Bài tập năng lượng của con lắc lò xo

A, B, C – đúng

D – sai vì: \({\rm{W}} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_{{t_{max}}}} = {{\rm{W}}_{{d_{max}}}}\)

Ta có, cơ năng của con lắc lò xo dao động điều hòa: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)

=> Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động và độ cứng k

=> Các phương án:

A, B, C – sai

D - đúng

A – sai vì: Cơ năng của con lắc lò xo dao động điều hòa được bảo toàn

B – sai vì: Động năng và thế năng của con lắc lò xo luôn thay đổi

C – sai vì: Trong dao động điều hòa của con lắc lò xo, động năng tăng bao nhiêu thì thế năng giảm bấy nhiêu.

D - đúng

Ta có, cơ năng của con lắc lò xo dao động điều hòa: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

Cơ năng của con lắc không phụ thuộc vào khối lượng của vật

Ta có, cơ năng của con lắc lò xo: \(W = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

=> Khi giảm độ cứng của lò xo 2 lần và tăng biên độ dao động của lò xo lên 4 lần thì cơ năng của con lắc sẽ tăng 8 lần.

+ Từ đồ thị, ta có:

- Biên độ dao động của vật: \(A = 4cm\)

- Chu kì dao động của vật: \(T = \pi \left( s \right)\)

+ Tần số góc: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{\pi } = 2\left( {rad/s} \right)\)

+ Cơ năng của con lắc: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \dfrac{1}{2}0,{1.2^2}.{\left( {0,04} \right)^2} = 3,{2.10^{ - 4}} = 0,32mJ\)

Ta có, cơ năng của con lắc lò xo: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

Ta suy ra: \(A = \sqrt {\dfrac{{2W}}{k}}  = \sqrt {\dfrac{{2.0,32}}{{100}}}  = 0,08m = 8cm\)

Ta có:

+ Động năng của con lắc:

\(\begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\ = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}k{x^2}\end{array}\)

+ Thế năng của con lắc:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}k{A^2}co{s^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)\\ = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - \dfrac{1}{2}m{v^2}\end{array}\)

=> Các phương án:

A, C, D – sai

B - đúng

Ta có:

+ Động năng:

\(\begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )\\ = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\left( {\dfrac{{1 - c{\rm{os}}\left( {2\omega t + 2\varphi } \right)}}{2}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2} - \dfrac{1}{4}m{\omega ^2}{A^2}{\rm{cos}}\left( {2\omega t + 2\varphi } \right)\end{array}\)

+ Thế năng:

\(\begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}k{A^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}(\omega t + \varphi )\\ = \dfrac{1}{2}k{A^2}\left( {\dfrac{{1 + c{\rm{os}}\left( {2\omega t + 2\varphi } \right)}}{2}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}k{A^2} + \dfrac{1}{4}k{A^2}{\rm{cos}}\left( {2\omega t + 2\varphi } \right)\end{array}\)

Từ các biểu thức của động năng và thế năng đó ta suy ra:

Động năng và thế năng của vật biến thiên điều hòa với cùng tần số góc \(2\omega \), tần số \(2f\) và chu kì \(\dfrac{T}{2}\) .

Cơ năng được bảo toàn

=> Các phương án:

A, B, C – sai

D – đúng

Khi vật đang chuyển động từ vị trí cân bằng về vị trí biên thì: Thế năng tăng - Động năng giảm - Cơ năng bảo toàn.

=> Các phương án:

A – sai vì: Khi đó năng lượng của vật đang chuyển hóa từ động năng sang thế năng

B – đúng

C – sai vì: Cơ năng của vật được bảo toàn

D – sai vì: Thế năng của vật tăng dần

+ Từ đồ thị, ta có:

- Biên độ dao động của vật: \(A = 10cm\)

- Khoảng thời gian từ \(0,1s\) đến \(0,3s\): \(\Delta t = 0,3 - 0,1 = 0,2s = \dfrac{T}{2} \to T = 0,4s\)

- Tần số góc của dao động: \(\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{0,4}} = 5\pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Tại thời điểm \(t = 0,5s\) vật đang ở li độ \(x = 0\)

=> Thế năng của vật khi đó: \({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} = 0J\)

=> Động năng của vật khi đó:

\(\begin{array}{l}{{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\\ = \dfrac{1}{2}.0,2.{\left( {5\pi } \right)^2}.{\left( {0,1} \right)^2} = 0,25J\end{array}\)

Khi biết thế năng tại vị trí có li độ x gấp n lần động năng của vật: \({{\rm{W}}_t} = n{{\rm{W}}_d}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = n{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{n}{{n + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{1}{{n + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm A\sqrt {\dfrac{n}{{n + 1}}} \\v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt {n + 1} }}\end{array} \right.\)

Từ phương trình dao động điều hòa, ta có:

Biên độ dao động của vật: \(A = 10cm\)

Khi \({{\rm{W}}_t} = 3{W_d}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = 3{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to {W_t} = \dfrac{3}{{3 + 1}}W\\ \to x =  \pm A\sqrt {\dfrac{3}{{3 + 1}}}  =  \pm 5\sqrt 3 cm \approx  \pm 8,66cm\end{array}\)

Từ phương trình dao động điều hòa, ta có:

+ Biên độ dao động của vật: \(A = 5cm\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)

Khi W_đ = 3W_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = 3{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to {W_d} = \dfrac{1}{{3 + 1}}W \to v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt {3 + 1} }} =  \pm \dfrac{{5.2\pi }}{2} =  \pm 5\pi cm/s\)

Từ phương trình dao động điều hòa, ta có:

+ Biên độ dao động của vật: \(A = 5cm\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)

Khi W_đ = 3W_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = 3{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to {W_d} = \dfrac{1}{{3 + 1}}W \to v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt {3 + 1} }} =  \pm \dfrac{{5.2\pi }}{2} =  \pm 5\pi cm/s\)

Khi W_đ = 3W_t

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = 3{W_t}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{W_t} = \dfrac{1}{{3 + 1}}W\\{W_d} = \dfrac{3}{{3 + 1}}W\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt {3 + 1} }}\\v =  \pm A\omega \sqrt {\dfrac{3}{{3 + 1}}} \end{array} \right. \to \dfrac{x}{v} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 \omega }}\)

\( \to \sqrt 3 \omega x = v\)

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi f = 10\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

+ Tại li độ \(x = 2cm\) có:

+ Thế năng: \({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \dfrac{1}{2}0,16.{(10\pi )^2}{(0,02)^2} = 0,032J\)

+ Động năng: \({{\rm{W}}_đ}{\rm{ = W}} - {{\rm{W}}_t} = 0,08 - 0,032 = 0,048J\)

\( \to \dfrac{{{{\rm{W}}_{đ}}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \dfrac{{0,048}}{{0,032}} = \dfrac{3}{2}\)

+ Khi \(v = 40\% {v_{max}} = 0,4.A\omega \)

Áp dụng hệ thức độc lập ta có: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \to {x^2} = {A^2} - \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} - \dfrac{{{{(0,4A\omega )}^2}}}{{{\omega ^2}}} = 0,84{A^2}\)

Khi đó, ta có:

+ Động năng của vật: \({{\rm{W}}_{đ}} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m{(0,4)^2}{\omega ^2}{A^2}\)

+ Thế năng của vật: \({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{{\rm{x}}^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}0,84.{A^2}\)

\( \to \dfrac{{{{\rm{W}}_{đ}}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}m{{(0,4)}^2}{\omega ^2}{A^2}}}{{\dfrac{1}{2}m{\omega ^2}0,84.{A^2}}} = \dfrac{4}{{21}}\)

Ta có:

+ Vị trí có động năng bằng thế năng:

\({{\rm{W}}_t} = {{\rm{W}}_{đ}} \to 2{{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} \to {x_1} =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt 2 }}\)

+ Vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng:

\({{\rm{W}}_d} = 3{{\rm{W}}_t} \to {{\rm{W}}_t} = \dfrac{{\rm{W}}}{4} \to {x_2} =  \pm \dfrac{A}{2}\)

Xác định các vị trí trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng tương ứng với góc quét: \(\Delta \varphi  = \dfrac{\pi }{{12}}\)

Mặt khác,

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \omega \Delta t \leftrightarrow \dfrac{\pi }{{12}} = \dfrac{{2\pi }}{T}.\Delta t\\ \to \Delta t = \dfrac{T}{{24}}\end{array}\)

Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng là \(\dfrac{T}{{24}}\)

+ Vị trí ban đầu: \(x = 0\)

+ Vị trí: \(\left\{ \begin{array}{l}{W_t} = 3{W_d}\\W = {W_t} + {W_d}\end{array} \right. \to {W_t} = \dfrac{3}{4}W \to x =  \pm \dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)

Vẽ trên vòng tròn lượng giác, ta được:

Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật dao động đến thời điểm mà thế năng bằng 3 lần động năng ứng với góc quét \(\Delta \varphi  = \dfrac{\pi }{3}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \omega \Delta t \leftrightarrow \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{T}\Delta t\\ \to \Delta t = \dfrac{T}{6}\end{array}\)

=> Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật dao động đến thời điểm mà thế năng bằng 3 lần động năng là \(\dfrac{T}{6}\)