Bài tập tập giao thoa ánh sáng trắng

n_{e trao đổi} = 2,5.4632 : 96500 = 0,12 mol

Tại catot : Fe⁺³ + 1e → Fe⁺²

              0,06      0,06    0,06   mol

                 Cu⁺²  + 2e → Cu

                0,02     0,04     0,02 mol

                Fe⁺²   + 2e → Fe

                0,01     0,02     0,02  mol

Tại anot : 2H₂O  → 4H⁺ + 4e + O₂

                                         0,12 →0,03 mol

=> m_{dung dịch giảm}  = m_Cu + m_Fe + m_O2 = 0,02.64 + 0,01.56 + 0,03.32 = 1,28 +0,56 + 0,96 = 2,8 gam        

Bề rộng của dải quang phổ ngay sát vạch sáng trắng chính giữa là bề rộng của dải quang phổ bậc 1:

\(\Delta x = {x_{1\max }} - {x_{1\min }} = 1.\dfrac{{D\left( {{\lambda _{\max }} - {\lambda _{\min }}} \right)}}{a} \\= \dfrac{{D\left( {{\lambda _{\max }} - {\lambda _{\min }}} \right)}}{a} = 0,76mm\)

Vùng phủ nhau giữa quang phổ bậc hai và bậc ba có bề rộng là:

\(\begin{array}{l}\Delta x{\rm{ }} = {x_{{d_2}}}-{x_{{t_3}}}\\ = \left( {2{\lambda _d} - {\rm{ }}3{\lambda _t}} \right)\dfrac{D}{a}\\ = \left( {{{2.0,76.10}^{ - 6}} - {{3.0,38.10}^{ - 6}}} \right)\dfrac{{2,5}}{{{{0,8.10}^{ - 3}}}}\\ = {1,1875.10^{ - 3}}m = 1,1875mm\end{array}\)

Ta có vùng phủ nhau giữa quang phổ bậc 3 với quang phổ bậc 4 là khoảng từ x_đ3 tới x_t4.

${x_{3}} = 3\frac{{{\lambda _d}.D}}{a};\,\,{x_{t4}} = 4\frac{{{\lambda _t}.D}}{a}$

$ \Rightarrow \,\,\,\Delta x = {x_{d3}} - {x_{t4}} = \left( {3{\lambda _d} - 4{\lambda _t}} \right).\frac{D}{a}$

$ = \left( {{{3.0,76.10}^{ - 6}} - {{4.0,38.10}^{ - 6}}} \right)\frac{{2,5}}{{{{1.10}^{ - 3}}}}$

$ = {1,9.10^{ - 3}}m = 1,9mm$

+ Tọa độ của điểm M \({x_M} = k\dfrac{{\lambda D}}{a} =  > \lambda  = \dfrac{{a.{x_M}}}{{kD}} = \dfrac{{2.3}}{{2k}} = \dfrac{3}{k}(\mu m)\)

Mà:

\(0,38 \le \lambda  \le 0,76 \\=  > 0,38 \le \dfrac{3}{k} \le 0,76 \\=  > 3,9 \le k \le 7,8 \\\Rightarrow k = {\rm{ }}4,5,6,7\)

Bức xạ cho vân sáng tại M có bước sóng lớn nhất (ứng với k nhỏ nhất) là:

\({\lambda _{\max }} = \dfrac{3}{{{k_{\min }}}} = \dfrac{3}{4} = 0,75(\mu m) = 750(nm)\)

Vị trí điểm M:

\({x_M} = 10mm = \dfrac{{k\lambda D}}{a} \\\Rightarrow \lambda  = \dfrac{5}{k}\mu m\)

Mà:

Bước sóng ngắn nhất ứng với k lớn nhất \(= 13\)

\( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{5}{{13}} = 0,385\mu m = 385nm\)

+ M cách vân trung tâm đoạn 2,1 mm cho vân sáng

\(\begin{array}{l}{x_M} = k\dfrac{{\lambda D}}{a}\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{{x_M}a}}{{kD}} = \dfrac{{2,1.1}}{{1,2k}} = \dfrac{{1,75}}{k}\left( {\mu m} \right)(k \in Z)\end{array}\) 

+ Mà bước sóng nằm trong khoảng \(0,4\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\)

\(\begin{array}{l}0,4 \le \dfrac{{1,75}}{k} \le 0,76\\ \Rightarrow 2,3 \le k \le 4,375\\ \Rightarrow k = 3,4\end{array}\)

=> Tần số lớn nhất của bức xạ cho vân sáng tại M, ứng với bước sóng ngắn nhất (k = 4)

\(\begin{array}{l}{\lambda _{\min }}\left( {k = 4} \right) = \dfrac{{1,75}}{4} = 0,4375\mu m\\ \Rightarrow {f_{max}} = \dfrac{c}{{{\lambda _{\min }}}} = \dfrac{{{{3.10}^8}}}{{{{0,4375.10}^{ - 6}}}} = {6,86.10^{14}}Hz\end{array}\)

+ Ta có, A là vân tối \( \Rightarrow {x_A} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\dfrac{{\lambda D}}{a}\)

\( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{a{x_A}}}{{\left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)D}} = \dfrac{{{{2.10}^{ - 3}}{{.3,3.10}^{ - 3}}}}{{\left( {k + 0,5} \right).2}} = \dfrac{{3,3}}{{k + 0,5}}\left( {\mu m} \right)\)  (1)

+ Lại có: \(0,4\mu m \le \lambda  \le 0,75\mu m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0,4 \le \dfrac{{3,3}}{{k + 0,5}} \le 0,75\\ \Rightarrow 3,9 \le k \le 7,75\\ \Rightarrow k = 4,5,6,7\end{array}\)

Bước sóng ngắn nhất tại A cho vân tối ứng với \(k = 7\)

Thay \(k = 7\) vào (1) ta được: \({\lambda _{\min }} = \dfrac{{3,3}}{{7 + 0,5}} = 0,44\mu m\)

Ta có, N là vân tối

\(\begin{array}{l}{x_N} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\dfrac{{\lambda D}}{a} = 7,5mm\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{a{x_N}}}{{\left( {k + 0,5} \right)D}} = \dfrac{{{{1,2.10}^{ - 3}}{{.7,5.10}^{ - 3}}}}{{\left( {k + 0,5} \right).2,5}} = \dfrac{{3,6}}{{k + 0,6}}\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Theo đầu bài, ta có:

\(\begin{array}{l}0,4\mu m \le \lambda  \le 0,75\mu m\\ \Leftrightarrow 0,4 \le \dfrac{{3,6}}{{k + 0,5}} \le 0,75\\ \Leftrightarrow 4,8 \le k \le 9\\ \Rightarrow k = 5,6,7,8,9\end{array}\)

Để \({\lambda _{max}}\) thì \({k_{\min }} = 5\)

\( \Rightarrow {\lambda _{max}} = \dfrac{{3,6}}{5,5} = 0,655\mu m = 655nm\)

Gọi M là vị trí cách vân trung tâm 3mm

M – là vân sáng nên ta có: \({x_M} = ki = k\dfrac{{\lambda D}}{a}\)

\( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{a{x_M}}}{{kD}} = \dfrac{{{{0,8.10}^{ - 3}}{{.3.10}^{ - 3}}}}{{k.2}} = \dfrac{{{{1,2.10}^{ - 6}}}}{k}m = \dfrac{{1,2}}{k}\left( {\mu m} \right)\)

Lại có: \(380nm \le \lambda  \le 760nm \Leftrightarrow 0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0,38 \le \dfrac{{1,2}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 1,58 \le k \le 3,16\\ \Rightarrow k = 2,3\end{array}\)

Với \(k = 2 \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{1,2}}{2} = 0,6\mu m\) 

Với \(k = 3 \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{1,2}}{3} = 0,4\mu m\)

+ Gọi M là vị trí vân sáng bậc 3 của ánh sáng đơn sắc có bước sóng \({\lambda _1} = 0,76\mu m\) ta có:

\({x_M} = 3{i_1} = \dfrac{{3{\lambda _1}D}}{a}\)

+ M còn là vị trí vân sáng của các ánh sáng có bước sóng khác, do đó ta có:

\(\begin{array}{l}{x_M} = ki = \dfrac{{k\lambda D}}{a} = \dfrac{{3{\lambda _1}D}}{a}\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{3{\lambda _1}}}{k} = \dfrac{{3.0,76}}{k} = \dfrac{{2,28}}{k}\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\\ \Rightarrow 0,38 \le \dfrac{{2,28}}{k} \le 0,76\\ \Rightarrow 3 \le k \le 6\\ \Rightarrow k = 3,4,5,6\end{array}\)

Với k = 3 chính là ánh sáng có bước sóng \(0,76\mu m\)

=> Tại M có 3 bức xạ đơn sắc cho vân sáng trùng vân sáng bậc 3 của bức xạ có bước sóng \(0,76\mu m\)

Gọi M là điểm cách vân trung tâm 2,3mm

Để M là vân sáng thì :

\(\begin{array}{l}{x_M} = ki = \dfrac{{k\lambda D}}{a}\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{{x_M}a}}{{kD}} = \dfrac{{{{2,3.10}^{ - 3}}{{.1,2.10}^{ - 3}}}}{{k.2}} = \dfrac{{1,38}}{k}\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Mặt khác, bước sóng nằm trong khoảng \(0,4\mu m\) đến \(0,76\mu m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0,4 \le \dfrac{{1,38}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 1,82 \le k \le 3,45\\ \Rightarrow k = 2,3\end{array}\)

Vậy , tại M có 2 bức xạ cho vân sáng

Gọi \(\lambda \) là bước sóng cho vân sáng tại vị trí vân sáng bậc 3 của ánh sáng tím, ta có:

\(\begin{array}{l}{x_t} = {x_\lambda } \Leftrightarrow k\lambda  = 3{\lambda _t}\\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{3{\lambda _t}}}{k} = \dfrac{{3.0,4}}{k} = \dfrac{{1,2}}{k}\mu m\end{array}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}0,4\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\\ \Leftrightarrow 0,4 \le \dfrac{{1,2}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 1,58 \le k \le 3 \Rightarrow k = 2,3\end{array}\)

Trừ ánh sáng tím (ứng với k =3) thì còn 1 bức xạ cho vân sáng tại vị trí vân sáng bậc 3 của ánh sáng tím

Vân tối trùng vân sáng: \({x_{Mm{\rm{ax}}}} = ({k_t} + 0,5)\dfrac{{\lambda .D}}{a} = k\dfrac{{{\lambda _{{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}}}D}}{a} \to \lambda  = \dfrac{{k.760}}{{{k_t} + 0,5}}\)   , với \(k = 1,2,3,4,5,6{\rm{ }} \ldots \)

Dùng Mode 7 của máy tính cầm tay ta xét hàm \({f_{\left( x \right)}} = \dfrac{{k.760}}{{{k_t} + 0,5}}\)

Ta thấy chỉ khi \(k = 2\) thì có 2 giá trị \({k_t} = 2\) và \({k_t} = 3\) thỏa mãn điều kiện đầu bài ( chỉ có 2 vân tối trùng với điểm M thỏa mãn (\(400{\rm{ }}nm{\rm{ }} < \lambda  < {\rm{ }}760{\rm{ }}nm\))

\({f_{\left( x \right)}} = \dfrac{{2.760}}{{x + 0,5}}\);

star =1; end=10; step=1

Xem kết quả ta chọn \({\lambda _2} = 608nm\)

Ta có, bề rộng quang phổ bậc 1: \(\Delta x = {x_{{d_t}}} - {x_{{t_1}}} = \dfrac{{{\lambda _d}D}}{a} - \dfrac{{{\lambda _t}D}}{a}\)

Ban đầu:

\(\begin{array}{l}\Delta x = \dfrac{{D({\lambda _d} - {\lambda _t})}}{a} = 0,76mm\\ \Leftrightarrow {0,76.10^{ - 3}} = \dfrac{{D\left( {0,76 - 0,38} \right){{.10}^{ - 6}}}}{{{{1,2.10}^{ - 6}}}}\\ \Rightarrow D = 2,4m\end{array}\)

+ Khi dịch chuyển màn lại gần khe một đoạn x thì bề rộng quang phổ bậc 1 lúc này:

\(\begin{array}{l}\Delta x' = \dfrac{{(D - x)({\lambda _d} - {\lambda _t})}}{a} = 0,19mm\\ \Leftrightarrow {0,19.10^{ - 3}} = \dfrac{{\left( {2,4 - x} \right)\left( {0,76 - 0,38} \right){{.10}^{ - 6}}}}{{{{1,2.10}^{ - 3}}}}\\ \Rightarrow x = 1,8m\end{array}\)

Theo bài ra ta có, vị trí vân sáng bậc 4 của ánh sáng có bước sóng \({\lambda _1} = 0,56\mu m\)

\({x_1} = {k_1}{i_1} = {k_1}\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a}\)

Cũng tại vị trí này, để tại đó là vân sáng của bức xạ \(\lambda \) khác thì: \({x_2} = ki = k\dfrac{{\lambda D}}{a}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}\lambda \\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{4.0,56}}{{{k_2}}} = \dfrac{{2,24}}{{{k_2}}}\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\\ \Leftrightarrow 0,38 \le \dfrac{{2,24}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 2,95 \le k \le 5,89\\ \Rightarrow k = 3,4,5\end{array}\)

Vậy trên kính ảnh của buồng tối máy quang phổ này quan sát được ba vạch sáng riêng lẻ (gồm cả của bức xạ có bước sóng \(0,56\mu m\))

Ta có, điểm M là vân sáng khi \({x_M} = ki = k\dfrac{{\lambda D}}{a}\)

\( \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{a{x_M}}}{{kD}} = \dfrac{{{{10}^{ - 3}}{{.4.10}^{ - 3}}}}{{k.1}} = \dfrac{4}{k}\left( {\mu m} \right)\) (1)

Ta có: \(0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0,38 \le \dfrac{4}{k} \le 0,76\\ \Rightarrow 5,26 \le k \le 10,5\\ \Rightarrow k = 6,7,8,9,10\end{array}\)

Thay các giá trị của k vào (1), ta được:

Kết hợp với các phương án của đề bài, ta suy ra với bước sóng \(\dfrac{5}{7}\mu m\) không cho vân sáng tại M

Bề rộng quang phổ bậc 1 là: 

\(\Delta {x_1} = {x_{d1}} - {x_{t1}} = \frac{D}{a}\left( {{\lambda _d} - {\lambda _t}} \right) = \frac{3}{3}\left( {0,76 - 0,38} \right) = 0,38\,mm\)

Vùng phủ nhau giữa quang phổ bậc hai và bậc ba có bề rộng là: \(\Delta x{\rm{ }} = {x_{d2}}--{x_{t3}} = \left( {2{\lambda _d} - {\rm{ }}3{\lambda _t}} \right)\frac{D}{a} = 0,38{\rm{ }}mm\)

Ta có vùng phủ nhau giữa quang phổ bậc 3 với quang phổ bậc 4 là khoảng từ x_đ3 tới x_t4.

\({x_{d3}} = 3\frac{{{\lambda _d}.D}}{a};\,\,{x_{t4}} = 4\frac{{{\lambda _t}.D}}{a}\,\, \Rightarrow \,\,\,\Delta x = {x_{d3}} - {x_{t4}} = \left( {3{\lambda _d} - 4{\lambda _t}} \right).\frac{D}{a} = 0,76\left( {mm} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)