Con lắc lò xo - Bài tập chu kì, tần số, tần số góc của con lắc lò xo

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  \to {T^2} = 4{\pi ^2}\dfrac{m}{k}$

=> Đồ thị T -  m có dạng parabol

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo

$f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}  \to m = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}{f^2}}} = \dfrac{{80}}{{4{\pi ^2}{{\left( {\dfrac{{10}}{\pi }} \right)}^2}}} = 0,2kg = 200g$

+Từ phương trình dao động của con lắc lò xo, ta có tần số góc $\omega  = 4\pi \left( {rad/s} \right)$

+ Mặt khác, ta có: $\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  \to k = m{\omega ^2} = 0,16.{\left( {4\pi } \right)^2} = 25,6N/m$

Ta có:

Độ dãn của con lắc lò xo nằm nghiêng tại vị trí cân bằng: $\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k}$

Tần số góc của con lắc: $\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{g\sin \alpha }}{{\Delta l}}}$

Ta có:

+ Độ dãn  của con lắc lò xo nằm nghiêng tại vị trí cân bằng: $\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k}$

+ Mặt khác, chu kì dao động: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}$

=> Độ dãn:

$\begin{array}{l}\Delta l = \dfrac{{mg\sin \alpha }}{k} = \dfrac{{{T^2}}}{{4{\pi ^2}}}.g\sin \alpha \\ = \dfrac{{{1^2}}}{{4.10}}.10.\sin {45^0} \approx 0,177m = 17,7cm\end{array}$

Ta có:

Độ dãn của con lắc lò xo treo thẳng đứng tại vị trí cân bằng: $\Delta l = \dfrac{{mg}}{k}$

Tần số của con lắc lò xo treo thẳng đứng: $f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}}$

+ Ta có độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: $\Delta l = l - {l_0} = 27,5 - 25 = 2,5cm = 0,025m$

+ Tần số dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng: $f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{10}}{{0,025}}}  \approx 3,18Hz$

Ta có, độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng: $\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{0,1.10}}{{80}} = 0,0125m = 1,25cm$

Tần số góc dao động của con lắc: $\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{80}}{{0,1}}}  = 20\sqrt 2  \approx 28,3(ra{\rm{d}}/s)$

Ta có:

$f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}$

$\to {f^2} \sim \dfrac{1}{m}$

=> Khi treo cả hai vật vào lò xo thì tần số dao động là: $\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}$

Cách khác:

Ta có:

+ ${f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}}  \to {m_1} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}}$

+ ${f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_2}}}}  \to {m_2} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}$

+ $f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} + {m_2}}}}$

$\begin{array}{l}{f^2} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{k}{{\dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}} + \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}}}\\ \to \dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}\end{array}$

Ta có:

$f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}$

$\to {f^2} \sim \dfrac{1}{m}$

=> Khi treo vật $m = {m_1} - {m_2}$ vào lò xo thì tần số dao động là: $\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}$

Cách khác:

Ta có:

+ ${f_1} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1}}}}  \to {m_1} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}}$

+ ${f_2} = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_2}}}}  \to {m_2} = \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}$

+ $f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{{m_1} - {m_2}}}}$

$\begin{array}{l}{f^2} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{k}{{\dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_1^2}} - \dfrac{k}{{4{\pi ^2}f_2^2}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}}}\\ \to \dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} - \dfrac{1}{{f_2^2}}\end{array}$

Chu kì dao động của hai con lắc:

+ $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}$

+ $T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{m'}}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{m + 8m}}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{9m}}{k}}$

Ta có: $\dfrac{{T'}}{T} = \sqrt 9  = 3 \to T' = 3T$

=> Chu kì khi mắc thêm khối lượng vào vật tăng lên 3 lần

Ta có, chu kì dao động của vật khi ghép ${m_1}$ và ${m_2}$:  $T = \sqrt {T_1^2 + T_2^2}  = \sqrt {1,{8^2} + 2,{4^2}}  = 3{\rm{s}}$

=> Tần số dao động của vật: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{3}Hz$

Chu kì dao động của vật: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}$

$\to \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}}}  \to {m_2} = \dfrac{{{m_1}T_2^2}}{{T_1^2}} = \dfrac{{3.0,{6^2}}}{{1,{2^2}}} = 0,75kg$

Ta có: $T = \dfrac{{\Delta t}}{N} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}$

$\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = \dfrac{{\Delta t}}{{30}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{k}} \\{T_2} = \dfrac{{\Delta t}}{{15}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_2}}}{k}} \end{array} \right. \to \dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}}}  = \dfrac{1}{2} \to {m_2} = 4{m_1}$

Khi treo cả hai vật:

$\begin{array}{l}T = 2\pi \sqrt {\dfrac{{{m_1} + {m_2}}}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{5{m_1}}}{k}} \\ \to {m_1} = \dfrac{{{T^2}.k}}{{4{\pi ^2}.5}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)}^2}.80}}{{4{\pi ^2}.5}} = 1kg\\ \to {m_2} = 4kg\end{array}$

Ta có:

$f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}$

$\to {f^2} \sim k$

Khi mắc lò xo nối tiếp, ta có: $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{{{k_1}}} + \dfrac{1}{{{k_2}}}$

Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: $\dfrac{1}{{{f^2}}} = \dfrac{1}{{f_1^2}} + \dfrac{1}{{f_2^2}}$

Ta có:

$f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}$

$\to {f^2} \sim k$

Khi mắc lò xo song song, ta có: $k = {k_1} + {k_2}$

Þ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: ${f^2} = f_1^2 + f_2^2$  

+ Khi 2 lò xo có độ cứng ${k_1},{k_2}$ ghép song song, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức: ${k_{//}} = {k_1} + {k_2}$

+ Chu kì dao động của con lắc lò xo ghép song song:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{T^2}}} = \dfrac{1}{{T_1^2}} + \dfrac{1}{{T_2^2}}\\ \to T = \sqrt {\dfrac{{T_1^2T_2^2}}{{\left( {T_1^2 + T_2^2} \right)}}}  = \sqrt {\dfrac{{0,{3^2}.0,{4^2}}}{{\left( {0,{3^2} + 0,{4^2}} \right)}}}  = 0,24s\end{array}$

+ Khi 2 lò xo có độ cứng ${k_1},{k_2}$ mắc nối tiếp, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức:  $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{{{k_1}}} + \dfrac{1}{{{k_2}}}$

+ Chu kì dao động của con lắ khi ghép nối tiếp 2 lò xo: $T = \sqrt {T_1^2 + T_2^2}  = \sqrt {0,{3^2} + 0,{4^2}}  = 0,5{\rm{s}}$

Tần số dao động của con lắc đơn:$f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}}$

Ta có, tần số góc $\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}$

$\Rightarrow k = m{\omega ^2} = 0,{1.10^2} = 10N/m$