Mạch R, L, C mắc nối tiếp

Đoạn mạch chỉ chứa tụ điện, áp dụng công thức độc lập với thời gian tại các thời điểm, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{u_1}^2}}{{{U_0}^2}} + \frac{{{i_1}^2}}{{{I_0}^2}} = 1 \Rightarrow \frac{0}{{{U_0}^2}} + \frac{{{2^2}}}{{{I_0}^2}} = 1 \Rightarrow {I_0} = 2\,\,\left( A \right)\\\frac{{{u_2}^2}}{{{U_0}^2}} + \frac{{{i_2}^2}}{{{I_0}^2}} = 1 \Rightarrow \frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{U_0}^2}} + \frac{{{1^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Rightarrow {U_0} = 4\,\,\left( V \right)\end{array}\)

Dung kháng của tụ điện là:

\({Z_C} = \frac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \frac{4}{2} = 2\,\,\left( \Omega \right)\)

Ta có:

Cường độ dòng điện trong mạch: \(I = \dfrac{{{U_R}}}{R} = \dfrac{{40}}{{40}} = 1(A)\)

Cảm kháng: \({Z_L} = \omega L = 2\pi fL = 2\pi .50.\dfrac{{0,4}}{\pi } = 40\Omega \)

Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm: \({U_L} = I.{Z_L} = 1.40 = 40(V)\)

Dung kháng: \({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{\pi }}} = 10\Omega \)

Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện: \({U_C} = I.{Z_C} = 1.10 = 10(V)\)

Hiệu điện thế hiệu dụng toàn mạch: \(U = \sqrt {U_R^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {40 - 10} \right)}^2}}  = 50(V)\)

Ta có độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng điện trong mạch:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \dfrac{{{U_L} - {U_C}}}{{{U_R}}} = \dfrac{{\sqrt 3 {U_R} - 2\sqrt 3 {U_R}}}{{{U_R}}} =  - \sqrt 3  \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

=> u chậm pha hơn i một góc \(\dfrac{\pi }{3}\) hay nói cách khác i sớm pha hơn u một góc \(\dfrac{\pi }{3}\)

Ta có: \({U_{RL}} \bot {U_{RC}} \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1 \to \dfrac{{{Z_L}}}{R}\dfrac{{{Z_C}}}{R} = 1 \to {U_L}{U_C} = U_R^2\)

\(\left\{ \begin{array}{l}U_R^2 + U_L^2 = {30^2}(1)\\U_R^2 + U_C^2 = {40^2}(2)\end{array} \right.\)

Lấy:

\(\begin{array}{l}(1) + (2)\\ \leftrightarrow 2U_R^2 + U_L^2 + U_C^2 = {30^2} + {40^2}\\ \leftrightarrow 2U_R^2 + {\left( {{U_L} + {U_C}} \right)^2} - 2{U_L}{U_C} = {30^2} + {40^2}\\ \to {\left( {{U_L} + {U_C}} \right)^2} = 2500\\ \to \left( {{U_L} + {U_C}} \right) = 50\end{array}\)

Lấy:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) - \left( 1 \right)\\ \leftrightarrow U_C^2 - U_L^2 = {40^2} - {30^2}\\ \leftrightarrow \left( {{U_C} + {U_L}} \right)\left( {{U_C} - {U_L}} \right) = {40^2} - {30^2}\\ \to \left( {{U_C} - {U_L}} \right) = \dfrac{{{{40}^2} - {{30}^2}}}{{50}} = 14\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_L} = 18V\\{U_C} = 32V\end{array} \right.\\ \to {U_R} = \sqrt {{{30}^2} - {{18}^2}}  = 24V\end{array}\)

Từ giản đồ véc tơ, ta có \(\varphi  = \pi  - \left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{6}\)

 => Điện áp trễ pha \(\dfrac{\pi }{6}\) so với cường độ dòng điện trong mạch

Ta có: \({U_d} = {\rm{ }}{U_C} = {\rm{ }}U\)

=> tứ giác \(O{U_d}U{U_C}\) là hình thoi, hay \({U_d}OU\) là tam giác đều

=> góc lệch pha giữa \({u_d}\) và \({u_{AB}}\) là \({60^0} = \dfrac{\pi }{3}rad\)

Tổng trở của đoạn mạch là: \(Z = \sqrt {{R^2} + Z_C^2}  = \sqrt {{{40}^2} + {{60}^2}}  = 20\sqrt {13} \left( \Omega  \right)\)

Hệ số công suất của thiết bị này bằng: \(\cos \varphi  = \cos \frac{\pi }{6} = 0,87\)

Từ đồ thị ta có khi \({\omega _0} = 80\pi \left( {rad/s} \right)\) thì \({U_L} = {U_C}\)

Đây cũng chính là giá trị tần số góc để mạch xảy ra cộng hưởng.

\({U_{RL}} = I.{Z_{RL}} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\sqrt {{R^2} + Z_L^2}  = \frac{U}{{\sqrt {1 + \frac{{ - 2\frac{L}{C} + \frac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}}}{{{R^2} + {{\left( {\omega L} \right)}^2}}}} }}\)

Xét hàm số: \(y = 1 + \frac{{ - \frac{{2L}}{C} + \frac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}}}{{{R^2} + {{\left( {\omega L} \right)}^2}}}\)

\({\left( {{U_{RL}}} \right)_{\max }}\) khi \({y_{\min }}\)

Ta có: \(y' = \frac{{\frac{{ - 2}}{{{\omega ^3}{C^2}}}\left( {{R^2} + {\omega ^2}{L^2}} \right) - 2\omega {L^2}\left( { - \frac{{2L}}{C} + \frac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} \right)}}{{{{\left( {{R^2} + {\omega ^2}{L^2}} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{2}{{{\omega ^3}{C^2}}}\left( {{R^2} + {\omega ^2}{L^2}} \right) - 2\omega {L^2}\left( { - \frac{{2L}}{C} + \frac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {R^2} + {\omega ^2}{L^2} + {\omega ^4}{L^2}{C^2}\left( { - \frac{{2L}}{C} + \frac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{L^3}C{\omega ^4} + 2{L^2}{\omega ^2} + {R^2} = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\omega ^2} > 0\\{\omega ^2} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{2{L^2}}}{{2.\left( { - 2{L^3}C} \right)}} = \frac{1}{{2LC}} = \frac{{\omega _0^2}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \omega  = \frac{{{\omega _0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{80\pi }}{{\sqrt 2 }} = 177,71{\rm{r}}a{\rm{d}}/s\)

Tổng trở của mạch \(RLC\) mắc nối tiếp: \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} \)

Hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra khi \({Z_L} = {Z_C}\)

- Từ đề bài ta có u_C trễ pha \(\dfrac{\pi }{3}\)so với u

Ta có \(\dfrac{{2\pi }}{3} < \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow {\varphi _u} < {\varphi _i} \Rightarrow \)u chậm pha hơn i

\( \Rightarrow \) mạch có tính dung kháng

- Từ đề bài ta có u_C trễ pha \(\dfrac{\pi }{2}\) so với u

lại có i sớm pha hơn u_C 1 góc \(\dfrac{\pi }{2}\)

nên u cùng pha i

\( \Rightarrow \) mạch cộng hưởng

Dung kháng của tụ điện là:

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{50.10}^{ - 6}}}}{\pi }}} = 200\,\,\left( \Omega  \right)\)

A, B, C - đúng

D - sai vì: u và i cùng pha khi cảm kháng bằng dung kháng là đủ không nhất thiết phải \({Z_L} = {Z_C} = R\)

Ta có, độ lệch pha của u so với i được xác định bởi biểu thức: \(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \dfrac{{\omega L - \dfrac{1}{{\omega C}}}}{R}\)

=> Góc lệch này phụ thuộc vào tần số góc \(\left( \omega  \right)\), độ tự cảm \(\left( L \right)\), điện dung \(\left( C \right)\) và điện trở \(\left( R \right)\)

Cảm kháng của cuộn dây và dung kháng của tụ điện là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{Z_L} = \omega L = 100\pi .\dfrac{1}{{2\pi }} = 50\,\,\left( \Omega  \right)\\{Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi .\dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 100\,\,\left( \Omega  \right)\end{array} \right.\)

Tổng trở của mạch là:

\(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{50}^2} + {{\left( {50 - 100} \right)}^2}}  = 50\sqrt 2 \,\,\left( \Omega  \right)\)

Cường độ dòng điện cực đại trong mạch là:

\({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{Z} = \dfrac{{100\sqrt 2 }}{{50\sqrt 2 }} = 2\,\,\left( A \right)\)

Lại có: \({U_{0L}} = {I_0}.{Z_L} = 2.50 = 100\,\,\left( V \right)\)

Áp dụng công thức độc lập với thời gian cho cuộn dây thuần cảm, ta có:

\(\dfrac{{{i^2}}}{{{I_0}^2}} + \dfrac{{{u_L}^2}}{{{U_{0L}}^2}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{{1^2}}}{{{2^2}}} + \dfrac{{{u_L}^2}}{{{{100}^2}}} = 1 \Rightarrow {u_L} = 50\sqrt 3 \,\,\left( V \right)\)

Tổng trở của đoạn mạch là: \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \frac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} \)

Dung kháng của mạch: \({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}}\)=> nếu tăng tần số của điện áp ở hai đầu đoạn mạch thì \({Z_C}\) giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\omega  = 2\pi f = 2\pi .50 = 100\pi (ra{\rm{d/s)}}\\\left\{ \begin{array}{l}R = 50\Omega \\{Z_L} = \omega L = 100\pi \dfrac{1}{\pi } = 100\Omega \\{Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{100\pi \dfrac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }}} = 50\Omega \end{array} \right.\end{array}\)

Tổng trở của mạch: \(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{50}^2} + {{\left( {100 - 50} \right)}^2}}  = 50\sqrt 2 \Omega \)