Một con lắc đơn có chiều dài 1 m, và vật có khối lượng 150 g, treo tại nơi có gia tốc trọng trường\(g = 10\,\,m/{s^2};\,\,{\pi ^2} = 10\). Tại vị trí cân bằng người ta truyền cho con lắc vận tốc \(\dfrac{1}{3}\,\,m/s\) theo phương vuông góc với sợi dây. Lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo trong quá trình con lắc dao động là:
Vận tốc của con lắc ở vị trí cân bằng là:
\(\begin{gathered}
{v_{\max }} = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} \hfill \\
\Rightarrow \sqrt {2.10.1.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} = \frac{1}{3} \hfill \\
\Rightarrow \cos {\alpha _0} = \frac{{179}}{{180}} \hfill \\
\end{gathered} \)
Lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
{T_{\max }} = mg\left( {3 - 2\cos {\alpha _0}} \right) \hfill \\
= 0,15.10.\left( {3 - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right) = 1,516\,\,\left( N \right) \hfill \\
\end{gathered} \\
\begin{gathered}
{T_{\min }} = mg\left( {3\cos {\alpha _0} - 2\cos {\alpha _0}} \right) \hfill \\
= 0,15.10.\left( {3.\frac{{179}}{{180}} - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right) = 1,491\,\,\left( N \right) \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\)
Một con lắc lò xo nằm ngang gồm một lò xo nhẹ có độ cứng 40N/m một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn với vật nhỏ có khối lượng 100g nằm yên trên mặt phẳng ngang nhẵn. Kéo vật đến vị trí lò xo dãn 8 cm rồi tác dụng một lực có độ lớn 12N hướng dọc theo trục của lò xo về phía vị trí cân bằng trong khoảng thời gian 0,01s, sau đó con lắc dao động điều hoà. Coi rằng trong thời gian tác dụng lực, vật nhỏ chưa thay đổi vị trí. Trong quá trình dao động, tốc độ cực đại mà vật đạt được là:
Tần số góc của dao động:
$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{40}{0,01}}=20\left( rad/s \right)$
Ta có:
$\begin{align}& F.\Delta t=m.\Delta v\Rightarrow v0=\frac{F.\Delta t}{m}=\frac{12.0,01}{0,1} \\& \Rightarrow v=1,2\left( m/s \right)=120\,cm/s \\\end{align}$
Từ phương trình elip, ta có:
$A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+\frac{{{120}^{2}}}{{{20}^{2}}}}=10$ cm.
Tốc độ cực đại mà vật đạt được là:
vmax = ꞷA = 20.10 = 200 (cm/s)
Ở một nơi trên Trái Đất, hai con lắc đơn có cùng khối lượng đang dao động điều hòa. Gọi \({l_1},{s_{01}},{F_1}\) và \({l_2},{s_{02}},{F_2}\) lần lượt là chiều dài, biên độ, độ lớn lực kéo về cực đại của con lắc thứ nhất và của con lắc thứ hai. Biết \(3{l_2} = 2{l_1};2{s_{02}} = 3{s_{01}}\). Tỉ số \(\frac{{{F_1}}}{{{F_2}}}\) bằng
Ta có: \(\frac{{F_{1\max }^{}}}{{F_{2\max }^{}}} = \frac{{m\omega _1^2{S_{01}}}}{{m\omega _2^2{S_{02}}}} = \frac{{\frac{g}{{{\ell _1}}}.{S_{01}}}}{{\frac{g}{{{\ell _2}}}.{S_{02}}}} = \frac{{{S_{01}}.{\ell _2}}}{{{S_{02}}{\ell _1}}} = \frac{{{S_{01}}.\frac{{2{\ell _1}}}{3}}}{{\frac{{3{S_{01}}}}{2}{\ell _1}}} = \frac{4}{9}\)
Xét một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ. Mốc thế năng được chọn tại vị trí thấp nhất của vật nặng. Khi lực căng của dây treo có độ lớn bằng trọng lực của vật thì tỉ số giữa thế năng và động năng của vật \(\left( {\dfrac{{{W_t}}}{{{W_d}}}} \right)\) bằng bao nhiêu?
Lực căng dây của con lắc là:
\(\begin{array}{l}T = mg\left( {3\cos \alpha - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\\ \Rightarrow 3\cos \alpha - 2\cos {\alpha _0} - 1 \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}\end{array}\)
Ta có tỉ số:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \dfrac{{mgl\left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{mgl\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)}} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{\cos \alpha - \cos {\alpha _0}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \dfrac{{1 - \dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}}}{{\dfrac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3} - \cos {\alpha _0}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\cos {\alpha _0}}}{{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\cos {\alpha _0}}} = 2\end{array}\)
Một con lắc đơn dao động với biên độ \({\alpha _0} < \dfrac{\pi }{2}\), có mốc thế năng được chọn tại vị trí cân bằng của vật nặng. Gọi độ lớn vận tốc của vật nặng khi động năng bằng thế năng là v1, khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác động lên vật là v2 . Tỉ số \(\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}}\) có giá trị nào sau đây?
+ Khi động năng bằng thế năng:
\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t}\\ \Leftrightarrow mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right) = mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right) - mgl.\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \cos {\alpha _1} = \cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}\\ \Leftrightarrow \cos {\alpha _1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)
+ Khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác động lên vật:
\(\begin{array}{l}mg.\left( {3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\\ \Leftrightarrow 3\cos {\alpha _2} - 2\cos {\alpha _0} = 1 \Leftrightarrow \cos {\alpha _2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0}\end{array}\)
+ Suy ra:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}} \right)} }} = \sqrt {\dfrac{{\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}}}{{\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}}}} \\\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}}}} = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}\)
Con lắc đơn có chiều dài 1, vật nâng có khối lượng m = 200g. Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho dây treo hợp phương thẳng đúng góc \(\alpha = {60^0}\) rồi thả nhẹ. Bỏ qua lực ma sát và lực cản. Lấy gia tốc trọng trường\(g = 9,8m/{s^2}\). Trong quá trình chuyển động thì gia tốc tổng hợp có giá trị nhỏ nhất là:
Gia tốc pháp tuyến: \({a_n} = 2g\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)\)
Gia tốc tiếp tuyến: \({a_t} = g\sin \alpha \)
Gia tốc tổng hợp: \(a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2} \Rightarrow a = g\sqrt {3{{\cos }^2}\alpha - 4\cos \alpha + 2} \)
\( \Rightarrow {a_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {3{{\cos }^2}\alpha - 4\cos \alpha + 2} \right)} \right]_{\min }}\)
\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow {a_{\min }} = g\sqrt {\frac{2}{3}} = 9,8\sqrt {\frac{2}{3}} = 8m/{s^2}\)
