I_0}}}{4} \Rightarrow {W_t} = \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{LI_0^2}}{{16}} = \dfrac{{\rm{W}}}{{16}}\)

Ta có: \({\rm{W}} = {{\rm{W}}_t} + {W_d} \Rightarrow {W_d} = W - {W_t} = W - \dfrac{W}{{16}} = \dfrac{{15}}{{16}}W\)

+ Lại có: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}C{u^2} = \dfrac{{15}}{{16}}{\rm{W}}\)

Do đó \(\dfrac{{C{u^2}}}{2} = \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{{C{U_0}^2}}{2} \Rightarrow u =  \pm \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}{U_0}\)

=> Độ lớn \(u = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}{U_0}\)

Từ phương trình cường độ dòng điện \(i = 3cos\left( {2000t + \dfrac{\pi }{3}} \right)mA\) ta có:

+ Cường độ dòng điện cực đại: \({I_0} = 3mA\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2000 = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} \to C = \dfrac{1}{{{\omega ^2}L}} = \dfrac{1}{{{{2000}^2}{{.50.10}^{ - 3}}}} = {5.10^{ - 6}}F\)

Tại \(i = I = \dfrac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}\) , ta có: 

\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{1}{2}LI_0^2\\ \Leftrightarrow C{u^2} + L{I^2} = LI_0^2\\ \Leftrightarrow C{u^2} + L\dfrac{{I_0^2}}{2} = LI_0^2\\ \Rightarrow {u^2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{LI_0^2}}{C}\\ \Rightarrow u = \sqrt {\dfrac{1}{2}\dfrac{{LI_0^2}}{C}}  = \sqrt {\dfrac{1}{2}\dfrac{{{{50.10}^{ - 3}}{{\left( {{{3.10}^{ - 3}}} \right)}^2}}}{{{{5.10}^{ - 6}}}}}  = 0,045V\end{array}\)

Ta có năng lượng điện từ trong mạch được bảo toàn: \(W = \dfrac{1}{2}C{u^2} + \dfrac{1}{2}L{i^2} = h/s\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}C{u_1}^2 + \dfrac{1}{2}L{i_1}^2 = \dfrac{1}{2}C{u_2}^2 + \dfrac{1}{2}L{i_2}^2\\ \Rightarrow C{u_1}^2 + L{i_1}^2 = C{u_2}^2 + L{i_2}^2\\ \Leftrightarrow C = \dfrac{{L({i_2}^2 - {i_1}^2)}}{{{u_1}^2 - {u_2}^2}} = \dfrac{{{{5.10}^{ - 3}}({{({{2,4.10}^{ - 3}})}^2} - {{({{1,8.10}^{ - 3}})}^2})}}{{{{\left( {6\sqrt 3 {{.10}^{ - 3}}} \right)}^2} - {{\left( {{{6.10}^{ - 3}}} \right)}^2}}} = {1,75.10^{ - 4}}C = 175\mu C\end{array}\)

+ Năng  lượng dao động điện từ trong mạch: \(W = \dfrac{1}{2}C{u_1}^2 + \dfrac{1}{2}L{i_1}^2 = \dfrac{1}{2}{1,75.10^{ - 4}}.{\left( {6\sqrt 3 {{.10}^{ - 3}}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{5.10^{ - 3}}{({1,8.10^{ - 3}})^2} = {1,755.10^{ - 8}}J\)

Ta có:

Vị trí năng lượng từ trường gấp n lần năng lượng điện trường: \(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = n{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\\{W_t} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\end{array} \right.\)

Năng lượng dao động của mạch là:

\({\rm{W}} = \dfrac{{CU_0^2}}{2} = \dfrac{{{{50.10}^{ - 6}}{{.5}^2}}}{2} = 6,{25.10^{ - 4}}J\)

Chu kì dao động của mạch là:

\(T = 2\pi \sqrt {LC}  = 2\pi \sqrt {0,{{5.50.10}^{ - 6}}}  = \dfrac{\pi }{{100}}s\)