Bài tập tập giao thoa ánh sáng trắng

D = 2m, a = 0,5mm = 0,5.10^-3m

Tại M cho vân sáng: \({x_M} = 20mm = \frac{{k\lambda D}}{a} \Rightarrow \lambda  = \frac{{20.a}}{{kD}} = \frac{5}{k}\mu m\)

Với:  \(0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m \leftrightarrow 0,38\mu m \le \frac{5}{k} \le 0,76\mu m \leftrightarrow 6,57 \le k \le 13,16\) 

Vậy k_min = 7 => λ_max = 0,714μm = 714nm

\(x = \frac{{k\lambda D}}{a} = 32mm \Rightarrow \lambda  = \frac{4}{k}\mu m\)

Có: \(0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m \Leftrightarrow 0,38\mu m \le \frac{4}{k} \le 0,76\mu m \Rightarrow 5,26 \le k \le 10,5 \Rightarrow k = 6;7;8;9;10\)

Bước sóng λ nhỏ nhất nên k phải lớn nhất  => k_max = 10 => λ = 0,4µm  

+ M cách vân trung tâm đoạn 2,7 mm cho vân sáng =>   ${x_M} = k\frac{{\lambda D}}{a} = > \lambda = \frac{{{x_M}a}}{{kD}} = \frac{{2,7.1}}{{1,2k}} = \frac{{2,25}}{k}(k \in Z)$

+ Mà bước sóng nằm trong khoảng từ 0,40 µm đến 0,76 µm

=> \(0,4 \le \frac{{2,25}}{k} \le 0,76 =  > 2,96 \le k \le 5,63\) => k: 3,4,5

=> Tần số lớn nhất của bức xạ cho vân sáng tại M, ứng với bước sóng ngắn nhất (k = 5)

=>  λ_min = 0,45µm là: \(f = \frac{c}{\lambda } = \frac{{{{3.10}^8}}}{{0,{{45.10}^{ - 6}}}} = 6,{67.10^{14}}(Hz)\) 

\({x_M} = 5\frac{{0,6D}}{a} = \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\frac{{\lambda D}}{a} \to \lambda  = \frac{6}{{2k + 1}}\mu m\) 

\(0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m \Leftrightarrow 0,38 \le \frac{6}{{2k + 1}} \le 0,76 \to k = 7,6,5,4\)

Bước sóng ngắn nhất ứng với k lớn nhất k = 7 =>\(\lambda  = 0,4\mu m = 400nm\)

\({x_N} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\dfrac{{\lambda D}}{a} = 12mm \\\Rightarrow \lambda  = \dfrac{{12a}}{{\left( {k + 0,5} \right)D}} = \dfrac{6}{{\left( {k + 0,5} \right)}} (\mu m)\)

\(400 nm \le \lambda  \le 750nm\\\Leftrightarrow 0,4\mu m \le \lambda \le 0,75 \mu m\)

\(\Leftrightarrow 0,4\mu m \le \dfrac{6}{{k + 0,5}} (\mu m) \le 0,75 \mu m \)

\(\Leftrightarrow 7,5 \le k \le 14,5\)

Để \(\lambda_{max}\) thì \(k_{min}=8 \to \lambda = 0,705 \mu m = 705nm\) 

Vị trí của vân sáng bậc 3 của sáng tím trùng với vân sáng của ánh sáng đơn sắc khác

Sử dụng điều kiện của 2 vân sáng trùng nhau ta có:

\(\frac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} = \frac{{{k_2}.{\lambda _2}D}}{a} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}.{\lambda _2} \Leftrightarrow 3.400 = {k_2}.{\lambda _2} \Leftrightarrow {\lambda _2} = \frac{{1200}}{{{k_2}}}\) trong đó \({k_1},{k_2}\) là số nguyên

Mà: \(400 \le {\lambda _2} \le 750 \Leftrightarrow 400 < \frac{{1200}}{{{k_2}}} \le 750 \Rightarrow {k_2} = 2 \Rightarrow {\lambda _2} = 600nm\)

+ Gọi M là vị trí vân sáng bậc 4 của ánh sáng đơn sắc có bước sóng 0,76 µm ta có: \({x_M} = 4{i_1} = \frac{{4{\lambda _1}D}}{a}\)

+ M còn là vị trí vân sáng của các ánh sáng có bước sóng khác, do đó ta có:

\({x_M} = ki = \frac{{k\lambda D}}{a} = \frac{{4{\lambda _1}D}}{a} =  > \lambda  = \frac{{4{\lambda _1}}}{k}\)

Mà \(0,38 \le \lambda  \le 0,76 =  > 0,38 \le \frac{{4{\lambda _1}}}{k} \le 0,76 =  > 4 \le k \le 8\)

Do đó k: 4,5,6,7,8 với k = 4 chính là ánh sáng có bước sóng 0,76 µm

=> Tại M còn 4 vân sáng nữa của các ánh sáng đơn sắc khác

Để M là vân sáng thì \({x_M} = ki = \frac{{k\lambda D}}{a} =  > \lambda  = \frac{{{x_M}a}}{{kD}} = \frac{{3,3}}{k}\)

Bước sóng nằm trong khoảng 0,40 µm đến 0,76 µm =>\(0,4 \le \frac{{3,3}}{k} \le 0,76 =  > 4,34 \le k \le 8,25 =  > k=5,6,7,8\)

=> có $4$ bức xạ

Gọi \(\lambda \) là bước sóng cho vân sáng tại vị trí vân sáng bậc 3 của ánh sáng đỏ:

\(k\lambda  = 3{\lambda _d} \to \lambda  = \dfrac{{3{\lambda _d}}}{k} = \dfrac{{3.0,75}}{k} = \dfrac{{2,25}}{k}\mu m\)

Mà:

\(\begin{array}{l}0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\\ \Leftrightarrow 0,38 \le \frac{{2,25}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 2,96 \le k \le 5,92\\ \Rightarrow k = 3;4;5\end{array}\)

Ta có \(k = 3\)  ứng với vân sáng bậc 3 của ánh sáng đỏ tại vị trí đó

=> Trừ ánh sáng đỏ đi qua thì còn 2 bức xạ khác

\(\Delta x = \frac{{D({\lambda _d} - {\lambda _t})}}{a} = 0,38mm\)

Thay dữ liệu vào công thức trên suy ra D = 1m

\(\Delta x' = \frac{{(D + x)({\lambda _d} - {\lambda _t})}}{a} = 0,57mm \Rightarrow x = 0,5m = 50cm\)

Theo bài ra ta có, vị trí vân sáng bậc 4 của ánh sáng có bước sóng \({\lambda _1} = 0,76\mu m\)

\({x_1} = {k_1}{i_1} = {k_1}\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a}\)

Cũng tại vị trí này, để tại đó là vân sáng của bức xạ \(\lambda \) khác thì: \({x_2} = ki = k\dfrac{{\lambda D}}{a}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}\lambda \\ \Rightarrow \lambda  = \dfrac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{4.0,76}}{{{k_2}}} = \dfrac{{3,04}}{{{k_2}}}\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}0,38\mu m \le \lambda  \le 0,76\mu m\\ \Leftrightarrow 0,38 \le \dfrac{{3,04}}{k} \le 0,76\\ \Leftrightarrow 4 \le k \le 8\\ \Rightarrow k = 4,5,6,7,8\end{array}\)

Vậy trên kính ảnh của buồng tối máy quang phổ này quan sát được năm vạch sáng riêng lẻ (gồm cả của bức xạ có bước sóng \(0,76\mu m\))

+ Tại M là vị trí vân sáng bậc n của λ₁ và bậc n + 1 của λ₂ => nλ₁ = (n +1)λ₂ 

Hay 0,6n = 0,5(n + 1) =>  n = 5. Khi đó x_M = 5i₁

+ M còn là vị trí vân sáng của một số bức xạ khác  => x_M = ki = 5i_{1 =>}  λ = 5λ₁/k

Theo đề bài 0,38μm ≤ λ ≤ 0,76μm =>  0,38μm ≤ 5λ₁/k ≤ 0,76μm  => 3,95 ≤  k  ≤ 7,89

Do đó k: 4,5,6,7 => có tất cả 4 bức xạ cho vân sáng tại M

=> Ngoài λ₁ và λ₂ thì tại M còn 2 bức xạ cho vân sáng

Vị trí điểm M: \({x_M} = \frac{{k\lambda D}}{a} = \frac{{{k_v}{\lambda _v}D}}{a} \Leftrightarrow k\lambda  = {k_v}{\lambda _v} \to \lambda  = \frac{{{k_v}{\lambda _v}}}{k} = \frac{{{k_v}.580}}{k}nm\)

\(415nm \le \lambda  \le 760nm \Leftrightarrow 415 \le \frac{{415nm \le \lambda  \le 760nm.580}}{k} \le 760 \Leftrightarrow \frac{{{k_v}}}{{\frac{{38}}{{29}}}} \le k \le \frac{{{k_v}}}{{\frac{{83}}{{116}}}}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_v} = 3 \Rightarrow k = 3;4(L)\\{k_v} = 4 \Rightarrow k = 4;5(L)\\{k_v} = 5 \Rightarrow k = 4;5;6(L)\\{k_v} = 6 \Rightarrow k = 5;6;7;8(C)\end{array} \right.\)

Vậy M là vân sáng bậc 6 của bức xạ màu vàng

Ở vị trí gần vạch trung tâm nhất mà 2 vạch màu đơn sắc khác nhau trùng nhau, ta có vạch tím thứ  n + 1 trùng với vạch màu nào đó thứ  n, ta gọi bước sóng của vạch màu đó là λ.

Ta có \({n_t}{i_t} = ni \Leftrightarrow (n + 1){\lambda _t} = n\lambda  \Leftrightarrow \lambda  = \dfrac{{n + 1}}{n}{\lambda _t}\)  \((n \in \mathbb{N})\)

Có \(0,39 \le \lambda  \le 0,76 \Leftrightarrow 0,39 \le \dfrac{{n + 1}}{n}{\lambda _t} \le 0,76 \Leftrightarrow n \ge 1,054\)

Ta cần tìm n nhỏ nhất nên suy ra \(n = 2 \Rightarrow x = (n + 1){i_t} = (n + 1)\dfrac{{{\lambda _t}D}}{a} = 2,34(mm)\).

Giả sử \({\lambda _1} < {\lambda _2}\).

Gọi số vân sáng của lamda1 giữa 2 vân sáng chung liên tiếp là \(n_1\) số vân sáng của \(\lambda_2\) giữa 2 vân sáng chung liên tiếp là \(n_2\)

Ta có N = n1 + n2 và \(({n_1} + 1){\lambda _1} = ({n_2} + 1){\lambda _2} \Rightarrow \dfrac{{{n_1} + 1}}{{{n_2} + 1}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}\)(1)

Mặt khác, vì \(\lambda_1\) và \(\lambda_2\) trong khoảng \(400nm\) đến \(750nm\) nên \(\dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} < \dfrac{{750}}{{400}} = 1,875\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \({n_2} < {n_1} < 1,875{n_2} + 0,875\)

Để ý thấy (n₁ + 1) và (n₂ + 1) phải là 2 số nguyên tố cùng nhau (UCLN phải bằng 1) để giữa 2 vân sáng chung không còn vân sáng chung nào khác. Ta có bảng sau:

Vậy ta thấy với N = 8 thì không có giá trị nào thỏa mãn đề bài