Một vật dao động điều hòa với biên độ $4 cm$. Trong $3,2s$ quãng đường dài nhất mà vật đi được là $18 cm$. Hỏi trong $2,3s$ thì quãng đường ngắn nhất mà vật đi được là bao nhiêu?
Trong \(3,2s\) \(S_{max}= 18cm = 4.4 + 2 = 4A+ 2\)
=> t1 = T + ∆t1
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(3,2s\) là:
\(\begin{array}{l}{S_{{\rm{max}}}} = 4A + 2{\rm{Asin}}\dfrac{{\omega \Delta {t_1}}}{2} = 18cm\\ \Rightarrow 2{\rm{Asin}}\dfrac{{\omega \Delta {t_1}}}{2} = 2 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\dfrac{{\omega \Delta {t_1}}}{2} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{\omega \Delta {t_1}}}{2} = 0,08\pi \Rightarrow \Delta {t_1} = 0,08T\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t_1} = T + \Delta {t_1} = {\rm{ }}T{\rm{ }} + {\rm{ }}0,08T{\rm{ }} = {\rm{ }}3,2s\\ \Rightarrow T = 2,96s\end{array}\)
\(t_2= 2,3s = 1,48 + 0,82 = T/2 + 0,82s\)
Quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(2,3s\) là:
\(\begin{array}{l}{S_{Min}} = 2A + 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\omega \Delta {t_2}}}{2})\\ = 2A + 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\dfrac{{2\pi }}{T}0,82}}{2})\\ = 2.4 + 2.4\left( {1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\dfrac{{2\pi }}{{2,96}}.0,82}}{2}} \right) = 10,84cm\end{array}\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ $10 cm$, tần số góc $2\pi \left( {rad/s} \right)$. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường $16,2 cm$.
Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường S = 16,2 cm = Smax
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{{\rm{max}}}} = 2{\rm{Asin}}\frac{{\omega \Delta t}}{2} = 16,2 \to \sin \frac{{\omega \Delta t}}{2} = \frac{{16,2}}{{2.10}} = 0,81\\ \to \frac{{\omega \Delta t}}{2} = 0,3\pi \to \Delta t = \frac{{0,6\pi }}{{2\pi }} = 0,3{\rm{s}}\end{array}\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ $10 cm$, tần số góc \(2\pi ra{\rm{d}}/s\). Thời gian dài nhất để vật đi được quãng đường $16,2 cm.$
Thời gian dài nhất khi $S$ đối xứng qua vị trí biên hay quãng đường đi được là $S_{min}$
Thời gian dài nhất để vật đi được quãng đường $S = 16,2 cm = S_{min}$
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\frac{{\Delta \varphi }}{2}) = 16,2 \to c{\rm{os}}\frac{{\Delta \varphi }}{2} = 0,19 \to \frac{{\Delta \varphi }}{2} = 0,44\pi \\ \to \Delta \varphi = \omega \Delta t = 0,88\pi \to \Delta t = 0,44{\rm{s}}\end{array}\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ $A$, chu kì $T$. Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì là:
Ta có :
+ Quãng đường vật đi được trong $1$ chu kì là $4T$
+ Tốc độ trung bình của vật : \({v_{tb}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{4{\rm{A}}}}{T}\)
Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là $31,4 cm/s$. Lấy $\pi = 3,14$. Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là:
Ta có : vmax = Aω = 31,4 cm/s
+ Tốc độ trung bình của vật : \({v_{tb}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{4{\rm{A}}}}{T} = \dfrac{{4\dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega }}}{{\dfrac{{2\pi }}{\omega }}} = \dfrac{{4{v_{{\rm{max}}}}}}{{2\pi }} = \dfrac{{4.31,4}}{{2\pi }} = 20cm/s\)
Vật dao động điều hoà theo phương trình $x = 5\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)cm$. Tốc độ trung bình của vật đi được trong khoảng thời gian từ ${t_1} = 1s$ đến ${t_2} = 4,625s$ là:
Chu kì dao động:
\(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{2\pi }} = 1{\rm{s}}\)
Tại t = 1s:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5c{\rm{os}}\left( {2\pi .1 - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2,5\sqrt 2 \\v = - A\omega \sin \left( {2\pi .1 - \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\end{array} \right.\)
Tại t = 4,625s:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5c{\rm{os}}\left( {2\pi .4,625 - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 5\\v = - A\omega \sin \left( {2\pi .4,625 - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right.\)
Khoảng thời gian:
\(\Delta t = 3,625{\rm{s}} = 3T + \dfrac{T}{2} + \dfrac{T}{8}\)
Quãng đường S trong khoảng thời gian đó:
\(S = 3.4A + 2A + \left( {A - \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right) = 15A - \dfrac{{A\sqrt 2 }}{2} = 71,464cm\)
Tốc độ trung bình vật đi được trong khoảng thời gian đó là:
\({v_{tb}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{71,464}}{{3,625}} = 19,71cm/s\)
Một vật dao động điều hòa có phương trình $x = 5c{\rm{os}}\left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm,s} \right)$. Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần thứ nhất là:
Chu kì \(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5{\rm{s}}\)
$t = 0$: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2,5\\v < 0\end{array} \right.\)
Theo hình vẽ:
\(\Delta t = \dfrac{T}{{12}} + \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{4} = \dfrac{{7T}}{{12}} = \dfrac{7}{{24}}s\)
$S = 2,5+ 5.2 = 12,5 cm$
Tốc độ trung bình:
\({v_{tb}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{{12,5}}{{\dfrac{7}{{24}}}} = 42,86cm/s\)
Một chất điểm đang dao động với phương trình: $x = 6\cos \left( {10\pi t} \right)cm$. Tính tốc độ trung bình của chất điểm sau $1/4$ chu kì tính từ khi bắt đầu dao động và tốc độ trung bình sau nhiều chu kỳ dao động:
Ta có: A = 6cm, chu kì dao động \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{10\pi }} = 0,2{\rm{s}}\)
Tại thời điểm ban đầu t = 0: chất điểm đang ở biên dương +A
=> Tốc độ trung bình của chất điểm sau 1/4 chu kì là:
\({v_{TB}} = \frac{S}{t} = \frac{A}{{\frac{T}{4}}} = \frac{{4A}}{T} = \frac{{4.6}}{{0,2}} = 120cm/s = 1,2m/s\)
Cứ 1 chu kì vật đi được quãng đường S = 4A
=> n chu kì vật đi được quãng đường Sn = n4A
=> Tốc độ trung bình của chất điểm sau n chu kì là:
\({v_{TB}} = \frac{{{S_n}}}{{{t_n}}} = \frac{{4nA}}{{nT}} = \frac{{4A}}{T} = \frac{{4.6}}{{0,2}} = 120cm/s = 1,2m/s\)
Một vật nhỏ dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài L, chu kỳ T. Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian\(\dfrac{{5T}}{3}\) là
Chiều dài quỹ đạo là: \(L = 2A \Rightarrow A = \dfrac{L}{2}\)
Ta có: \(\dfrac{{5T}}{3} = 3.\dfrac{T}{2} + \dfrac{T}{6}\)
Trong khoảng thời gian \(\dfrac{T}{6}\), vecto quay được góc:
\(\Delta \varphi = \dfrac{{2\pi }}{T}.\Delta t = \dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{6} = \dfrac{\pi }{3}\,\,\left( {rad} \right)\)
Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\dfrac{{5T}}{3}\) là:
\({S_{\max }} = m.2A + 2A\sin \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} = 3.2.A + 2A.\sin \dfrac{\pi }{6} = 7A = 3,5L\)
Một vật dao động điều hòa với biên độ $A$ và chu kỳ $T$. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất của vật trong $T/3$?
Tốc độ trung bình nhỏ nhất => Quãng đường đi được ngắn nhất
\({S_{Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\Delta \varphi }}{2}) = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\dfrac{{2\pi }}{T}.\dfrac{T}{3}}}{2}) = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}) = A\)
Tốc độ trung bình của vật trong T/3 là:
\({v_{TB}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{A}{{\dfrac{T}{3}}} = \dfrac{{3A}}{T}\)
Vật đang dao động điều hòa dọc theo đường thẳng. Một điểm $M$ nằm trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật, tại thời điểm t thì vật xa điểm $M$ nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là $\Delta t$ thì vật gần điểm $M$ nhất. Độ lớn vận tốc của vật sẽ đạt được cực đại vào thời điểm:
Giả sử điểm M nằm phía ngoài gần biên dương
Ta có, tại thời điểm t vật đang ở biên âm
Tại t + ∆t: vật đang ở biên dương
=> ∆t là khoảng thời gian vật đi từ biên âm đến biên dương
\( \to \Delta t = \frac{T}{2}\)
Độ lớn vận tốc của vật đạt cực đại khi vật ở vị trí cân bằng
=> Độ lớn vận tốc của vật sẽ đạt được cực đại vào thời điểm: \(t + \frac{{\Delta t}}{2}\)
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì $T$. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ $x = A$ đến vị trí $x = - \dfrac{A}{2}$, chất điểm có tốc độ trung bình là:
Khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí $A$ đến $- A/2$ là: \(\Delta t = \dfrac{T}{4} + \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{T}{3}\)
Quãng đường đi được khi đi từ vị trí $A$ đến $- A/2$ là: \(S = \dfrac{{3A}}{2}\)
=> Tốc độ trung bình của chất điểm khi đi từ vị trí $A$ đến $- A/2$ là: \({v_{TB}} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{\dfrac{{3A}}{2}}}{{\dfrac{T}{3}}} = \dfrac{{9A}}{{2T}}\)
Một vật dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình \(x = A\cos \left( {\dfrac{\pi }{3}t + \varphi } \right)\) ( t tính bằng giây). Trong ba khoảng thời gian theo thứ tự liên tiếp là \(\Delta t = 1s;\Delta {t_2} = \Delta {t_3} = 2s\) thì quãng đường chuyển động của vật lần lượt là \({S_1} = 5cm;{S_2} = 15cm\) và quãng đường S3. Quãng đường S3 gần nhất với giá trị nào sau đây:
Ta có:
\(T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = 6s \\\to \left\{ \begin{array}{l}\Delta {t_1} + \Delta {t_2} = \dfrac{T}{2}\\{S_1} + {S_2} = 2A = 20cm\end{array} \right. \\\to A = 10cm \\\to \left\{ \begin{array}{l}\Delta {t_1} = 1s = \dfrac{T}{6}\\{S_1} = 5cm = \dfrac{A}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra vật xuất phát từ 2 biên ( giá sử từ biên dương) , vậy \(\Delta {t_2} = \Delta {t_3} = 2s = \dfrac{T}{3} \to {S_2} = {S_3} = 15cm\)
