Bài tập dao động điều hòa - Viết phương trình dao động điều hòa

Từ đồ thị ta có:

+ Biên độ dao động : $A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm$

+ Thời gian khi vật đi từ vị trí  \(\dfrac{A}{2}\) theo chiều dương đến vị trí cân bằng lần đầu tiên là:

\(\begin{array}{l}\Delta t = \dfrac{T}{6} + \dfrac{T}{4} = \dfrac{{5T}}{{12}} = 2,5s\\ \to T = 6s\\ \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{6} = \dfrac{\pi }{3}rad/s\end{array}\)

+ Ban đầu vật ở vị trí \(x = 3cm\) theo chiều dương

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Acos\varphi  = 3cm\\v =  - A\omega \sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  = \dfrac{1}{2}\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

=> Pha ban đầu của vật là \(\varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}rad\)

=>Phương trình dao động của vật là: $x{\rm{ }} = 6cos(\dfrac{\pi }{3}t - \dfrac{\pi }{3})cm$

Tần số góc của con lắc là:

\(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{10}}{{0,1}}} = 10\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Chiều dài quỹ đạo dao động của con lắc là:

\(L = 2A \Rightarrow A = \frac{L}{2} = \frac{8}{2} = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Li độ và vận tốc của vật ở thời điểm t = 0 là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\cos \varphi = - 2\\v = - 40\sin \varphi > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = - \frac{1}{2}\\\sin \varphi < 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi = - \frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right)\)

Phương trình dao động của vật là: \(x = 4\cos \left( {10t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)

Tại \(t = 0\) , ta có \(x > 0\) và hướng ra xa vị trí cân bằng => \(v > 0\)

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{t = 0}} = Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ > 0}}\\v =  - A\omega \sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  > 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to  - \dfrac{\pi }{2} < \varphi  < 0\)

Từ đồ thị ta có, biên độ: \(A = 8cm\)

Ta có: tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ =   -  4cm}}\\v =  - A\omega \sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi  =  - \dfrac{4}{8} =  - \dfrac{1}{2}\\\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{3}\)

Ta có:

+ Biên độ dao động: \(A = 8cm\)

+ Khi vật qua VTCB, vận tốc của vật cực đại: \({v_{max}} = \omega A \to \omega  = \dfrac{{{v_{max}}}}{A} = \dfrac{{16\pi }}{8} = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Mặt khác, tại thời điểm ban đầu, vật đang ở VTCB và chuyển động theo chiều dương

\(t = 0:\left\{ \begin{array}{l}x = Acos\varphi  = 0\\v =  - A\omega \sin \varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  = 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{2}\)

=> Phương trình dao động của vật: \(x = 8cos\left( {2\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\)

+ Từ đồ thị dao động, ta có:

Biên độ dao động: \(A = 4cm\)

+ Thời gian vật đi từ VTCB đến biên dương: \(\Delta t = \dfrac{T}{4} = 0,5s\)

\( \to T = 0,5.4 = 2s\)

 \( \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{2} = \pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi  = 0\\{\rm{v =  - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi  = 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{2}\)

\( \to x = 4c{\rm{os}}\left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\)

Ta có:

+ Biên độ: \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm\)

+ Góc quét được khi vật đi từ vị trí \(2cm\) => biên dương => VTCB là:

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \omega \Delta t = \dfrac{{5\pi }}{6}\\ \to \omega .2,5 = \dfrac{{5\pi }}{6} \to \omega  = \dfrac{\pi }{3}\left( {rad/s} \right)\end{array}\)

+ Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi  = 2\\{\rm{v =  - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi  = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

 \( \Rightarrow x = 4c{\rm{os}}\left( {\dfrac{\pi }{3}t - \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\)

Ta có:

+ Tần số góc của dao động: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{2} = \pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Biên độ dao động: \(A = 4cm\)

+ Tại \(t = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\v > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}cos\varphi  = 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  =  - \dfrac{\pi }{2}\)

Phương trình dao động của vật: \(x = 4cos\left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\)

Từ phương trình: \(x = 10\cos \left( {4\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow \varphi  = \dfrac{\pi }{2}rad\)

Biểu diễn trên VTLG ta có:

Từ đồ thị, ta có:

+ Biên độ dao động: \(A = 4cm\)

+ Chu kì dao động: \(T = 2s\)

=> Tần số góc: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{2} = \pi ra{\rm{d}}/s\)

+ Tại t=0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi  = 0\\{\rm{v =  - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi  > 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi  = 0\\\sin \varphi  < 0\end{array} \right. \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{2}\)

=> \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4cos\left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có:

+ \(T{\rm{ }} = {\rm{ }}2s \to \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \pi ra{\rm{d}}/s\)

+ Vận tốc cực đại: \({v_{max}} = A\omega  = 6\pi cm/s \to A = \dfrac{{6\pi }}{\omega } = \dfrac{{6\pi }}{\pi } = 6cm\)

Tại t = 0: \({\rm{v =  - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi  = 0 \to \sin \varphi  = 0 \to \left( \begin{array}{l}\varphi  = 0\\\varphi  = \pi \end{array} \right.\)

Lại có, vật đang đi theo chiều âm\( \to \varphi  = 0\) 

 \( \Rightarrow x = 6c{\rm{os}}\left( {\pi t} \right)cm\)

A, B, C – là phương trình của dao động điều hòa

D – không là phương trình dao động điều hòa vì: dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật biến đổi theo hàm sin (hay cosin)

A, C, D – không biểu thị cho dao động điều hòa

B – biểu thị cho dao động điều hòa vì:

\(\begin{array}{l}x = 2\cos \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right) + 2\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ = 2\left( {cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\\ = 2\left( {\sqrt 2 \sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right)cm\end{array}\)

B - không biểu thị cho dao động điều hòa vì biên độ dao động là hằng số chứ không phải là hàm của thời gian 

Ta có:

+ Biên độ dao động: \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}8cm\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi f = 2\pi .5 = 10\pi rad/s\)

+ Gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều âm:\(\varphi  = \dfrac{\pi }{2}(rad)\)

$ \to x = 8cos\left( {10\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)cm$

Từ phương trình dao động: \(x = 4cos\left( {20\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)cm\), ta có:

+ Tần số góc: \(\omega  = 20\pi \left( {rad/s} \right) \to f = \dfrac{\omega }{{2\pi }} = \dfrac{{20\pi }}{{2\pi }} = 10Hz\)

+ Pha ban đầu của dao động: \(\varphi  =  - \dfrac{\pi }{6}\left( {rad} \right)\)

Phương trình dao động là: \(x = A\cos \left( {\omega t + {\pi  \over 2}} \right)cm\)

Pha ban đầu là $π/2$.

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:

 => Gốc thời gian được chọn là lúc chất điểm đi qua VTCB theo chiều âm quy ước.

Tần số góc của dao động là:

\(\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi \,\,\left( rad/s \right)\)

Áp dụng công thức độc lập với thời gian, ta có:

\({{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\left( -2\sqrt{2} \right)}^{2}}+\frac{{{\left( 2\pi \sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=4\,\,\left( cm \right)\)

Ở thời điểm đầu vật có li độ \(-2\sqrt{2}\,\,cm\) và đang chuyển động ra xa vị trí cân bằng, ta có vòng tròn lượng giác:

Từ vòng tròn lượng giác ta thấy pha ban đầu của dao động là: \(\dfrac{3\pi }{4}\,\,\left( rad \right)\)

Phương trình dao động của vật là: \(x=4\cos \left( \pi t+\dfrac{3\pi }{4} \right)\,\,\left( cm \right)\)

Ta có:

+ Biên độ dao động: \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi f = 2\pi .10 = 20\pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Lúc \(t = 0\) vật ở biên dương, ta suy ra: \(\varphi  = 0\left( {rad} \right)\)

=> Phương trình dao động của vật: \(x = 4cos\left( {20\pi t} \right)cm\)

\(T = 1s \Rightarrow \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{1} = 2\pi (rad)\)

Ta sử dụng phương trình độc lập theo thời gian của x và v để tìm biên độ dao động

\(A = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}}  = \sqrt {{{\left( { - 5\sqrt 2 } \right)}^2} + \dfrac{{{{\left( { - 10\pi \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}}}  = 10cm\)

Tai thời điểm ban đầu vật ở vị trí \(x =  - 5\sqrt 2cm \) và có vận tốc âm nên khi biểu diễn trên đường tròn ta được pha ban đầu: \(\varphi  = \dfrac{{3\pi }}{4}rad\)

Khi đó ta có phương trình dao động là:  \(x = A\cos (\omega t + \varphi ) = 10\cos (2\pi t + \dfrac{{3\pi }}{4})cm\)