Bài tập giao thoa 2 ánh sáng - 3 ánh sáng

Ta có: \({x_s} = \dfrac{{k\lambda D}}{a}\)

Thứ tự giảm dần của bước sóng: đỏ - vàng - lam – chàm nên vân sáng đơn sắc xa vân trung tâm nhất là vân sáng của ánh sáng đơn sắc màu đỏ

Tại vị trí vân trùng ta có: \(12{i_1} = 9{i_2} \Leftrightarrow 12{\lambda _1} = {\rm{ }}9{\lambda _2} \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{3}{4}\)

Vị trí trùng nhau của 2 vân sáng:  \({x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \frac{{4.0,64}}{5} = 0,512\mu m\)

Ta có:

+ Khoảng vân \(\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = \frac{{{\lambda _1}D}}{a} = \frac{{{{0,64.10}^{ - 6}}.2}}{{{{0,8.10}^{ - 3}}}} = {1,6.10^{ - 3}}m = 1,6mm\\{i_2} = \frac{{{\lambda _2}D}}{a} = \frac{{{{0,4.10}^{ - 6}}.2}}{{{{0,8.10}^{ - 3}}}} = {10^{ - 3}}m = 1mm\end{array} \right.\)

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân sáng trùng nhau quan sát được trên màn = khoảng vân trùng

\(\begin{array}{l}\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{{{0,4.10}^{ - 6}}}}{{{{0,64.10}^{ - 6}}}} = \frac{5}{8}\\ \Rightarrow {i_T} = 5{i_1} = 5.1,6 = 8mm\end{array}\)

Ta có:

Vị trí vân sáng trùng nhau: \({k_1}{i_1} = {\rm{ }}{k_2}{i_2}\)

=> \(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{{0,4}}{{0,7}} = \dfrac{4}{7}\)

=> khoảng vân trùng: \({i_T} = 4{i_1} = 7{i_2}\)

+ Khoảng cách giữa 3 vân sáng liên tiếp có màu giống màu vân trung tâm là \(L{\rm{ }} = {\rm{ }}8{i_1} = {\rm{ }}14{i_2}\)

=> Ta suy ra:

Số vân sáng đỏ quan sát được:  \(N_1\) = 9 - 3 = 6 vân đỏ

Số vân sáng tím quan sát được: \({N_2} = {\rm{ }}15{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}12\) vân tím

Tại vị trí vân sáng cùng màu với vân trung tâm đó có:

+ Vân sáng bậc \(8\) của \({\lambda _2}\)

+ Vân sáng bậc \(k\) của \({\lambda _1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 8{\lambda _2} = k.{\lambda _1} \Leftrightarrow 8{\lambda _2} = k.0,72\\ \Rightarrow {\lambda _2} = 0,09k\left( {\mu m} \right)\end{array}\)

Vì: \(0,59\mu m \le {\lambda _2} \le 0,65\mu m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0,59 \le 0,09k \le 0,65\\ \Leftrightarrow 6,55 \le k \le 7,22\\ \Rightarrow k = 7\\ \Rightarrow {\lambda _2} = 0,09.7 = 0,63\mu m\end{array}\)

Số vân sáng trùng nhau trên đoạn AB : \({N_{tr}} = N - {N_1} - {N_2} = 17 - 6 - 9 = 2\)

Số vân sáng của bức xạ 1 : \({N_{S1}} = 6 + 2 = 8\)

Số vân sáng bức xạ 2 : \({N_{S2}} = 9 + 2 = 11\)

Chiều dài đoạn AB :

\(\begin{array}{l}{L_{AB}} = 7{i_1} = 10{i_2}\\ \Leftrightarrow 7{\lambda _1} = 10{\lambda _2}\\ \Rightarrow {\lambda _2} = \dfrac{{7{\lambda _1}}}{{10}} = \dfrac{7}{{10}}.0,72 = 0,504\mu m\end{array}\)

+ Tại điểm M trùng với vị trí vân sáng bậc 4 của bức xạ \({\lambda _2}\)

Tại N trùng với vị trí vân sáng bậc 10 của bức xạ  \({\lambda _1}\)

=>

Mà:

\(\begin{array}{l}\frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{{{0,63.10}^{ - 6}}}}{{{{0,45.10}^{ - 6}}}} = \frac{7}{5} \Rightarrow {i_2} = \frac{7}{5}{i_1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 5{i_2} = 5.\frac{7}{5}{i_1} = 7{i_1}\\{x_N} = 14{i_1} = 14.\frac{5}{7}{i_2} = 10{i_2}\end{array} \right.\end{array}\)

Tại vị trí trùng nhau của hai vân sáng ta có: \({k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{7}{5}\)

=>  Trong khoảng từ M đến N có 2 vị trí vân sáng trùng nhau tại M và N

 =>  từ M đến N có 6 vân sáng của riêng bức xạ \({\lambda _1}\)

 =>  từ M đến N có 4 vân sáng của riêng bức xạ \({\lambda _2}\)

=> Trong khoảng từ M đến N quan sát được 10 vân sáng.

Giữa hai vân trùng màu với vân trung tâm có 3 vân sáng màu cam, chứng tỏ  rằng vị  trí trùng nhau gần nhất của hai bức xạ  ứng với vân sáng bậc 4 của bức xạ cam

+ Từ điều kiện trùng nhau của hai hệ vân ta có :

\({k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Leftrightarrow \frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{k_1}.0,48}}{4} = 0,12{k_1}\left( {\mu m} \right)\)

\(\begin{array}{l}0,59 \le {\lambda _2} \le 0,65\\ \Leftrightarrow 0,59 \le 0,12{k_2} \le 0,65\\ \Rightarrow 4,9 \le {k_2} \le 5,4\\ \Rightarrow {k_2} = 5 \Rightarrow {\lambda _2} = 0,6\mu m\end{array}\)

Vị trí hai vân sáng trùng nhau của hai bức xạ: \(\dfrac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} = \dfrac{{{k_2}{\lambda _2}D}}{a} \Rightarrow \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow {i_{12}} = 3{i_1} = 3\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} = 3mm\)

Xét \(\dfrac{L}{{2{i_{12}}}} = \dfrac{{32,7}}{{2.3}} = 5,45\)

Số vân sáng trùng nhau của hai bức xạ trên bề rộng miền giao thoa L là: \({N_{12}} = 2\left[ {\dfrac{L}{{2{i_{12}}}}} \right] + 1 = 2\left[ {\dfrac{{32,7}}{{2.3}}} \right] + 1 = 11\)

Vị trí hai vân sáng trùng nhau: \({x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{5}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 5n\\{k_2} = 8n\end{array} \right.\)

Vân trùng đầu tiên:

Vị trí trùng tiếp theo: \({k_1} = {\rm{ }}5,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}8\)

=> Giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có: 4 vân sáng của bức xạ 1 và 7 vân sáng của bức xạ 2

=> Số vân sáng khác màu vân trung tâm là:  7 + 4 = 11

+ Nếu chỉ thực hiện giao thoa với ánh sáng đỏ thì số vân sáng màu đỏ quan sát được trên đoạn MN nếu chỉ thực hiện giao thoa với ánh sáng đỏ:

=>  N_d = 22 vân

+ Khi thực hiện giao thoa đồng thời hai ánh sáng màu đỏ và lục:

 Vị trí trùng nhau của hai bức xạ:

\(\begin{array}{l}{k_1}{i_1} = {k_2}{i_2}\\ \Rightarrow \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \frac{{{i_1}}}{{{i_2}}} = \frac{{1,5}}{{1,1}} = \frac{{15}}{{11}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 11n\\{k_2} = 15n\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_T} = 11n.{i_1} = 16,5n(mm)\end{array}\)

Số vân sáng trùng nhau của hai bức xạ trên đoạn MN là:

\(\begin{array}{l} - 6,4 \le {x_T} \le 26,5\\ \Leftrightarrow  - 6,4 \le 16,5n \le 26,5\\ \Leftrightarrow  - 0,4 \le n \le 1,6\\ \Rightarrow n = 0;1\end{array}\)

=>  N_T = 2 vân

+ Số vân sáng màu đỏ quan sát được khi thực hiện giao thoa đồng thời hai bức xạ đỏ và lục: \(N = {N_d} - {N_T} = 22 - 2 = 20\)

Vậy trên MN có 20 vân sáng đỏ

Trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp có màu giống màu của vân trung tâm còn có 9 vân sáng khác

=> Tổng số vân sáng của từng bức xạ là: 9 + 4 = 13 (vân sáng)

Vị trí vân sáng của hai bức xạ trùng nhau: \({x_1} = {x_2} \\\Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \\\Rightarrow {\lambda _2} = \dfrac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} \\= \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.0,441\left( {\mu m} \right)\)

Có: \({k_1} + 1 + {k_2} + 1 = 13 \\\Rightarrow {k_1} + {k_2} = 11\) (1)

Với: \(0,38 \le {\lambda _2} \le 0,76 \\\Leftrightarrow 0,38 \le \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.0,441 \le 0,76 \\\Leftrightarrow 0,862 \le \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} \le 1,723\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({k_1} = {\rm{ }}6,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}5\)

=>  \({\lambda _2} = 5292,0\mathop A\limits^0 \)

+ Vị trí 3 vân sáng trùng nhau: \(\frac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} = \frac{{{k_2}{\lambda _2}D}}{a} = \frac{{{k_3}{\lambda _3}D}}{a} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3} \Leftrightarrow 6{k_1} = 5{k_2} = 4{k_3}\)

BCNN(6;5;4) = 60

\( \Rightarrow {k_1} = 10n;{k_2} = 12n;{k_3} = 15n\)

=>  Vị trí trùng nhau đầu tiên là vị trí ứng với \({k_1} = {\rm{ }}10,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}12,{\rm{ }}{k_3} = {\rm{ }}15\)

+ Xét sự trùng nhau của hai bức xạ

Bức xạ đơn sắc 1 và 2: \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{5}{6} =  > {k_1} = 5{n_1},{k_2} = 6{n_1}\)

=>  Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 1 vị trí trùng nhau của bức xạ 1 và 2.

Bức xạ đơn sắc 2 và 3 : \(\frac{{{k_2}}}{{{k_3}}} = \frac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{4}{5} =  > {k_2} = 4{n_2},{k_3} = 5{n_2}\)

=>  Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 2 vị trí trùng nhau của bức xạ 2 và 3

+ Giữa 2 vân sáng liên tiếp cùng màu với vân trung tâm ngoài những vân sáng vàng đơn thì còn vân sáng giao thoa giữa vàng với lam và vàng với đỏ. Vì vậy ta có số vân sáng vàng là:

\({n_2} = 11 - 1 - 2 = 8\)(vân)

+ Giả sử M là vị trí trùng nhau của ba bức xạ

=>\({x_M} = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2} = {k_3}{i_3} <  =  > 4{k_1} = 5{k_2} = 6{k_3}\)

+ BCNN(4; 5; 6) = 60 \( \Rightarrow {k_1} = 15n;{k_2} = 12n;{k_3} = 10n\)

=> Vị trí trùng nhau đầu tiên là vị trí ứng với \({k_1} = {\rm{ }}15,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}12,{\rm{ }}{k_3} = {\rm{ }}10\)

+ Xét sự trùng nhau của hai bức xạ:

Bức xạ đơn sắc 1 và 2: \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{0,5}}{{0,4}} = \frac{5}{4} =  > {k_1} = 5{n_1},{k_2} = 4{n_1}\)

 => Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 2 vị trí trùng nhau của bức xạ 1 và 2. (ứng với n₁ = 1;2)

Bức xạ đơn sắc 2 và 3 : \(\frac{{{k_2}}}{{{k_3}}} = \frac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{{0,6}}{{0,5}} = \frac{6}{5} =  > {k_2} = 6{n_2},{k_3} = 5{n_3}\)

=> Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 1 vị trí trùng nhau của bức xạ 2 và 3. (ứng với n₂ = 1)

Bức xạ đơn sắc 3 và 1: \(\frac{{{k_1}}}{{{k_3}}} = \frac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{0,6}}{{0,4}} = \frac{3}{2} =  > {k_1} = 3{n_3},{k_3} = 2{n_3}\)

=> Trong khoảng giữa hai vân sáng trùng màu với vân trung tâm có 4 vị trí trùng nhau của bức xạ 3 và 1. (ứng với n₃ = 1;2;3;4)

Như vậy tổng số vân sáng đơn sắc quan sát được trong khoảng giữa hai vân có màu trùng màu với vân trung tâm là:  N = 14 + 11 + 9  – 2.2 – 1.2 – 4.2  = 20 (vân)

Số vân sáng không phải đơn sắc trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp có màu trùng với vân trung tâm bằng tổng số vân sáng trùng nhau của λ₁ và λ₂, λ₂ và λ₃, λ₁ và λ₃   

+ Giả sử M là vị trí trùng nhau của ba bức xạ: \({x_M} = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2} = {k_3}{i_3} \Leftrightarrow 5{k_1} = 6{k_2} = 8{k_3}\)

 BCNN(5; 6; 8) = 120

 VT trùng nhau là vị trí ứng với k₁ = 24n, k₂ = 20n, k₃ = 15n

 VT trùng nhau đầu tiên là vị trí ứng với k₁ = 24, k₂ = 20, k₃ = 15

+ Xét sự trùng nhau của hai bức xạ

Bức xạ đơn sắc 1 và 2: \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{0,48}}{{0,4}} = \frac{6}{5} \Rightarrow {k_1} = 6{n_1},{k_2} = 5{n_1}\)  Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 3 vị trí trùng nhau của bức xạ 1 và 2 (ứng với các giá trị n₁ = 1;2;3)

Bức xạ đơn sắc 2 và 3 : \(\frac{{{k_2}}}{{{k_3}}} = \frac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{{0,64}}{{0,48}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {k_2} = 4{n_2},{k_3} = 3{n_2}\)  Trong khoảng giữa hai vân sáng cùng màu với vân trung tâm có 4 vị trí trùng nhau của bức xạ 2 và 3. (ứng với các giá trị n₂ = 1;2;3;4)

Bức xạ đơn sắc 3 và 1: \(\frac{{{k_1}}}{{{k_3}}} = \frac{{{\lambda _3}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{{0,64}}{{0,4}} = \frac{8}{5} \Rightarrow {k_1} = 8{n_3},{k_3} = 5{n_3}\) Trong khoảng giữa hai vân sáng trùng màu với vân trung tâm có 2 vị trí trùng nhau của bức xạ 3 và 1 (ứng với các giá trị n₃ = 1;2 )

Vậy tổng số vân sáng không đơn sắc quan sát được trong khoảng giữa hai vân có màu trùng màu với vân trung tâm là N = 3 + 4 + 2 = 9 (vân)

+ Ban đầu: \({i_1} = \frac{{{\lambda _1}D}}{a} \Rightarrow {\lambda _1} = \frac{{{i_1}.a}}{D} = \frac{{4,5.0,2}}{{1,8}} = 0,5\mu m = 500nm\)

+ Sau khi thay bằng bức xạ \({\lambda _2}\), tại vị trí vân sáng bậc 5 của ánh sáng có bước sóng \({\lambda _1}\)  xuất hiện một vân sáng của ánh sáng có bước sóng \({\lambda _2}\)

\( \Rightarrow 5{\lambda _1} = k.{\lambda _2} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{5{\lambda _1}}}{k} = \frac{{5.500}}{k} = \frac{{2500}}{k}\,\left( {nm} \right)\)

Mà \(400nm < {\lambda _2} < 650nm \Leftrightarrow 400 < \frac{{2500}}{k} < 650\)

\( \Leftrightarrow 3,8 < k < 6,25 \Rightarrow k = 4;5;6\)

Vì \({\lambda _2} > {\lambda _1} \Rightarrow k = 4 \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{2500}}{4} = 625\,\left( {nm} \right)\)

Vị trí hai vân sáng trùng nhau:

\(\begin{array}{l}ki = k'i'\\ \Rightarrow \dfrac{k}{{k'}} = \dfrac{{\lambda '}}{\lambda } = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{2n}}{{3n}}\end{array}\).

\(\begin{array}{l} - 7 \le k = 2n \le 7\\ \Rightarrow  - 3,5 \le n \le 3,5\\ \Rightarrow n =  - 3, - 2, - 1,0,1,2,3\end{array}\)

Có 7 giá trị của n nên  trong khoảng giữa hai vân sáng bậc 7 của bức xạ \(λ\) số vị trí có vân sáng trùng nhau của hai bức xạ là 7.

Ta có:  \(\dfrac{{{i_1}}}{{{i_2}}} = \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \dfrac{k}{3}\)

Mặt khác ta có: \({\lambda _2} > {\lambda _1} \Rightarrow k < 3\)

\({i_ \equiv } = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2} = 0,6(mm) \Rightarrow {i_1} = 0,2(mm)\)

Với k = 1: \({i_2} = 3{i_1} = 0{\rm{,6 (mm)}} \Rightarrow {\lambda _2} = 1,{\rm{2 (\mu m)}} \Rightarrow \) loại do ánh sáng thuộc vùng không nhìn thấy

Với k = 2: \({i_2} = \dfrac{3}{2}{i_1} = 0,3{\rm{ (mm)}} \Rightarrow {\lambda _2} = 0,6{\rm{ (\mu m)}} \Rightarrow \) Chọn A

Ta có: \({x_s} = \frac{{k\lambda D}}{a}\)

Thứ tự giảm dần của bước sóng: đỏ - vàng - lam – chàm nên vân sáng đơn sắc gần vân trung tâm nhất là vân sáng của chàm.