Đồ thị chu kì T theo khối lượng của con lắc lò xo dao động điều hòa có dạng:
Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \to {T^2} = 4{\pi ^2}\dfrac{m}{k}\)
=> Đồ thị T - m có dạng parabol
Một con lắc lò xo dao động điều hòa gồm vật có khối lượng \(m\), lò xo có độ cứng \(k = 80N/m\). Biết con lắc dao động với tần số \(f = \dfrac{{10}}{\pi }\left( {Hz} \right)\). Khối lượng \(m\) của vật nặng có giá trị là:
Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo
\(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \to m = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}{f^2}}} = \dfrac{{80}}{{4{\pi ^2}{{\left( {\dfrac{{10}}{\pi }} \right)}^2}}} = 0,2kg = 200g\)
Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng \(m = 160g\), dao động điều hòa với phương trình \(x = 4cos\left( {4\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\). Lấy \({\pi ^2} = 10\). Độ cứng \(k\) của lò xo có giá trị là:
+Từ phương trình dao động của con lắc lò xo, ta có tần số góc \(\omega = 4\pi \left( {rad/s} \right)\)
+ Mặt khác, ta có: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} \to k = m{\omega ^2} = 0,16.{\left( {4\pi } \right)^2} = 25,6N/m\)
Một con lắc lò xo đặt nằm nghiêng như hình vẽ, vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ cứng k. Tần số góc dao động của con lắc lò xo là:
Ta có:
Độ dãn của con lắc lò xo nằm nghiêng tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k}\)
Tần số góc của con lắc: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} = \sqrt {\dfrac{{g\sin \alpha }}{{\Delta l}}} \)
Một con lắc lò xo nằm nghiêng dao động điều hòa với chu kì \(1s\). Biết máng nghiêng góc \(\alpha = {45^0}\), gia tốc rơi tự do \(g = {\pi ^2} = 10m/{s^2}\). Độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng là:
Ta có:
+ Độ dãn của con lắc lò xo nằm nghiêng tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k}\)
+ Mặt khác, chu kì dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)
=> Độ dãn:
\(\begin{array}{l}\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k} = \dfrac{{{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}.g\sin \alpha \\ = \dfrac{{{1^2}}}{{4.10}}.10.\sin {45^0} \approx 0,177m = 17,7cm\end{array}\)
Con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k, khối lượng m, \(\Delta l\) là độ dãn của lò xo khi ở vị trí cân bằng, g là gia tốc trọng trường. Tần số của con lắc được xác định bởi biểu thức:
Ta có:
Độ dãn của con lắc lò xo treo thẳng đứng tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k}\)
Tần số của con lắc lò xo treo thẳng đứng: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}} \)
Một lò xo có chiều dài tự nhiên l0 = 25cm được treo thẳng đứng, treo vật nặng vào dưới lò xo dài l = 27,5cm (lấy g = 10m/s2). Tần số dao động của con lắc lò xo là:
+ Ta có độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = l - {l_0} = 27,5 - 25 = 2,5cm = 0,025m\)
+ Tần số dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{10}}{{0,025}}} \approx 3,18Hz\)
Một lò xo có độ cứng \(k = 80N/m\). Một đầu của lò xo gắn vào điểm O cố định. Treo vào lò xo vật có khối lượng \(m = 100g\). Tính độ dãn của lò xo khi vật cân bằng và tần số góc dao động của con lắc.
Ta có, độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,1.10}}{{80}} = 0,0125m = 1,25cm\)
Tần số góc dao động của con lắc: \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} = \sqrt {\dfrac{{80}}{{0,1}}} = 20\sqrt 2 \approx 28,3(ra{\rm{d}}/s)\)
Treo một vật có khối lượng \({m_1}\) vào con lắc lò xo có độ cứng \(k\) thì nó dao động với tần số \({f_1}\). Nếu treo quả nặng có khối lượng \({m_2}\) vào lò xo trên thì nó dao động với tần số \({f_2}\). Khi treo cả hai vật vào lò xo thì chúng sẽ dao động với tần số:
Ta có:
\(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)
\( \to {f^2} \sim \dfrac{1}{m}\)
=> Khi treo cả hai vật vào lò xo thì tần số dao động là: \(\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}\)
Cách khác:
Ta có:
+ \({f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}} \to {m_1} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}}\)
+ \({f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_2}}}} \to {m_2} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}\)
+ \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} + {m_2}}}} \)
\(\begin{array}{l}{f^2} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{k}{{\dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}} + \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}}}\\ \to \dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}\end{array}\)
Một con lắc lò xo dao động điều hòa gồm lò xo có độ cứng k và vật có khối lượng \(m\). Khi \(m = {m_1}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_1}\), khi \(m = {m_2}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_2}\). Khi \(m = {m_1} - {m_2}\) thì tần số dao động của con lắc là:
Ta có:
\(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)
\( \to {f^2} \sim \dfrac{1}{m}\)
=> Khi treo vật \(m = {m_1} - {m_2}\) vào lò xo thì tần số dao động là: \(\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}\)
Cách khác:
Ta có:
+ \({f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}} \to {m_1} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}}\)
+ \({f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_2}}}} \to {m_2} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}\)
+ \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} - {m_2}}}} \)
\(\begin{array}{l}{f^2} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{k}{{\dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}} - \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}}}\\ \to \dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}\end{array}\)
Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng \(m\) và lò xo có độ cứng \(k\) dao động điều hòa, khi mắc thêm vào vật \(m\) một vật khác có khối lượng gấp \(8\) lần vật \(m\) thì chu kì dao động của chúng khi đó:
Chu kì dao động của hai con lắc:
+ \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)
+ \(T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{m'}}{k}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{m + 8m}}{k}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{9m}}{k}} \)
Ta có: \(\dfrac{{T'}}{T} = \sqrt 9 = 3 \to T' = 3T\)
=> Chu kì khi mắc thêm khối lượng vào vật tăng lên 3 lần
Một lò xo có độ cứng k mắc với vật nặng \({m_1}\) có chu kì dao động \({T_1} = 1,8s\). Nếu mắc lò xo đó với vật nặng \({m_2}\) thì chu kì dao động là \({T_2} = 2,4s\). Tìm tần số dao động khi ghép \({m_1}\) và \({m_2}\) với lò xo nói trên:
Ta có, chu kì dao động của vật khi ghép \({m_1}\) và \({m_2}\): \(T = \sqrt {T_1^2 + T_2^2} = \sqrt {1,{8^2} + 2,{4^2}} = 3{\rm{s}}\)
=> Tần số dao động của vật: \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{3}Hz\)
Khi gắn vật có khối lượng \({m_1} = 3kg\) vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, nó dao động với chu kì \({T_1} = 1,2s\). Khi gắn một vật khác có khối lượng \({m_2}\) vào lò xo trên nó dao động với chu kì \({T_2} = 0,6s\). Khối lượng \({m_2}\) bằng?
Chu kì dao động của vật: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)
\( \to \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} \to {m_2} = \dfrac{{{m_1}T_2^2}}{{T_1^2}} = \dfrac{{3.0,{6^2}}}{{1,{2^2}}} = 0,75kg\)
Lần lượt treo hai vật có khối lượng \({m_1}\) và \({m_2}\) vào một lò xo có độ cứng \(k = 80N\) và kích thích cho chúng dao động. Trong cùng một khoảng thời gian như nhau, vật \({m_1}\) thực hiện \(30\) dao động và \({m_2}\) thực hiện \(15\) dao động. Nếu treo cả hai vật vào lò xo thì chu kì dao động của hệ bằng \(\dfrac{\pi }{2}\). Khối lượng \({m_1}\) và \({m_2}\) lần lượt bằng bao nhiêu
Ta có: \(T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)
\(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = \dfrac{{\Delta t}}{{30}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{k}} \\{T_2} = \dfrac{{\Delta t}}{{15}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_2}}}{k}} \end{array} \right. \to \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} = \dfrac{1}{2} \to {m_2} = 4{m_1}\)
Khi treo cả hai vật:
\(\begin{array}{l}T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_1} + {m_2}}}{k}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{5{m_1}}}{k}} \\ \to {m_1} = \dfrac{{{T^2}.k}}{{4{\pi ^2}.5}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)}^2}.80}}{{4{\pi ^2}.5}} = 1kg\\ \to {m_2} = 4kg\end{array}\)
Một con lắc lò xo dao động điều hòa gồm lò xo có độ cứng \(k\) và vật có khối lượng \(m\). Khi \(k = {k_1}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_1}\), khi \(k = {k_2}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_2}\). Khi mắc nối tiếp \({k_1}\) với k2 thì tần số dao động của con lắc là:
Ta có:
\(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)
\( \to {f^2} \sim k\)
Khi mắc lò xo nối tiếp, ta có: \(\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{{{k_1}}} + \dfrac{1}{{{k_2}}}\)
Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: \(\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}\)
Một con lắc lò xo dao động điều hòa gồm lò xo có độ cứng \(k\) và vật có khối lượng \(m\). Khi \(k = {k_1}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_1}\), khi \(k = {k_2}\) thì tần số dao động của con lắc là \({f_2}\). Khi mắc song song \({k_1}\) với \({k_2}\) thì tần số dao động của con lắc là:
Ta có:
\(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)
\( \to {f^2} \sim k\)
Khi mắc lò xo song song, ta có: \(k = {k_1} + {k_2}\)
Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: \({f^2} = f_1^2 + f_2^2\)
Hai lò xo có chiều dài bằng nhau và có độ cứng tương ứng là \({k_1},{k_2}\). Khi mắc vật \(m\) vào một lò xo \({k_1}\), thì vật \(m\) dao động với chu kì \({T_1} = 0,3s\). Khi mắc vật \(m\) vào lò xo \({k_2}\), thì vật m dao động với chu kì \({T_2} = 0,4s\). Khi mắc vật \(m\) vào hệ hai lò xo \({k_1}\) song song với \({k_2}\) thì chu kì dao động của \(m\) là?
+ Khi 2 lò xo có độ cứng \({k_1},{k_2}\) ghép song song, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức: \({k_{//}} = {k_1} + {k_2}\)
+ Chu kì dao động của con lắc lò xo ghép song song:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{T^2}}} = \dfrac{1}{{T_1^2}} + \dfrac{1}{{T_2^2}}\\ \to T = \sqrt {\dfrac{{T_1^2T_2^2}}{{\left( {T_1^2 + T_2^2} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{{0,{3^2}.0,{4^2}}}{{\left( {0,{3^2} + 0,{4^2}} \right)}}} = 0,24s\end{array}\)
Hai lò xo có chiều dài bằng nhau và có độ cứng tương ứng là \({k_1},{k_2}\). Khi mắc vật \(m\) vào một lò xo \({k_1}\), thì vật \(m\) dao động với chu kì \({T_1} = 0,3s\). Khi mắc vật \(m\) vào lò xo \({k_2}\), thì vật m dao động với chu kì \({T_2} = 0,4s\). Khi mắc vật \(m\) vào hệ hai lò xo \({k_1}\) nối tiếp với \({k_2}\) thì chu kì dao động của \(m\) là?
+ Khi 2 lò xo có độ cứng \({k_1},{k_2}\) mắc nối tiếp, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức: \(\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{{{k_1}}} + \dfrac{1}{{{k_2}}}\)
+ Chu kì dao động của con lắ khi ghép nối tiếp 2 lò xo: \(T = \sqrt {T_1^2 + T_2^2} = \sqrt {0,{3^2} + 0,{4^2}} = 0,5{\rm{s}}\)
Một con lắc đơn có chiều dài \(\ell \) dao động điều hòa trong trọng trường có gia tốc trọng trường g. Tần số dao động của con lắc được tính bằng
Tần số dao động của con lắc đơn:\(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} \)
Một con lắc lò xo gồm vật nặng \(m = 100g\) và lò xo có độ cứng \(k\). Con lắc dao động điều hoà với tần số góc bằng \(10 rad/s\). Độ cứng \(k\) bằng:
Ta có, tần số góc \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}}\)
\(\Rightarrow k = m{\omega ^2} = 0,{1.10^2} = 10N/m\)
