Bài tập về phương trình sóng cơ tại một điểm trong trường giao thoa

+ Vì parabol đi qua hai nguồn A,B nên số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên parabol không phụ thuộc vào vị trí đỉnh của parabol.

Số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên parabol bằng hai lần số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên đường thẳng nối hai nguồn.

+ Phương trình sóng do nguồn A gây ra tại M, nằm trên đường thẳng chứa hai nguồn có dạng :

${u_{AM}} = 3cos(50\pi t + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda })$

+ Phương trình sóng do nguồn B gây ra tại  M, nằm trên đường thẳng chứa hai nguồn có dạng :

${u_{BM}} = 4\cos (50\pi t + \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda })$

+ Phương trình sóng do nguồn A,B gây ra tại điểm M :

${u_M} = 3\cos (50\pi t + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }) + 4\cos (50\pi t + \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda }) = acos\left( {50\pi t + \varphi } \right)$

Với : $a = \sqrt {{3^2} + {4^2} + 2.3.4.c{\rm{os}}(\dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} )$   (áp dụng công thức trong tổng hợp DĐĐH)

Để $a{\rm{ }} = {\rm{ }}5mm$ thì : $c{\rm{os}}(\dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }) = 0 \to \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}$ (1)

+ Ta có:

- Bước sóng: $\lambda  = vT = v.\dfrac{{2\pi }}{\omega } = 30.\dfrac{{2\pi }}{{50}} = 1,2cm = 12mm$

$l = 12cm = 120mm$

Từ (1), ta suy ra:

$\begin{array}{l}\dfrac{{2\pi \left( {120 - d} \right)}}{{12}} - \dfrac{{2\pi d}}{{12}} = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}\\ \leftrightarrow 20 - \dfrac{d}{3} = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)}}{2}\\ \to d = \dfrac{{117}}{2} - 3k\end{array}$

Lại có:  $0 < d < 120mm$

$\begin{array}{l}0 < d = \dfrac{{117}}{2} - 3k < 120mm\\ \to  - 20,5 < k < 19,5\end{array}$

=> Có 40 giá trị của k

Tức là có 40 điểm có biên độ bằng 5mm.

Do đó trên đường parabol trên có 80 điểm có biên độ bằng 5mm.

+ Tần số sóng: $f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{{50\pi }}{{2\pi }} = 25Hz$

+ Bước sóng $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{40}}{{25}} = 1,6cm$

+ Xét điểm M trên ${S_1}{S_2}$: S₁M = d  ($0 < d < 12cm$)

${u_{{S_{1M}}}} = 6cos(50\pi t - \frac{{2\pi d}}{\lambda }){\rm{ }}mm = 6cos(50\pi t - \frac{{5\pi d}}{4})mm$

${u_{{S_{2M}}}} = 8cos(50\pi t - \frac{{2\pi (12 - d)}}{\lambda })mm$

$= 8cos(50\pi t + \frac{{2\pi d}}{\lambda } - \frac{{24\pi }}{\lambda })mm$

$= 8cos(50\pi t + \frac{{5\pi d}}{4} - 15\pi )$ mm

$= 8cos\left( {50\pi t + \frac{{5\pi d}}{4} - \pi } \right)mm$

+ Điểm M dao động với biên độ $1{\rm{ }}cm = 10{\rm{ }}mm$ khi ${u_{S1M}}$ và ${u_{S2M}}$ vuông pha với nhau:

Ta có, độ lệch pha:

$\begin{array}{l}\Delta \varphi  = \left( {\frac{{5\pi d}}{4} - \pi } \right) - \left( { - \frac{{5\pi d}}{4}} \right) = \frac{3\pi }{2} + k\pi \\ \leftrightarrow \frac{{5\pi d}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi \\ \to d = \frac{3}{5} + \frac{{2k}}{5}\end{array}$

+ Mà 

$\begin{array}{l}0 < d = \frac{3}{5} + \frac{{2k}}{5} < 12cm\\ \leftrightarrow  - 1,5 < k < 28,5\end{array}$

=> Có $30$ giá trị của $k$

Số điểm dao động với biên độ $1cm$ trên đoạn thẳng S₁S₂ là $30$

Bước sóng: $\lambda {\rm{}} = \frac{v}{f} = \frac{{120}}{{40}} = 3cm$

Số điểm dao động cực đại trên đoạn thẳng nối hai nguồn bằng số giá trị k nguyên thỏa mãn:

${ - \frac{{AB}}{\lambda } < k < \frac{{AB}}{\lambda } \Leftrightarrow {\rm{}} - \frac{{20}}{3} < k < \frac{{20}}{3}}$

${ \Leftrightarrow {\rm{}} - 6,7 < k < 6,7 \Rightarrow k = {\rm{}} - 6; - 5;...;6}$

Để khoảng cách giữa M và đường trung trực max thì M thuộc cực đại ứng với ${k_{max}} = 6$

${d_2} - {d_1} = {k_{\max }}\lambda {\rm{}} \Leftrightarrow MB - MA = 6.3 = 18cm$

Mà $MA = AB = 20cm \Rightarrow MB = 38cm$

Ta có hình vẽ:

Áp dụng định lí hàm số cos trong tam giác MAB ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M{B^2} = M{A^2} + A{B^2} - 2.MA.AB.cos\widehat {MAB}\\ \Rightarrow cos\widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2.MA.AB}} = \frac{{{{20}^2} + {{20}^2} - {{38}^2}}}{{2.20.20}}\\ \Rightarrow cos\widehat {MAB} =  - 0,805 \Rightarrow \widehat {MAB} = 143,{6^0}\end{array}\\{ \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {MAB} - {{90}^0} = 53,{6^0}}\\{ \Rightarrow MI = AB.\sin \widehat {MAI} = 20.0,805 = 16,1cm}\\{ \Rightarrow b = MH = MI + IH = 16,1 + 10 = 26,1cm}\end{array}$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}y = AM.\sin \alpha \\x = BM.\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow x + y = \left( {AM + BM} \right).\sin \alpha  = 13.\sin \alpha$

${\left( {x + y} \right)_{\max }} = 13 \Leftrightarrow \sin \alpha  = 1 \Leftrightarrow \alpha  = {90^0}$

Vậy $M \equiv H$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {HA = \frac{{25}}{{13}}cm}\\ {HB = \frac{{144}}{{13}}cm} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {OA - OB = k\lambda }\\ {HA - HB = m\lambda } \end{array}} \right.$

$\begin{array}{l} \frac{k}{m} = \frac{{OA - OB}}{{HA - HB}} = \frac{{5 - 12}}{{\frac{{25}}{{13}} - \frac{{144}}{{13}}}} = \frac{{13}}{{17}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = - 13}\\ {m = - 17} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow OA - OB = 5 - 12 = - 13\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{7}{{13}}cm \end{array}$

Số cực đại giao thoa trên $AB$ bằng số giá trị $n$ nguyên thỏa mãn:

$\begin{array}{l} - \dfrac{{AB}}{\lambda } < n < \dfrac{{AB}}{\lambda } \Leftrightarrow  - \dfrac{{13}}{{\dfrac{7}{{13}}}} < k < \dfrac{{13}}{{\dfrac{7}{{13}}}}\\ \Leftrightarrow  - 24,1 < k < 24,1 \Rightarrow k =  - 24; - 23;...;24\end{array}$

Có $49$ giá trị của $n,$ vậy có $49$ điểm dao động với biên độ cực đại.

Xét điểm M trên AB; $AM{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}BM{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_2}$ $\left( {{\rm{ }}{d_1} > {d_2}} \right)$

Sóng truyền từ A , B đến M

 $\begin{array}{l}{u_{AM}} = acos(\omega t - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{\lambda })\\{u_{BM}} = acos(\omega t - \dfrac{{2\pi {d_2}}}{\lambda } + \varphi )\\{u_M} = 2acos(\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2})cos(\omega t - \dfrac{{\pi ({d_2} + {d_1})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2})\end{array}$

 Điểm M không dao động khi: $cos(\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2}) = 0$

 $\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \to {d_1}-{d_2} = (\dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }} + k)\lambda$

Điểm M gần trung điểm I nhất ứng với (trường hợp hình vẽ)  $k{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Ta có: $d_1-d_2=2MI=2\dfrac{\lambda}{6}=\dfrac{\lambda}{3}$

Suy ra:

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }}} \right)\lambda  = \dfrac{\lambda }{3}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \varphi  = \dfrac{{\pi }}{3}\end{array}$.

Ta có: $A = 2{\rm{a}}\left| {{\rm{cos}}\left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \frac{{\Delta d}}{\lambda }} \right)} \right|$

Vì M và N là hai điểm cực đại nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \frac{{\Delta {d_M}}}{\lambda } = k\pi \\\frac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \frac{{\Delta {d_N}}}{\lambda } = (9 + k)\pi \end{array} \right.{\rm{             }}\left( 1 \right)$

Mặt khác, ta có trên AB có 10 cực đại mà M và N là 2 cực đại gần A và B nhất và khoảng cách giữa 10 cực đại là $\frac{{9\lambda }}{2}$

Ta suy ra: $MN = \frac{{9\lambda }}{2} \leftrightarrow AB - \left( {MA + NB} \right) = \frac{{9\lambda }}{2} \leftrightarrow 29 - \left( {1,5 + 0,5} \right) = \frac{{9\lambda }}{2} \to \lambda  = 6cm$

Thay vào (1) ta được: $\frac{{\Delta \varphi }}{2} = \pi \frac{{BM - AM}}{\lambda } + k\pi  = \frac{{13}}{3}\pi  + k\pi$  

Do đó biên độ của điểm trên đường trung trực của AB là: $A = 2{\rm{a}}\left| {{\rm{cos}}\left( {\frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right| = 2.4\left| {{\rm{cos}}\left( {\frac{{13}}{3}\pi  + k\pi } \right)} \right| = 4cm$

$MN = 7\lambda  + \dfrac{{3\lambda }}{4}$ suy ra xét điểm N’ gần M nhất và $MN' = \dfrac{{3\lambda }}{4}$

+ Vậy hai điểm M và N luôn dao động vuông pha với nhau.

+ Bài toán sóng truyền trên nước có phương trình: $u(t) = {u_0}\cos (2\pi ft - \dfrac{{2\pi x}}{\lambda })$  nên biên độ sóng tại các điểm M và N một lúc nào đó sẽ bằng ${u_0}$

+ Tại thời điểm t: ${u_M} = 6mm;{u_N} =  - 8m$

Do M và N dao động vuông pha với nhau nên ta có: ${\left( {\dfrac{{{u_M}}}{{{u_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{u_N}}}{{{u_0}}}} \right)^2} = 1$

$\to {u_0} = \sqrt {u_M^2 + u_N^2}  = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = 10mm$

+ Do sóng truyền theo 1 chiều nhất định nên hai điểm M và N’ sẽ lệch pha nhau

$t = \dfrac{{3\lambda }}{{4v}} \\\Rightarrow \varphi  = \omega t = \omega \dfrac{{3\lambda }}{{4v}} = \dfrac{{2\pi 3\lambda }}{{4Tv}} = \dfrac{{3\pi }}{2}$

Vậy điểm M ở dưới tại thời điểm t và căn cứ như vậy theo chiều dương thì điểm N có pha nhanh hơn điểm N là $\dfrac{{3\pi }}{2}$ nên sóng phải truyền từ N đến M.

+ Gọi x là khoảng cách từ điểm khảo sát (M) đến điểm H ( HB =  HA = d; và MB< MA)

Phương trình sóng tại M do sóng từ A truyền tới:

${u_{AM}} = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi \left( {t - \dfrac{{d + x}}{v}} \right)} \right) = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi t - 10\pi \dfrac{{d + x}}{v}} \right)$

Phương trình sóng tại M do sóng từ B truyền tới:

${u_{BM}} = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi \left( {t - \dfrac{{d - x}}{v}} \right) + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 4c{\rm{os}}\left( {10\pi t - 10\pi \dfrac{{d - x}}{v} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$

Để sóng tại điểm M đứng yên thì 2 sóng truyền tới M phải ngược pha nhau

Do vậy ta có:

$\begin{array}{l} - 10\pi \dfrac{{d - x}}{v} + \dfrac{\pi }{2} - \left( { - 10\pi \dfrac{{d + x}}{v}} \right) = \left( {2k + 1} \right)\pi \\ \leftrightarrow 10\pi \left( {\dfrac{{d + x}}{v} - \dfrac{{d - x}}{v}} \right) + \dfrac{\pi }{2} = \left( {2k + 1} \right)\pi \\ \to 20\dfrac{x}{v} = 2k + \dfrac{1}{2}\end{array}$

Thay $v{\rm{ }} = {\rm{ }}30{\rm{ }}cm/s$ ta có phương trình:

$\begin{array}{l}20\dfrac{x}{{30}} = 2k + \dfrac{1}{2}\\ \to x = 3k + \dfrac{3}{4}\end{array}$

Để${x_{min}}$  thì $k{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ ta có: ${x_{\min }} = \dfrac{3}{4} = 0,75cm$

Do $x \le \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{25}}{2}$ ta có: $3k + \dfrac{3}{4} \le \dfrac{{25}}{2} \to k \le 3,92$

Suy ra để x_max thì $k{\rm{ }} = {\rm{ }}3$
Với $k{\rm{ }} = {\rm{ }}3$ ta có: ${x_{max}} = 3.3 + \dfrac{3}{4} = 9,75cm$

+ Bước sóng $\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{v}{{\dfrac{\omega }{{2\pi }}}} = \dfrac{{75}}{{\dfrac{{50\pi }}{{2\pi }}}} = 3cm$

+ Xét điểm M trên $A'B'$:  $\begin{array}{l}{d_1} = {\rm{ }}AM\\{d_2} = {\rm{ }}BM\end{array}$

Sóng truyền từ A, B đến M:

${u_{AM}} = 6cos(50\pi t + \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{\lambda }) = 6cos(50\pi t + \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{3}){\rm{            (1)}}$

${u_{BM}} = 8cos(50\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6} - \dfrac{{2\pi {d_2}}}{\lambda })$

$= 8cos\left( {50\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6} - \dfrac{{2\pi (12 - {d_1})}}{3}} \right)$

$= 8cos(50\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{2\pi {d_1}}}{3} - 8\pi )$

$= 8cos(10\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{2\pi {d_1}}}{3})$          (2)

${u_M} = {\rm{ }}{u_{AM}} + {\rm{ }}{u_{BM}}$ có biên độ bằng $10{\rm{ }}cm$ khi ${u_{AM}}$ và ${u_{BM}}$ vuông pha với nhau:

$\begin{array}{l}\dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{2\pi {d_1}}}{3} - \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{3}} \right) = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{4\pi {d_1}}}{3} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \to {d_1} = \dfrac{{3k}}{4}\end{array}$

Mặt khác, ta có: 

$AA' \le {d_1} \le AB'$ => $\begin{array}{l}2 \le {d_1} = \dfrac{{3k}}{4} \le 10\\ \to \dfrac{8}{3} \le k \le \dfrac{{40}}{3}\\ \to k = 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\end{array}$

Như vậy trên A’B’ có  11  điểm dao động với biên độ $10{\rm{ }}cm$

Suy ra trên đường tròn tâm O bán kính $R = 4cm$ có 22 điểm dao động với biên độ $10 cm$

Do đó trên đường tròn có $22$ điểm dao động với biện độ $10 cm$.

Bài cho hai nguồn dao động vuông  pha ($\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \pi  - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}$) nên các điểm thuộc mặt nước nằm trên đường trung trực của AB sẽ dao động với biên độ $a = 2a\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = 2.3c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = 3\sqrt 2 cm$

(vì lúc này ${d_1} = {d_2}$)

Theo giả thiết nhìn vào phương trình sóng ta thấy hai nguồn dao động ngược pha nên tại O là trung điểm của AB sẽ dao động với biên độ cực tiểu ${a_M} = 0$

+ Bước sóng: $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{60}}{{15}} = 4cm$

Cách 1:

+ Ta có biên độ dao động tại điểm M trong trường giao thoa với hai nguồn ngược pha:

${a_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 6\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{AM - BM}}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 6\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{12 - 10}}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 6cm$

Cách 2:

Ta thấy: $AM - BM = 2cm = \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\lambda$ (với k = 0)

Hai nguồn ngược pha nên điểm M dao động cực đại

Þ Biên độ dao động tổng hợp tại M: a = 6cm

Cách 1:

+ Bước sóng: $\lambda  = \frac{v}{f} = \frac{{120}}{{\frac{{50\pi }}{{2\pi }}}} = 4,8cm$

+ Ta có biên độ dao động tại một điểm bất kì trong trường giao thoa:

$a = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 10c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)$

Ta có: ${d_2} - {\rm{ }}{d_1} = {\rm{ }}2MI{\rm{ }} = {\rm{ }}6cm$

$\to {a_M} = 10\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{6}{{4,6}} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 10\left| {cos\left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right| = 5\sqrt 2 mm$

+ Bước sóng: $\lambda  = vT = v.\frac{{2\pi }}{\omega } = 30.\frac{{2\pi }}{{30\pi }} = 2cm$

+ Phương trình sóng tại 1 điểm P trên MN:

${u_{{P_1}}} = 6cos\left( {30\pi t + \frac{\pi }{6} - \frac{{2\pi {d_1}}}{\lambda }} \right)\left( {mm;s} \right)$

${u_{{P_2}}} = 8cos\left( {30\pi t - \frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi {d_2}}}{\lambda }} \right)\left( {mm;s} \right)$

Độ lệch pha: $\Delta \varphi  = \frac{\pi }{6} - \frac{{2\pi {d_1}}}{\lambda } - \left( { - \frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi {d_2}}}{\lambda }} \right) = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{2\pi \left( {{d_2} - {d_1}} \right)}}{\lambda }$

+ Khi ${A_P} = 2mm{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_2}-{\rm{ }}{A_1}$ => P trên cực tiểu giao thoa.

$\begin{array}{l} \to \Delta \varphi  = \pi  + k2\pi \\ \to \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{2\pi \left( {{d_2} - {d_1}} \right)}}{\lambda } = \pi  + k2\pi \\ \leftrightarrow \frac{2}{3} + \left( {{d_2} - {d_1}} \right) = 1 + 2k\\ \to \left( {{d_2} - {d_1}} \right) = \frac{1}{3} + 2k\end{array}$

+ Ta có P trên MN nên :

$NB - NA \le {d_2} - {d_1} \le MB - MA$  (với $MB = \sqrt {{{15}^2} + {{30}^2}}  = 15\sqrt 5 cm$)

$\begin{array}{l} =  > {\rm{ }}0 \le \frac{1}{3} + 2k \le 15\sqrt 5  - 15\\ \to  - 0,167 \le k \le 9,1\\ \to k = 0,1,...,9\end{array}$

=> 10 điểm

+ Bước sóng: $\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{v}{{\frac{\omega }{{2\pi }}}} = \dfrac{{40}}{{\dfrac{{50}}{{2\pi }}}} = 1,6cm$

+ Hai nguồn cùng pha nên trung điểm I dao động cực đại: A_max = 6 + 8 = 14 mm

$\cos \alpha  = \dfrac{A}{{{A_{\max }}}} = \dfrac{{10}}{{14}} \\\to \alpha  = 0,7751933733rad = \Delta \varphi$

Độ lệch pha giữa I và M cần tìm là $\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{\lambda }d = 0,77519 \to d = 0,197cm$

+ Bước sóng: $\lambda  = vT = v.\dfrac{{2\pi }}{\omega } = 15.\dfrac{{2\pi }}{{40}} = 0,75cm$

Hai nguồn giống nhau, nên:

Vì ${M_1}$ và ${M_2}$ nằm trên cùng một elip nên ta luôn có $A{M_1} + {\rm{ }}B{M_1} = {\rm{ }}A{M_2} + {\rm{ }}B{M_2}$

Tức là ${d_1} + {\rm{ }}{d_2} = {\rm{ }}d{'_1} + {\rm{ }}d{'_2}$

$\Delta {d_1} = {\rm{ }}{d_1}-{\rm{ }}{d_2} = A{M_1} - B{M_1} = 1\,cm$

$\begin{array}{l}{u_{{M_1}}} = 2.6\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_1}}}{\lambda }\cos (\omega t - \pi \dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda });\\{u_{{M_2}}} = 2.6\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_2}}}{\lambda }\cos (\omega t - \pi \dfrac{{d{'_1} + d{'_2}}}{\lambda });\\{d_1} + {d_2} = d{'_1} + d{'_2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{u_{M2}}}}{{{u_{M1}}}} = \dfrac{{\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_2}}}{\lambda }}}{{\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_1}}}{\lambda }}} = \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{\lambda }.3,5}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{\lambda }.1}} = \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{{0,75}}(3 + \dfrac{1}{2})}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{{0,75}}}} = \dfrac{{c{\rm{os}}(4\pi  + \dfrac{{2\pi }}{3})}}{{c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{3}}} = \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{{2\pi }}{3}}}{{c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{3}}} = 1\\ \Rightarrow {u_{M2}} = {u_{M1}} = 3mm\end{array}$

Ta có biên độ tại một điểm trong trường giao thoa:

$a = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda }} \right)} \right|$

Ta có : $\left| {MA - MB} \right| = \left| {NA - NB} \right| = AB$

=> ${a_M} = {a_N} = 4mm$

Biên độ tổng hợp tại N có giá trị bằng biên độ dao động tổng hợp tại M và bằng $4mm$.

+ Bước sóng: $\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{30}}{{30}} = 1cm$

+  Phương trình giao thoa sóng: ${u_M} = 2{\rm{acos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right){\rm{cos}}\left( {\omega t - \pi \dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }} \right)$

$\begin{array}{l}{a_M} = a\sqrt 2  \\\to 2{\rm{acos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right) =   \pm a\sqrt 2  \\\to {\rm{cos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right) =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \to \pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda } = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} \\\to {d_2} - {d_1} = \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}} \right)\lambda \end{array}$

+  M trên đoạn CD :

$\begin{array}{l}CB-CA < {d_2}-{d_1} < DB-DA\\ \leftrightarrow 12 - 12\sqrt 2  \le \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}} \right)\lambda  \le 12\sqrt 2  - 12\\ \leftrightarrow  - 10,44 \le k \le 9,44\\ \to k =  - 10, \pm 9, \pm 8, \pm 7, \pm 6, \pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1,0\end{array}$

=> 20 điểm

Cách 1: Bước sóng λ = v/f = 2 cm.

Xét điểm M trên S₁S₂: S₁M  = d ( 0 < d < 8 cm)

${u_{{S_{1M}}}} = 6cos(40\pi t - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }){\rm{ }}cm = 6cos(40\pi t - \pi d)cm$

${u_{{S_{2M}}}} = 8cos(40\pi t - \frac{{2\pi (8 - d)}}{\lambda })cm = 8cos(40\pi t + \frac{{2\pi d}}{\lambda } - \dfrac{{16\pi }}{\lambda })cm = 8cos(40\pi t + \pi d - 8\pi )cm$)

Điểm M dao động với biên độ 10 cm khi u_S1M và u_S2M vuông pha với nhau:

$2\pi d = \dfrac{\pi }{2} + {\text{ }}k\pi$

$=  > d = \dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}$ mà : $0 < d = \dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2} < 8 \to  - {\text{ }}0,5 < k < 15,5 \to 0 \leqslant k \leqslant {\text{ }}15$

=> Có 16 giá trị của k

Số điểm dao động với biên độ 1cm trên đoạn thẳng S₁S₂ là 16.

Cách 2: Cách khác nhanh hơn:

+ Số cực đại giữa hai nguồn

$- \frac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } < k < \dfrac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } \leftrightarrow  - 4 < k < 4$.

Có 7 cực đại (Nếu hai nguồn tạm xem là 2 cực đại là thì là 9 cực đại, vì nguồn là cực đại hay cực tiểu đang gây tranh cãi)

+ Số cực tiểu giữa hai nguồn

$- \dfrac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{{{S_1}{S_2}}}{\lambda }\dfrac{1}{2} \leftrightarrow  - 4,5 < k < 3,5$.

Có 8 cực tiểu

+ Biên độ Cực đại: A­_max = 6 + 8 = 14cm

+ Biên độ cực tiểu: A_min = 8 - 6 = 2cm

+ Và giữa 1 cực đại và 1 cực tiểu có điểm dao động biên độ bằng 10mm. Theo đề bài giữa hai nguồn có 9 cực đại (tạm xem) với 8 cực tiểu $\to$ có 17 vân cực trị nên có 16 vân biên độ 10cm.

+ Vì parabol đi qua hai nguồn A,B nên số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên parabol không phụ thuộc vào vị trí đỉnh của parabol. Số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên parabol bằng hai lần số điểm có biên độ bằng $5mm$ nằm trên đường thẳng nối hai nguồn.

+ Phương trình sóng do nguồn $A$ gây ra tại $M$, nằm trên đường thẳng chứa hai nguồn có dạng:

${u_{AM}} = 3cos(40\pi t + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda })$

+ Phương trình sóng do nguồn $B$ gây ra tại  $M$, nằm trên đường thẳng chứa hai nguồn có dạng :

${u_{BM}} = 4\cos (40\pi t + \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda })$

+ Phương trình sóng do nguồn $A,B$ gây ra tại điểm $M$ :

${u_M} = 3\cos (40\pi t + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }) + 4\cos (40\pi t + \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda }) = acos\left( {40\pi t + \varphi } \right)$

Với : $a = \sqrt {{3^2} + {4^2} + 2.3.4.c{\rm{os}}(\dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} )$   (áp dụng công thức trong tổng hợp ddđh)

Để $a = 5mm$ thì : $c{\rm{os}}(\dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }) = 0 \to \dfrac{{2\pi (l - d)}}{\lambda } - \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}$

Thay: $\lambda =15mm$, $l = 100mm$ và: $0 < d < 100$

Ta được:  $- 13,8 < k < 12,8$

=> Có $26$ giá trị của k tức là có $26$ điểm có biên độ bằng $5mm$.

=> Do đó trên đường parabol trên có $26.2 = 52$ điểm có biên độ bằng $5mm$.