Một vật dao động điều hòa với chu kì 2 s, biên độ A = 10 cm. Xác định quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong \(\dfrac{2}{3}\,\,\left( s \right)\)
Trong khoảng thời gian \(\dfrac{2}{3}\,\,\left( s \right)\), vecto quay được góc:
\(\Delta \varphi = \dfrac{{2\pi }}{T}.t = \dfrac{{2\pi }}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right)\)
Quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{2}{3}\,\,\left( s \right)\) là:
\({S_{\max }} = 2A\left( {1 - \cos \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right) = 2.10.\left( {1 - \cos \dfrac{\pi }{3}} \right) = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Một chất điểm dao động điều hòa có chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi tốc độ của vật tăng từ 0 đến giá trị \(\dfrac{{\omega A}}{2}\) thì chất điểm có tốc độ trung bình là
Ta có:
+ Vị trí có tốc độ bằng 0: Vị trí biên
+ Vị trí có tốc độ \(\dfrac{{\omega A}}{2}\): \(\left| x \right| = \sqrt {{A^2} - \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\omega A}}{2}} \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)
+ Thời gian ngắn nhất tốc độ của chất điểm tăng từ \(0 \to \dfrac{{A\omega }}{2}\) tương ứng là thời gian chất điểm đi từ \(A \to \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Delta t = \dfrac{T}{{12}}\)
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian đó là: \(S = A - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)
Tốc độ trung bình của chất điểm trong thời gian đó là: \({v_{tb}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{A - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{T}{{12}}}} = \dfrac{{6A\left( {2A - A\sqrt 3 } \right)}}{T}\)
Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh VTCB O với biên độ A và chu kì T. Gọi S và S’ lần lượt là quãng đường nhỏ nhất mà vật có thể đi được trong thời gian \(\dfrac{T}{3}\) và quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{6}\) thì
Trong thời gian \(\dfrac{T}{3}\) và \(\dfrac{T}{6}\), vecto quay được góc:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \varphi = \dfrac{{2\pi }}{T}.t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right)\\\Delta \varphi ' = \dfrac{{2\pi }}{T}.t' = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{6} = \dfrac{\pi }{3}\,\,\left( {rad} \right)\end{array} \right.\)
Quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{3}\) là:
\({S_{\min }} = S = 2A\left( {1 - \cos \dfrac{{\Delta {\varphi _1}}}{2}} \right) = 2A.\left( {1 - \cos \dfrac{\pi }{3}} \right) = A\)
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{6}\) là:
\(\begin{array}{l}{S_{\max }} = S' = 2A\sin \dfrac{{\Delta {\varphi _2}}}{2} = 2A.\sin \dfrac{\pi }{6} = A\\ \Rightarrow S = S' = A\end{array}\)
Chất điểm có phương trình dao động \(x = 8\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\). Quãng đường mà chất điểm đó đi được từ \({t_0} = 0\) đến \({t_1} = 1,5\,\,s\) là:
Phương trình dao động của vật: \(x = 8\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\, = 8\cos \left( {2\pi t} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)
Chu kì dao động: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1\,\,\left( s \right)\)
Tại thời điểm \({t_1} = 1,5\,\,s\), ta có: \(t = \frac{{3T}}{2} = T + \frac{T}{2}\)
→ Quãng đường vật đi được là:
S = 4.8 + 2.8 = 48 (cm) = 0,48 (m)
Một vật dao động điều hoà với biên độ $4cm$, cứ sau một khoảng thời gian $\dfrac{1}{4}$ giây thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian $\dfrac{1}{6}$ giây là:
Ta có:
+ Khoảng thời gian hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là: \(\Delta t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{1}{4}s \to T = 1s\)
=> Tần số góc của dao động: \(\omega = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{1} = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)
+ Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{1}{6}s\) là:
\({S_{{\rm{max}}}} = 2{\rm{Asin}}\dfrac{{\omega \Delta t}}{2} = 2.4.sin\dfrac{{2\pi .\dfrac{1}{6}}}{2} = 4cm\)
Một vật dao động điều hòa với tần số bằng \(5Hz\). Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ \({x_1} = - 0,5A\) đến vị trí có li độ \({x_2} = + 0,5A\) là:
+ Chu kì dao động của vật: \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{5}s\)
+ Vật đi từ vị trí có li độ \({x_1} = - 0,5A \to {x_2} = 0,5A\)
Vẽ trên vòng tròn lượng giác ta được:
Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ \({x_1} = - \dfrac{A}{2} \to {x_2} = \dfrac{A}{2}\) là: \(\Delta t = \dfrac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \dfrac{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{{2\pi }}{T}}} = \dfrac{T}{6} = \dfrac{{\dfrac{1}{5}}}{6} = \dfrac{1}{{30}}s\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 2cos(2πt + \dfrac{π}{4}) cm\). Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 2s\) đến \(t = 4,875s\) là:
Hình vẽ :
t = 0 =>
\(\left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr v < 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{ & \Delta t = \left| {{t_2} - {t_1}} \right| = 4,875 - 2 = 2,875{\rm{s}} \cr & \to {{\Delta t} \over T} = 2,875 \to \Delta t = 2,875T = 2T + {{7T} \over 8} \cr}\)
Theo hình vẽ : \(\Delta t = 2T + {T \over 8} = 2T + {T \over 8} + {T \over 4} + {T \over 4} + {T \over 4}\)
\(\eqalign{ & S = 2.4A + 3A + A{{\sqrt 2 } \over 2} = 22 + \sqrt 2 \cr & \to {v_{tb}} = {S \over {\Delta t}} = {{22 + \sqrt 2 } \over {2,875}} = 8,14cm/s \cr}\)
Một vật dao động với biên độ \(A\), chu kỳ \(T\). Tính tốc độ trung bình nhỏ nhất vật có thể đạt được trong \(\dfrac{3T}{4}\)?
Ta có: \(\dfrac{{3T}}{4} = \dfrac{T}{2} + \dfrac{T}{4}\)
+ Trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{2}\) vật đi được quãng đường \(2A\)
+ Trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{4}\) tương ứng với góc quét \(\alpha = \omega \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi }{2}\)
=> Tốc độ trung bình nhỏ nhất tương ứng với quãng đường đi trong thời gian \(\dfrac{T}{4}\) nhỏ nhất
=> \(\alpha \) - đối xứng qua biên
\({S_{\left( {\dfrac{T}{4}} \right)Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{\alpha }{2}) = 2A\left( {1 - cos\dfrac{\pi }{4}} \right) = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)A\)
=> \({S_{\min }} = 2A + \left( {2 - \sqrt 2 } \right)A = \left( {4 - \sqrt 2 } \right)A\)
+ Tốc độ trung bình nhỏ nhất: \({v_{T{B_{\min }}}} = \dfrac{{{S_{\min }}}}{t} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 2 } \right)A}}{{\dfrac{{3T}}{4}}} = \dfrac{{4\left( {4 - \sqrt 2 } \right)A}}{{3T}}\)
Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O. Tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên. Sau đó \(\dfrac{1}{3}\,\,s\) vật không đổi chiều chuyển động và tới vị trí có tốc độ bằng một nửa tốc độ cực đại. Sau đó vật chuyển động thêm \(\dfrac{4}{3}\,\,s\) và đi được quãng đường dài 9 cm. Tốc độ dao động cực đại của vật là
Tại vị trí vật có tốc độ bằng một nửa tốc độ cực đại, ta có công thức độc lập với thời gian:
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + \dfrac{{{v^2}}}{{{v_{\max }}^2}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 1 \Rightarrow x = \pm \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có vòng tròn lượng giác:
Trường hợp 1: ở thời điểm \(t = \dfrac{1}{3}\,\,s\), vecto quay ở vị trí M, ta có:
\(\Delta \varphi = \omega \Delta t \Rightarrow \dfrac{\pi }{6} = \omega .\dfrac{1}{3} \Rightarrow \omega = \dfrac{\pi }{2}\,\,\left( {rad/s} \right)\)
Vật chuyển động thêm \(\dfrac{4}{3}\,\,s\), vecto quay được góc là:
\(\Delta \varphi ' = \omega \Delta t' = \dfrac{\pi }{2}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right)\)
→ vecto quay tới vị trí N
Quãng đường vật đi được là:
\(\begin{array}{l}2.\dfrac{{A\sqrt 3 }}{2} = 9\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow A = 3\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {v_{\max }} = \omega A = \dfrac{\pi }{2}.3\sqrt 3 \approx 8,16\,\,\left( {cm/s} \right)\end{array}\)
Trường hợp 2: ở thời điểm \(\dfrac{1}{3}\,\,s\), vecto quay ở vị trí N, ta có:
\(\Delta \varphi = \omega \Delta t \Rightarrow \dfrac{{5\pi }}{6} = \omega .\dfrac{1}{3} \Rightarrow \omega = \dfrac{{5\pi }}{2}\,\,\left( {rad/s} \right)\)
Vật chuyển động thêm \(\dfrac{4}{3}\,\,s\), vecto quay được góc là:
\(\Delta \varphi ' = \omega \Delta t' = \dfrac{{5\pi }}{2}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{{10\pi }}{3}\,\,\left( {rad} \right) = 2\pi + \dfrac{{4\pi }}{3}\)
→ vecto quay được 1 vòng và tới vị trí N
Quãng đường vật đi được là:
\(\begin{array}{l}4A + 2A + 2.\left( {A - \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right) = 9\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow A = \dfrac{9}{{8 - \sqrt 3 }} \approx 1,436\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {v_{\max }} = \omega A = \dfrac{{5\pi }}{2}.1,436 \approx 11,28\,\,\left( {cm/s} \right)\end{array}\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = A\cos (\omega t + \varphi )cm$. Quãng đường vật đi được sau $n$ chu kì là?
Trong $n$ chu kì, vật đi được quãng đường: $S=n.4A$
Một vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ $4cm$ và chu kì $2s$. Quãng đường vật đi được trong $4s$ là:
Ta có: $T = 2s => 4s = 2T$
Quãng đường vật đi được trong $4s = 2T$ là $S = 2.4A = 2.4.4= 32cm$
Một vật dao động điều hòa, trong $1$ phút thực hiện được $30$ dao động toàn phần. Quãng đường mà vật di chuyển trong $8s$ là $64cm$. Biên độ dao động của vật là:
Ta có:
Chu kì dao động: \(T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = \dfrac{{60}}{{30}} = 2{\rm{s}}\)
Quãng đường vật đi được trong $8s = 4T$ là $S = 4.4A = 64cm => A = 4cm$
Khi nói về một vật dao động điều hòa có biên độ $A$ và chu kì $T$, với mốc thời gian $(t = 0)$ là lúc vật ở vị trí biên, phát biểu nào sau đây là sai?
Ta có: t = 0, x0 = A
A - sai vì sau T/8 vật ở vị trí có li độ
\(x = \frac{{A\sqrt 2 }}{2} \to S = A - \frac{{A\sqrt 2 }}{2}\)
B, C, D - đúng
Vật dao động điều hoà theo phương trình $x = 10\cos \left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)cm$. Quãng đường vật đi được trong khoảmg thời gian từ ${t_1} = 1,5s$ đến ${t_2} = \dfrac{{13}}{3}s$ là:
Tại t1 = 1,5s:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 10c{\rm{os}}\left( {\pi .1,5 - \frac{\pi }{2}} \right) = - 10\\{v_1} = - A\omega \sin \left( {\pi .1,5 - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\end{array} \right.\)
Tại t2 = 13/3s:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 10c{\rm{os}}\left( {\pi .\frac{{13}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right) = 5\sqrt 3 \\{v_2} = - A\omega \sin \left( {\pi .\frac{{13}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\Delta t = {t_2} - {t_1} = \frac{{13}}{3} - 1,5 = \frac{{17}}{6}s = T + \frac{{5T}}{{12}}\)
=> Quãng đường vật đi được từ t1 đến t2 là: \(S = 4A + A + \frac{{A\sqrt 3 }}{2} = 5.10 + 5\sqrt 3 = 50 + 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi t - \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\) (t tính bằng giây). Tìm quãng đường vật đi được kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi vật có tốc độ \(0,2\pi \sqrt 3 m/s\) lần thứ hai?
Tại $t=0$:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 4c{\rm{os}}\left( {\frac{-\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 cm\\v = - 40\pi \sin \left( {\frac{-\pi }{4}} \right) = 20\pi \sqrt 2 > 0\end{array} \right.\)
Tại $v=$\(0,2\pi \sqrt 3 m/s\):
\(x = \pm \sqrt {{A^2} - \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \pm \sqrt {0,{{04}^2} - \frac{{{{\left( {0,2\pi \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{\left( {10\pi } \right)}^2}}}} = \pm 0,02m = \pm 2cm\)
=> Quãng đường vật đi được: \(S = {\rm{ }}(4 - 2\sqrt 2 ) + 4 + 2 = 10 - 2\sqrt 2 cm\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ $10 cm$, tần số $2Hz$. Tại thời điểm $t = 0$ vật chuyển động theo chiều dương và đến thời điểm $t = 2s$ vật có gia tốc \(80{\pi ^2}\sqrt 2 \) (cm/s2). Tính quãng đường vật đi được từ lúc $t = 0$ đến khi $t = 2,625s$
Ta có, chu kì dao động của vật:
\(T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0,5s\), tần số góc: \(\omega = 2\pi f = 4\pi (ra{\rm{d}}/s)\)
Biên độ A = 10cm.
Tại t = 2s:
$a = 80{\pi ^2}\sqrt 2 = - {\omega ^2}x \to x = - \frac{{80{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{{{\left( {4\pi } \right)}^2}}} = - 5\sqrt 2 cm{\rm{ }}$
Mặt khác ta có khoảng thời gian vật chuyển động từ t = 0 đến t = 2s là:
\(\Delta t = 2s = 4T\)
=> tại t = 2s vật quay lại vị trí ban đầu.
=> Tại t = 0:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 5\sqrt 2 cm\\v > 0\end{array} \right.\)
Khoảng thời gian vật chuyển động từ t = 0 đến t = 2,625s là
\(\Delta t = 2,625s = 5T + \frac{T}{4}\)
=> Quãng đường mà vật đi được từ t = 0 đến t = 2,625s là:
\(S = 5.4{\rm{A}} + A\sqrt 2 = 200 + 10\sqrt 2 = 214,14cm\)
Một chất điểm dao động điều hoà thẳng trên trục $x'x$ xung quanh vị trí cân bằng $x = 0$ với chu kì dao động $T = 1,57s\left( { \approx \dfrac{\pi }{2}s} \right)$. Tại thời điểm $t = 0$ nó qua toạ độ ${x_0} = 25cm$ với vận tốc ${v_0} = 100cm/s$. Quãng đường vật đi được sau thời điểm $t = 0$ một thời gian $\dfrac{\pi }{8}s$ là :
Ta có: Tần số góc của dao động:
\(\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{2}}} = 4({\rm{r}}a{\rm{d}}/s)\)
- Tại t = 0: x0 = 25cm, v = 100 cm/s
Sử dụng hệ thức độc lập, ta có:
\({A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} = {25^2} + {\left( {\frac{{100}}{4}} \right)^2} \to A = 25\sqrt 2 cm\)
Khoảng thời gian từ t = 0 đến một khoảng
\(\Delta t = \frac{\pi }{8}s = \frac{T}{4}\)
Quãng đường vật đi được sau thời điểm t = 0 một thời gian p/8 s là:
\(S = 2(A - \frac{A}{{\sqrt 2 }}) = 50\sqrt 2 - 50 = 20,711cm\)
Một vật dao động điều hoà với phương trình $x = A\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm$. Biết quãng đường vật đi được trong thời gian $1s$ tính từ thời điểm gốc là $2A$ và trong $\dfrac{2}{3}s$ là $9cm$. Giá trị của $A$ và $ω$ là:
Ta có khoảng thời gian vật đi được quãng đường $2A$ là $\dfrac{T}{2}$
\( \to \dfrac{T}{2} = 1{\rm{s}} \to T = 2{\rm{s}} \to \omega {\rm{ = }}\dfrac{{2\pi }}{T} = \pi ({\rm{r}}a{\rm{d/s)}}\)
Tại $t = 0$:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3} = \dfrac{A}{2}\\v = - A\omega\sin \dfrac{\pi }{3} < 0\end{array} \right.\)
Trong khoảng thời gian \(\Delta t = \dfrac{2}{3}s = \dfrac{T}{3}\) từ thời điểm gốc vật đi được quãng đường $S = 9cm$
Ta có: \(S = \dfrac{A}{2} + A = 1,5A = 9cm \to A = 6cm\)
Một vật dao động điều hòa theo phương trình $x = 5\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}t - \frac{\pi }{3}} \right)cm$. Kể từ thời điểm $t = 0$, sau thời gian bao lâu thì vật đi được quãng đường $7,5 cm$.
Chu kì dao động của vật:
\(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{{2\pi }}{3}}} = 3s\)
Tại t = 0:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = Ac{\rm{os( - }}\frac{\pi }{3}) = \frac{A}{2}\\v = - A\sin ( - \frac{\pi }{3}) > 0\end{array} \right.\)
S = 7,5 cm = 1,5A
=> Kể từ t = 0, vật đi được quãng đường 1,5A trong khoảng thời gian:
\(\Delta t = \frac{T}{6} + \frac{T}{4} = \frac{{5T}}{{12}} = \frac{{5.3}}{{12}} = 1,25{\rm{s}}\)
Một vật dao động điều hoà dọc theo trục $Ox$, quanh vị trí cân bằng $O$ với biên độ $A$ và chu kỳ $T$. Trong khoảng thời gian $T/4$, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là:
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\frac{T}{4}\) là:
\({S_{{\rm{max}}}} = 2{\rm{Asin}}\frac{{\omega \Delta t}}{2} = 2{\rm{Asin}}\frac{{\omega \frac{T}{4}}}{2} = 2{\rm{Asin}}\frac{{\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{4}}}{2} = 2{\rm{Asin}}\frac{\pi }{4} = A\sqrt 2 \)
