Bài tập năng lượng, vận tốc - lực của con lắc đơn

Vận tốc của con lắc tại vị trí bất kì được xác định bởi biểu thức:

\({v_\alpha } =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - cos}}{\alpha _0})} \)hay \(v_\alpha ^2 = 2gl\left( {cos\alpha  - cos{\alpha _0}} \right)\)

Ta có, vận tốc của con lắc:

 \(\begin{array}{l}{v_{{{15}^0}}} =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{cos}}{\alpha _0})} \\ =  \pm \sqrt {2.10.0,6(cos{{15}^0}{\rm{ -  cos4}}{{\rm{5}}^0})} \\ =  \pm 1,76m/s\end{array}\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa: \({v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})} \) hay \(v_\alpha ^2 = gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\(\begin{array}{l}{v_{(\dfrac{{{\alpha _0}}}{2})}} =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})} \\ =  \pm \sqrt {10.0,9({\rm{0,}}{{\rm{2}}^2}{\rm{ -  }}{{\left( {\dfrac{{0,2}}{2}} \right)}^2})} \\ = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{10}}m/s = 30\sqrt 3 cm/s\end{array}\)

Ta có:

+ Chu kì dao động:

\(\begin{array}{l}T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \\ \to l = \dfrac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \dfrac{{0,{5^2}.10}}{{4{\pi ^2}}} = 0,0625m\end{array}\)

+ Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\(\begin{array}{l}{v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})} \\ \to {\alpha _0} =  \pm \sqrt {\dfrac{{{v_\alpha }^2}}{{gl}} + {\alpha ^2}} \\ =  \pm \sqrt {\dfrac{{0,{{117}^2}}}{{10.0,0625}} + {{\left( {\dfrac{{3\pi }}{{180}}} \right)}^2}} \\ = 0,157ra{\rm{d}} \approx {9^0}\end{array}\)

Ta có biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí \(\alpha \) bất kì: \(T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

Lực căng dây treo khi vật qua vị trí cao nhất \(\alpha  = {\alpha _0}\):

\(\begin{array}{l}T = mg(3c{\rm{os}}{\alpha _0}{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\\ = mg({\rm{cos}}{\alpha _0}) = 0,16.10.c{\rm{os3}}{{\rm{0}}^0} = \frac{{4\sqrt 3 }}{5}N\end{array}\)

Biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí α bất kì của con lắc đơn dao động tự do: \(T = mg(1 - 1,5{\alpha ^2}{\rm{ + }}{\alpha _0}^2)\)

Ta có:

Lực căng dây được xác định bằng biểu thức:  \(T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

Khi lực căng dây bằng trọng lực của vật:

\(\begin{array}{l}mg\left( {3cos\alpha  - 2cos{\alpha _0}} \right) = P = mg\\ \to 3c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{2cos}}{\alpha _0} = 1\\ \to c{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{1 + 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{3} = \dfrac{{1 + 2.0,986}}{3} = 0,99\end{array}\)

Ta có:

+ Lực căng dây cực đại tại vị trí \(\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}0\) : \({T_{{\rm{max}}}} = mg(3{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

+ Lực căng dây cực tiểu tại vị trí : \({T_{\min }} = mg.c{\rm{os}}{\alpha _0}\)

\( \to \frac{{{T_{{\rm{max}}}}}}{{{T_{\min }}}} = \frac{{3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{{{\rm{cos}}{\alpha _0}}} = 1,01 \to c{\rm{os}}{\alpha _0} = 0,9967 \to {\alpha _0} = 4,{67^0}\)

Từ phương trình li độ dài của con lắc đơn: \(s = 2cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\)

Ta có: Tần số góc của dao động: \(\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)

Mặt khác:

 \(\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}}  = 2\pi  \to l = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{4{\pi ^2}}} = 0,253m\)

\({s_0} = 2cm = 0,02m = l{\alpha _0}\)

\( \to {\alpha _0} = \frac{{0,02}}{{0,253}} = 0,079rad = 4,{52^0}\)

+ Lực căng dây tại VTCB: \(T = mg(3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}) \approx 1,006mg\)

\( \to \frac{T}{P} = \frac{{1,01mg}}{{mg}} = 1,006\)

Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa được xác định bởi biểu thức:

\(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa:

\(\begin{array}{l}W = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\\ = \frac{1}{2}0,08.9,8.1.{\left( {\frac{{7\pi }}{{180}}} \right)^2} = 5,{85.10^{ - 3}}J\end{array}\)

Ta có:

+ Thế năng: \({W_t} = mg{\rm{z}} = mgl(1 - c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}\)

(Chọn mốc thế năng khi vật ở vị trí cân bằng)

+ Động năng: \({W_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\) 

+ Cơ năng:

\(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Ta suy ra:

D - đúng

A, B, C -  sai

Từ phương trình li độ dài: \(s = 4cos\left( {4t + \pi } \right)cm\)

Tại \(t = \frac{\pi }{6}s\), ta có \(s = 4cos\left( {4.\frac{\pi }{6} + \pi } \right) = 4cos\left( {\frac{{5\pi }}{3}} \right) = 2cm\)

Thế năng tại thời điểm đó: \({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \frac{1}{2}0,{1.4^2}{(0,02)^2} = 3,{2.10^{ - 4}}J\)

Cơ năng của con lắc đơn: \(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \frac{1}{2}0,{1.4^2}{(0,04)^2} = 1,{28.10^{ - 3}}J\)

=> Động năng của  con lắc tại thời điểm đó: \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = 1,{28.10^{ - 3}} - 3,{2.10^{ - 4}} = 9,{6.10^{ - 4}}J\)

Ta có: Thế năng và cơ năng của con lắc: \({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Khi

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = 3{{\rm{W}}_t} \to {\rm{W}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}} + {{\rm{W}}_t} = 4{{\rm{W}}_t}\\ \leftrightarrow \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = 4.\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}\\ \to \alpha  =  \pm \frac{{{\alpha _0}}}{2}\end{array}\)

Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi con lắc chuyển động từ biên âm về VTCB theo chiều dương (vùng 3) => \(\alpha  =  - \frac{{{\alpha _0}}}{2}\)

Tại vị trí 1: \({W_{{d_1}}} = 3{W_{{t_1}}} \to {s_1} =  \pm \frac{{{s_0}}}{2}\)

Tại vị trí 2:  \({W_{{d_2}}} = {W_{{t_2}}} \to {s_2} =  \pm \frac{{{s_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

=> Thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng thế năng là: \(\Delta t = {t_{\frac{{{s_0}}}{2} \to \frac{{{s_0}}}{{\sqrt 2 }}}}\)

\(\Delta \varphi  = \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{12}}\)

 \( \to \Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\frac{\pi }{{12}}}}{{\frac{{2\pi }}{T}}} = \frac{T}{{24}} = \frac{1}{{12}}s\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó: \(S = \frac{{{s_0}}}{{\sqrt 2 }} - \frac{{{s_0}}}{2} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} - \frac{{10}}{2} = 2,071cm\)

=> Tốc độ trung bình của vật: \({v_{tb}} = \frac{S}{t} = \frac{{2,071}}{{\frac{1}{{12}}}} = 24,85cm/s\)

C - đúng

A, B, D - sai

+ Theo bài ra:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = 3{{\rm{W}}_t} \to {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 4{W_t} = {\rm{W}}\\ \to s =  \pm \frac{{{s_0}}}{2}\end{array}\)

+ Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại biên: \(\left| {{a_B}} \right| = {\omega ^2}{s_0}\)

+ Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại vị trí động năng bằng 3 lần thế năng: \(\left| a \right| = {\omega ^2}s = {\omega ^2}\frac{{{s_0}}}{2}\) 

=> Tỉ số cần tìm:

\(\left| {\frac{{{a_B}}}{a}} \right| = \frac{{{\omega ^2}{s_0}}}{{{\omega ^2}\frac{{{s_0}}}{2}}} = 2\)

Ta có:

Thế năng và cơ năng của con lắc: \({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

+ Con lắc đơn có chiều dài \({l_1}\):

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{\rm{W}}_t} \to {\alpha _1} =  \pm \frac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }}\)

+ Con lắc đơn có chiều dài \({l_2}\):

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = 3{{\rm{W}}_t} \to {\alpha _2} =  \pm \frac{{{\alpha _{02}}}}{2}\)

Theo đầu bài, ta có: \({\alpha _1} = {\alpha _2} \to \frac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{\alpha _{02}}}}{2}\)  (1)

Vận tốc cực đại của con lắc đơn: \({v_{{\rm{max}}}} = \omega {s_0} = \omega l{\alpha _0} = \sqrt {gl} {\alpha _0}\)

\({v_{{{\rm{1}}_{{\rm{max}}}}}} = 2{v_{{2_{{\rm{max}}}}}} \leftrightarrow \sqrt {g{l_1}} {\alpha _{01}} = 2\sqrt {g{l_2}} {\alpha _{02}}\)  (2)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\begin{array}{l}g{l_1}\alpha _{01}^2 = 4g{l_2}\alpha _{02}^2 \leftrightarrow {l_1}\alpha _{01}^2 = 4{l_2}\alpha _{02}^2\\ \leftrightarrow {l_1}\frac{2}{4}\alpha _{02}^2 = 4{l_2}\alpha _{02}^2\\ \to {l_1} = 8{l_2}\end{array}\)

=> Chiều dài \(l\) ban đầu: \(l = {l_1} + {l_2} = 9{l_2}\)