Bài tập năng lượng, vận tốc - lực của con lắc đơn

Vận tốc của con lắc tại vị trí bất kì được xác định bởi biểu thức:

\({v_\alpha } =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - cos}}{\alpha _0})} \)

Ta có, vận tốc của con lắc:

\({v_{{{15}^0}}} =  \pm \sqrt {2gl(c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - cos}}{\alpha _0})}  =  \pm \sqrt {2.10.0,4(c{\rm{os1}}{{\rm{5}}^0}{\rm{ - cos3}}{{\rm{0}}^0})}  =  \pm 0,894m/s\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa: \({v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})} \)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\({v_{\frac{{{\alpha _0}}}{2}}} =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})}  =  \pm \sqrt {10.1,6({\rm{0,}}{{\rm{1}}^2}{\rm{ -  }}{{\left( {\frac{{0,1}}{2}} \right)}^2})}  = \frac{{\sqrt 3 }}{5}m/s = 20\sqrt 3 cm/s\)

+ Chu kì dao động:

\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  \to l = \dfrac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \dfrac{{{2^2}.10}}{{4{\pi ^2}}} = 1m\)

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\({v_\alpha } =  \pm \sqrt {gl({\alpha _0}^2{\rm{ - }}{\alpha ^2})}  \to {\alpha _0} =  \pm \sqrt {\dfrac{{{v_\alpha }^2}}{{gl}} + {\alpha ^2}}  =  \pm \sqrt {\dfrac{{0,{{287}^2}}}{{10.1}} + {{\left( {\dfrac{{3\pi }}{{180}}} \right)}^2}}  = 0,105ra{\rm{d}} = {6^0}\)

Biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí α bất kì: \(T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

Lực căng dây treo khi vật qua vị trí cao nhất :

\(T = mg(3c{\rm{os}}{\alpha _0}{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = mg({\rm{cos}}{\alpha _0}) = 0,1.10.c{\rm{os3}}{{\rm{0}}^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}N\)

Biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí α bất kì của con lắc đơn dao động tự do:

\(T = mg(1 - 1,5{\alpha ^2}{\rm{ + }}{\alpha _0}^2)\)

Ta có: lực căng dây được xác định bằng biểu thức:

\(\begin{array}{l}T = mg(3c{\rm{os}}\alpha {\rm{ - 2cos}}{\alpha _0}) = P = mg\\ \to 3c{\rm{os}}\alpha  - {\rm{2cos}}{\alpha _0} = 1\\ \to c{\rm{os}}\alpha  = \dfrac{{1 + 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{3} = \dfrac{{1 + 2.0,97}}{3} = 0,98\end{array}\)

Ta có:

+ lực căng dây cực đại tại vị trí α = 0:

\({T_{{\rm{max}}}} = mg(3{\rm{ - 2cos}}{\alpha _0})\)

+ lực căng dây cực tiểu tại vị trí α = α₀:

\({T_{\min }} = mg.c{\rm{os}}{\alpha _0}\)

\( \to \frac{{{T_{{\rm{max}}}}}}{{{T_{\min }}}} = \frac{{3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}}}{{{\rm{cos}}{\alpha _0}}} = 1,02 \to c{\rm{os}}{\alpha _0} = 0,993 \to {\alpha _0} = 6,{6^0}\)

Từ phương trình li độ dài của con lắc đơn: \(s = 2cos7t\)

Ta có: Tần số góc của dao động: \(ω =7 (rad/s)\)

Mặt khác:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{l}}  = 7 \to l = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{{9,8}}{{{7^2}}} = 0,2m\)

 \(s_0= 2cm = 0,02m=l\alpha_0 \\\to \alpha_0= 0,1 rad = 5,73^0\)

+ Lực căng dây tại VTCB:

\(T = mg(3 - 2c{\rm{os}}{\alpha _0}) \approx 1,01mg\)

\( \to \dfrac{T}{P} = \dfrac{{1,01mg}}{{mg}} = 1,01\)

Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa được xác định bởi biểu thức:

\(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Ta có: Cơ năng của con lắc đơn dao động điều hòa:

\(W = \dfrac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = \dfrac{1}{2}0,09.10.1.{\left( {\dfrac{{6\pi }}{{180}}} \right)^2} = 4,{9.10^{ - 3}}J\)

Thế năng:

\({W_t} = mg{\rm{z}} = mgl(1 - c{\rm{os}}\alpha {\rm{)}}\)

(Chọn mốc thế năng khi vật ở vị trí cân bằng)

Động năng:

\({W_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\)

Cơ năng:

\(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Ta suy ra:

A, C, D - đúng

B -  sai

Từ phương trình li độ dài: \(s = 10sin(2t)\)

Tại \(t = \dfrac{\pi }{6}s\), ta có

\(s = 10sin(2.\dfrac{\pi }{6}) = 5\sqrt 3 cm\)

Thế năng tại thời điểm đó:

\({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{(5\sqrt 3 {.10^{ - 2}})^2} = {3.10^{ - 3}}J\)

Cơ năng của con lắc đơn:

\(W = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{S_0}^2 = \dfrac{1}{2}0,{2.2^2}{({10.10^{ - 2}})^2} = {4.10^{ - 3}}J\)

=> Động năng của  con lắc tại thời điểm đó:

\({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = {4.10^{ - 3}} - {3.10^{ - 3}} = {10^{ - 3}}J\)

Ta có: Thế năng và cơ năng của con lắc: \({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

Khi

\({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{\rm{W}}_t} \to {\rm{W}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}} + {{\rm{W}}_t} = 2{{\rm{W}}_t} \leftrightarrow \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = 2.\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \to \alpha  =  \pm \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi con lắc chuyển động từ biên âm về VTCB theo chiều dương (vùng 3) => \(\alpha  =  - \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\)

Tại vị trí 1: ${W_{{d_1}}} = 3{W_{{t_1}}} \to {s_1} =  \pm \frac{{{s_0}}}{2}$

Tại vị trí 2:

${W_{{d_2}}} = \frac{1}{3}{W_{{t_2}}} \to {s_2} =  \pm \frac{{{s_0}\sqrt 3 }}{2}$

=> Thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng 1/3 thế năng là: \({t_{\frac{{{s_0}}}{2} \to \frac{{{s_0}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{T}{{12}} = \frac{1}{6}s\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó: \(S = \frac{{{s_0}\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{s_0}}}{2} = 3,66cm\)

=> Tốc độ trung bình của vật: \({v_{tb}} = \frac{S}{t} = \frac{{3,66}}{{\frac{1}{6}}} = 21,96cm/s\)

B, C, D - đúng

A - sai

Theo bài ra:

\({{\rm{W}}_d} = 2{{\rm{W}}_t} \to s =  \pm \frac{{{s_0}}}{{\sqrt 3 }}\)

Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại biên: a_B = ω²s₀

Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật tại vị trí động năng bằng 2 lần thế năng: \(a = {\omega ^2}s = {\omega ^2}\frac{{{s_0}}}{{\sqrt 3 }}\)  

=> Tỉ số cần tìm:

\(\frac{{{a_B}}}{a} = \frac{{{\omega ^2}{s_0}}}{{{\omega ^2}\frac{{{s_0}}}{{\sqrt 3 }}}} = \sqrt 3 \)

Ta có:

Thế năng và cơ năng của con lắc:

\({{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_{\rm{d}}} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\)

+ Con lắc đơn có chiều dài l₁:

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = {{\rm{W}}_t} \to {\alpha _1} =  \pm \frac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }}\)

+ Con lắc đơn có chiều dài l₂:

Khi \({{\rm{W}}_{\rm{d}}} = 2{{\rm{W}}_t} \to {\alpha _2} =  \pm \frac{{{\alpha _{02}}}}{{\sqrt 3 }}\)

Theo đầu bài, ta có:

\({\alpha _1} = {\alpha _2} \to \frac{{{\alpha _{01}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{\alpha _{02}}}}{{\sqrt 3 }}\)  (1)

Vận tốc cực đại của con lắc đơn:

\({v_{{\rm{max}}}} = \omega {s_0} = \omega l{\alpha _0} = \sqrt {gl} {\alpha _0}\)

\({v_{{{\rm{1}}_{{\rm{max}}}}}} = 2{v_{{2_{{\rm{max}}}}}} \leftrightarrow \sqrt {g{l_1}} {\alpha _{01}} = 2\sqrt {g{l_2}} {\alpha _{02}}\)  (2)

Từ (1) và (2), ta có:

\({l_1}\frac{2}{3}\alpha _{02}^2 = 4{l_2}\alpha _{02}^2 \to {l_1} = 6{l_2}\)

=> Chiều dài l ban đầu: l = l₁+ l₂ = 7l₂