Bài tập dao động điều hòa - Các đại lượng đặc trưng

Chất điểm dao động điều hòa với phương trình $x = A\cos (\omega t + \varphi )$có vận tốc ở thời điểm t là$v =  - \omega A\sin (\omega t + \varphi ).$

Phương trình dao động tổng quát: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

Phương trình dao động của vật: $x = 5cos\left( {4\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)cm$

=> Tần số góc của dao động: $\omega  = 4\pi \left( {rad/s} \right)$

Ta có, phương trình dao động của vật: $x = 8\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right)cm$

=> Biên độ dao động của vật: $x = 8cm$

=> Độ dài quỹ đạo của vật là: $L = 2.8 = 16cm$

Ta có, độ dài quỹ đạo dao động của vật: $L = 2A$

$\begin{array}{l} \leftrightarrow MN = 2A = 32cm\\ \to A = 16cm\end{array}$

Phương trình dao động tổng quát: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

Phương trình dao động của vật: $x = 4cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)$

=> Pha dao dao động tại thời điểm t là: $\omega t + \varphi  = 2\pi t + \frac{\pi }{2}$

Ta có, pha dao động tại thời điểm t: $\omega t + \varphi  = 5\pi t - \frac{\pi }{4}$

=> Pha dao động tại thời điểm $t = 2,5s$ là: $5\pi .2,5 - \frac{\pi }{4} = \frac{{49\pi }}{4} = 12,25\pi$

Ta có, phương trình dao động điều hòa của vật:

$\begin{array}{l}x = 4\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 4cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2}} \right)\\ = 4cos\left( {2\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)cm\end{array}$

=> Biên độ của vật $A = 4cm$, pha ban đầu của vật: $\varphi  =  - \frac{\pi }{6}rad$

Ta có:

Chu kỳ dao động của vật : $T = \dfrac{{\Delta t}}{N}$

Trong đó: $N$ số dao động vật thực hiện được trong thời gian $\Delta t$ giây.

Chu kỳ dao động điều hòa: $T = \dfrac{{2\pi }}{\omega }$

Ta có, tần số dao động của vật: $f = \dfrac{N}{{\Delta t}} = \dfrac{{80}}{{20}} = 4Hz$

Ta có, phương trình dao động của con lắc đơn: $s = 2cos\left( {2\pi t} \right)cm$

=> Tần số góc dao động của con lắc: $\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)$

=> Tần số dao động của con lắc: $f = \dfrac{\omega }{{2\pi }} = \dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1Hz$

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 0,25s$ là:

$\begin{array}{l}v = 4\pi cos\left( {2\pi .0,25 - \dfrac{{7\pi }}{6}} \right)\\ = 4\pi cos\left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) =  - 2\pi \left( {cm/s} \right)\end{array}$

Ta có:

+ Li độ của chất điểm khi pha dao động bằng $\frac{{2\pi }}{3}$ là: $x = 6cos\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - 3cm$

+ Gia tốc tại điểm đó: $a =  - {\omega ^2}x =  - {10^2}.\left( { - 3} \right) = 300cm/s = 3m/s$

Ta có:

+ $v = x'$

+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc $\frac{\pi }{2}$

=> từ phương trình vận tốc $v = A\omega cos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

=> Phương trình li độ: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi  - \frac{\pi }{2}} \right)$

Gia tốc cực đại của vật: ${a_{max}} = {\omega ^2}A$

Ta có phương trình li độ: $x = 3cos(4\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3})cm$

=> Phương trình vận tốc của vật:

$\begin{array}{l}v = x' = 3.4\pi cos\left( {4\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ = 12\pi cos\left( {4\pi t + \dfrac{{7\pi }}{6}} \right)cm/s\end{array}$

Ta có:

+ $a = x''$

+ Gia tốc và li độ ngược pha nhau

=> từ phương trình gia tốc $a = A{\omega ^2}cos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

=> Phương trình li độ: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi  - \pi } \right)$

Ta có, phương trình dao động của vật: $x = 5\cos \left( {8\pi t - 0,25\pi } \right)\left( {cm} \right)$

→ Pha ban đầu của dao động là $– 0,25π (rad)$

Ta có, $t = 0 \to x = Acos\varphi$

Theo đầu bài, ta có:

$\begin{array}{l}x =  - A \leftrightarrow Acos\varphi  =  - A\\ \to cos\varphi  =  - 1 \to \varphi  = \pi \end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{v_{{\rm{max}}}} = \omega A\\{a_{{\rm{max}}}} = {\omega ^2}A\end{array} \right. \to \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{{\omega ^2}A}}{{\omega A}} = \omega  = \dfrac{{16{\pi ^2}}}{{8\pi }} = 2\pi$

Mặt khác, ta có: $\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} \to T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1s$