Một vật dao động điều hòa với biên độ $A$ và chu kỳ $T$. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường có độ dài \(A\sqrt 2 \) là:
\(\begin{align}& {{S}_{\text{max}}}=2\text{Asin}\dfrac{\omega \Delta t}{2}=A\sqrt{2}\to \sin \dfrac{\omega \Delta t}{2}=\dfrac{A\sqrt{2}}{2.A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \to \dfrac{\omega \Delta t}{2}=\dfrac{\pi }{4}\to \Delta t=\dfrac{\pi }{2\omega }=\dfrac{\pi }{2\dfrac{2\pi }{T}}=\dfrac{T}{4} \\\end{align}\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + \varphi } \right)cm\). Sau \(2n\) chu kì, vật đi được quãng đường là:
Trong $n$ chu kì, vật đi được quãng đường: $n.4A$
=> Trong $2n$ chu kì, vật đi được quãng đường \(S = 2n.4A = 8nA\)
Một vật dao động điều hòa với chu kì \(T = 2s\). Trong khoảng thời gian \(4s\), vật đi được quãng đường \(32cm\). Biên độ dao động của vật là:
Ta có, khoảng thời gian: \(\Delta t = 4s = 2T\)
=> Quãng đường vật đi được trong \(\Delta t = 2T\) là: \(S = 2.4A = 32cm\)
=> \(A = 4cm\)
Một vật dao động điều hòa, trong một phút vật thực hiện được 30 dao động toàn phần. Biết biên độ dao động của vật là \(4cm\). Quãng đường vật đi được trong \(8s\) là:
Ta có:
+ Chu kì dao động: \(T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = \dfrac{{60}}{{30}} = 2{\rm{s}}\)
+ \(\Delta t = 8s = 4T\)
=> Quãng đường vật đi được trong \(\Delta t = 4T\) là: \(S = 4.4A = 4.4.4 = 64cm\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = Acos\left( {\omega t} \right)\). Phát biểu nào sau đây sai khi nói về chuyển động của vật?
Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), ta có: \(x = Acos0 = A\) => Vật đang ở vị trí biên dương
A - sai vì sau thời gian \(\dfrac{T}{8}\) vật ở vị trí có li độ \(x = \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2} \to S = A - \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2}\)
B, C, D - đúng
Một vật dao động điều hòa với phương trình \(x = 6cos\left( {4\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\). Tính quãng đường vật đi được sau \(2,125s\) kể từ thời điểm ban đầu?
+ Theo bài ra ta có chu kỳ dao động của vật có giá trị là: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{4\pi }} = \dfrac{1}{2}s\)
+ Với thời gian: \(t = 2,125{\rm{s}} = 4.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}s = 4T + \dfrac{T}{4}s\)
Mà trong 1 chu kỳ vật đi được quãng đường là \(4A\), vậy ta chỉ cần tính quãng đường vật đi được trong thời gian \(\dfrac{T}{4}\)
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:
Trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{4}\) vật quét được 1 góc \(\alpha = \Delta t.\omega = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{4}.4\pi = \dfrac{\pi }{2}\) và vật đi từ vị trí \(x = 3cm\) đến vị trí \(x = - 3\sqrt 3 cm\).
Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(t = 2,125s\) là:
\(s = 4.4.6 + \left| { - 3\sqrt 3 - 3} \right| = 104,196 \approx 104,2cm\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\) (t tính bằng giây). Tìm quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu dao động đến li độ \(x = - 2cm\) theo chiều âm lần thứ nhất?
+ Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 4c{\rm{os}}\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 cm\\v = - 40\pi \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 20\pi \sqrt 2 < 0\end{array} \right.\)
=> Quãng đường vật đi được: \(S = {\rm{ }}2\sqrt 2 + \left| { - 2} \right| = 2 + 2\sqrt 2 cm\)
Chất điểm có phương trình dao động \(x = 8\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)cm\). Quãng đường mà chất điểm đó đi được từ \({t_0} = 0\) đến \({t_1} = 1,5s\) là:
+ Chu kì dao động của vật: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1s\)
+ Ta có, tại thời điểm ban đầu: \(t = 0:\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 8\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\\v = x{'_{t = 0}} = 8.2\pi c{\rm{os}}\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 8cm\\v = 0\end{array} \right.\)
Tại thời điểm \(t = 1,5s:\left\{ \begin{array}{l}x = 8\sin \left( {2\pi .1,5 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\v = 8.2\pi .cos\left( {2\pi .1,5 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = - 8cm\\v = 0\end{array} \right.\)
Hình vẽ:
\(\Delta t = {t_2} - {t_1} = 1,5{\rm{s}} = 1,5T = T + \dfrac{T}{2} = T + \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{4}\)
=> \(S{\rm{ }} = {\rm{ }}4.8{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} + 8{\rm{ }} = {\rm{ }}48cm{\rm{ }} = {\rm{ }}0,48m\)
Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình \(x = Acos\left( {4t + \varphi } \right)\). Biết tại thời điểm ban đầu vật ở li độ \({x_0} = 25cm\) với vận tốc \({v_0} = 100cm/s\). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{{3\pi }}{{16}}\) từ thời điểm ban đầu là:
+ Chu kì dao động của vật: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{2}\left( s \right)\)
+ Tại \(t = 0:\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 25cm\\{v_0} = 100cm/s\end{array} \right.\)
Sử dụng hệ thức độc lập, ta có: \({A^2} = {x^2} + {\left( {\dfrac{v}{\omega }} \right)^2} = {25^2} + {\left( {\dfrac{{100}}{4}} \right)^2} \to A = 25\sqrt 2 cm\)
+ Khoảng thời gian: \(\Delta t = \dfrac{{3\pi }}{{16}}s = \dfrac{{3T}}{8} = \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{8}\)
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{{3\pi }}{{16}}\) từ thời điểm ban đầu là:
\(\begin{array}{l}S = (A - \dfrac{A}{{\sqrt 2 }}) + A = 2A - \dfrac{A}{{\sqrt 2 }}\\ = 2.25\sqrt 2 - \dfrac{{25\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 50\sqrt 2 - 25 \approx 45,71cm\end{array}\)
Một vật dao động điều hoà với phương trình \(x = Acos\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\). Biết quãng đường vật đi được trong thời gian \(1s\) tính từ thời điểm gốc là \(2A\) và trong \(\dfrac{2}{3}s\) là \(12cm\). Giá trị của \(A\) và \(f\) là:
+ Ta có khoảng thời gian vật đi được quãng đường \(2A\) là \(\dfrac{T}{2}\)
\( \to \dfrac{T}{2} = 1{\rm{s}} \to T = 2{\rm{s}}\)
+ Tần số của dao động: \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2} = 0,5Hz\)
+ Tại \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os}}\dfrac{\pi }{6}\\v = - A\omega \sin \dfrac{\pi }{6}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\\v < 0\end{array} \right.\)
+ Trong khoảng thời gian \(\Delta t = \dfrac{2}{3}s = \dfrac{T}{3}\) từ thời điểm gốc vật đi được quãng đường \(S = 12cm\)
Góc quét: \(\Delta \varphi = \omega \Delta t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\)
Ta có: \(S = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2} + \left| { - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right| = A\sqrt 3 = 12cm \to A = 4\sqrt 3 cm\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 5cos\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm\). Kể từ thời điểm ban đầu, sau thời gian bao lâu thì vật đi được quãng đường \(12,5cm\)?
Chu kì dao động của vật: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{\dfrac{{2\pi }}{3}}} = 3s\)
Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os(}}\dfrac{{2\pi }}{3})\\v = - A\omega \sin (\dfrac{{2\pi }}{3})\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - \dfrac{A}{2}\\v < 0\end{array} \right.\)
\(S = 12,5cm = 2,5A = 2A + \dfrac{A}{2}\)
=> Kể từ t = 0, vật đi được quãng đường \(12,5cm = 2,5A\) trong khoảng thời gian:
\(\Delta t = \dfrac{T}{6} + \dfrac{T}{2} = \dfrac{{2T}}{3} = \dfrac{{2.3}}{3} = 2{\rm{s}}\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ \(A\). Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{{2T}}{3}\) là:
Ta có: \(\Delta \varphi = \Delta t.\omega = \dfrac{{2T}}{3}\dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{4\pi }}{3} = \pi + \dfrac{\pi }{3}\)
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{3}\) là:
\({S_{{\rm{max}}}} = {S_{(\pi )}} + {S_{(\dfrac{\pi }{3})}} = 2A + 2{\rm{Asin}}\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} = 2A + 2{\rm{Asin}}\dfrac{{\dfrac{\pi }{3}}}{2} = 3A\)
Một vật dao động điều hòa với phương trình \(x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)\). Biểu thức nào sau đây xác định sai tốc độ trung bình của vật trong một chu kì ?
Ta có :
+ Quãng đường vật đi được trong 1 chu kì là 4T
+ Tốc độ trung bình của vật : \({v_{tb}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{4{\rm{A}}}}{T} = 4Af = \dfrac{{2\omega A}}{\pi }\)
=> A, C, D – đúng
B - sai
Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là \(50\pi cm/s\). Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là:
Ta có :
+ Vận tốc cực đại : \({v_{max}} = \omega A = 50\pi \left( {cm/s} \right)\)
+ Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì: \({v_{tb}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{4{\rm{A}}}}{T} = \dfrac{{4\dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega }}}{{\dfrac{{2\pi }}{\omega }}} = \dfrac{{4{v_{{\rm{max}}}}}}{{2\pi }} = \dfrac{{4.50\pi }}{{2\pi }} = 100cm/s = 1m/s\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 2\cos \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\). Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t = {\rm{ }}2s\) đến \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}4,875s\) là:
Hình vẽ :
Ta có, tại thời điểm ban đầu: t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2cos\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\v = - 2.2\pi \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 cm\\v < 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Delta t = \left| {{t_2} - {t_1}} \right| = 4,875 - 2 = 2,875{\rm{s}}\\ \to \dfrac{{\Delta t}}{T} = 2,875 \to \Delta t = 2,875T = 2T + \dfrac{{7T}}{8}\end{array}\)
Theo hình vẽ : \(\Delta t = 2T + \dfrac{T}{8} = 2T + \dfrac{T}{8} + \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{4}\)
\(\begin{array}{l}S = 2.4A + 3A + A\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 22 + \sqrt 2 \\ \to {v_{tb}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{22 + \sqrt 2 }}{{2,875}} = 8,14cm/s\end{array}\)
Một vật dao động điều hòa với phương trình \(x = 6cos\left( {20\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm\). Tốc độ trung bình của vật đi từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí có li độ \(x = 3cm\) theo chiều dương là:
+ Chu kì dao động của vật: \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{20\pi }} = 0,1s\)
+ Khi vật đi từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí $x = 3 cm$ theo chiều dương
+ Quãng đường đi được: $S = 3cm$
+ Thời gian đi (sử dụng vòng tròn lượng giác)
Góc quét được: \(\dfrac{\pi }{6}\)
=> Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí \(x = 3cm\) theo chiều dương là: \(\Delta t = \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{1}{{120}}s\)
=> Tốc độ trung bình: \({v_{tb}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{3cm}}{{\dfrac{1}{{120}}}} = 360cm/s = 3,6m/s\)
Một chất điểm đang dao động với phương trình: \(x = 8cos\left( {10\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\). Tính tốc độ trung bình của chất điểm sau \(\dfrac{1}{4}\) chu kì tính từ khi bắt đầu dao động và tốc độ trung bình sau nhiều chu kỳ dao động:
Ta có:
+ Biên độ: \(A = 8cm\)
+ Chu kì dao động \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{10\pi }} = 0,2{\rm{s}}\)
+ Tại thời điểm ban đầu $t = 0$: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 8cos\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\{v_0} = - 8.10\pi \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 4\sqrt 2 cm\\v < 0\end{array} \right.\)
Góc quét trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{4}\) từ thời điểm ban đầu: \(\Delta \varphi = \omega \Delta t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi }{2}\)
=> Quãng đường vật đi được trong \(\dfrac{1}{4}\) chu kì là: \(S = \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2} + \left| { - \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right| = A\sqrt 2 \)
=> Tốc độ trung bình của chất điểm sau \(\dfrac{1}{4}\) chu kì là: \({v_{TB}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{A\sqrt 2 }}{{\dfrac{T}{4}}} = \dfrac{{4A\sqrt 2 }}{T} = \dfrac{{4.8\sqrt 2 }}{{0,2}} = 160\sqrt 2 cm/s = 2,26m/s\)
+ Cứ 1 chu kì vật đi được quãng đường \(S = 4A\)
=> \(n\) chu kì vật đi được quãng đường \({S_n} = 4nA\)
=> Tốc độ trung bình của chất điểm sau \(n\) chu kì là: \({v_{TB}} = \dfrac{{{S_n}}}{{{t_n}}} = \dfrac{{4nA}}{{nT}} = \dfrac{{4A}}{T} = \dfrac{{4.8}}{{0,2}} = 160cm/s = 1,6m/s\)
Vật đang dao động điều hòa dọc theo đường thẳng. Một điểm M nằm trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật, tại thời điểm t thì vật xa điểm M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là $\Delta t$ thì vật gần điểm M nhất. Vận đến li độ \(x = \dfrac{A}{2}\) vào thời điểm:
Giả sử điểm M nằm phía ngoài gần biên dương
+ Ta có, tại thời điểm \(t\) vật xa điểm M nhất => đang ở biên âm
Tại \(t + \Delta t\): vật gần M nhất => đang ở biên dương
=> \(\Delta t\) là khoảng thời gian vật đi từ biên âm đến biên dương
\( \to \Delta t = \dfrac{T}{2} \to T = 2\Delta t\)
=> Vận đến li độ \(x = \dfrac{A}{2}\) vào thời điểm: \(t + \dfrac{T}{3} = t + \dfrac{{2\Delta t}}{3}\)
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì \(T\). Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ \(x = \dfrac{A}{2}\) đến vị trí \(x = - \dfrac{A}{2}\) , chất điểm có tốc độ trung bình là:
Khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí \(\dfrac{A}{2}\) đến \( - \dfrac{A}{2}\) là: \(\Delta t = \dfrac{T}{{12}} + \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{T}{6}\)
Quãng đường đi được khi đi từ vị trí vị trí \(\dfrac{A}{2}\) đến \( - \dfrac{A}{2}\) là: \(S = \dfrac{A}{2} + \left| { - \dfrac{A}{2}} \right| = A\)
=> Tốc độ trung bình của chất điểm khi đi từ vị trí \(\dfrac{A}{2}\) đến \( - \dfrac{A}{2}\) là: \({v_{TB}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{A}{{\dfrac{T}{6}}} = \dfrac{{6A}}{T}\)
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với tần số góc \(10\pi \,\,rad/s\) và biên độ \(8\,\,cm\). Trong khoảng thời gian \(0,05\,\,s\), quãng đường lớn nhất mà vật đi được là
Trong khoảng thời gian \(0,05\,\,\left( s \right)\), vecto quay được góc:
\(\Delta \varphi = \omega t = 10\pi .0,05 = \dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {rad} \right)\)
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(0,05\,\,\left( s \right)\) là:
\({S_{\max }} = 2A\sin \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} = 2.8.\sin \dfrac{\pi }{4} = 8\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right)\)
