Bài tập mạch xoay chiều RLC - có C thay đổi

Từ đồ thị ta thấy khi \({{Z}_{C}}={{Z}_{C1}}~\Rightarrow {{U}_{V1max}}={{U}_{3}}=U\) → mạch có cộng hưởng: Z_L = Z_C1

Khi đó: \({U_{V2}} = {U_C} = {U_2} \Rightarrow \frac{{U{Z_{C1}}}}{R} = {U_2}\)

Ta có: \({U_3} = 2{U_2} \Rightarrow U = 2\frac{{U.{Z_{C1}}}}{R} \Rightarrow R = 2{Z_{C1}} = 2{Z_L}\)

\( \Rightarrow {U_2} = \frac{{U{Z_{C1}}}}{R} = \frac{{U.{Z_L}}}{R} = \frac{U}{2}\)

Khi \({Z_C} = {Z_{C2}} \Rightarrow {U_{V2\max }} = {U_{C\max }} = {U_4} \Rightarrow {U_4} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2} }}{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {U_4} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2} }}{R} = \frac{{U.\sqrt {4{Z_L}^2 + {Z_L}^2} }}{{2{Z_L}}} = \frac{{U\sqrt 5 }}{2}\\ \Rightarrow \frac{{{U_2}}}{{{U_4}}} = \frac{{\frac{U}{2}}}{{\frac{{U\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \varphi  = \frac{{{Z_{LC}}}}{{R + r}} = \tan 0,525\\\tan {\varphi _2} = \frac{{{Z_{LC}}}}{r} = \tan 0,859\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{R + r}}{r} = 2 \Rightarrow R = r\)

Lấy \(R = 1 = r \Rightarrow {Z_L} = 2\)

Theo bài ta có: \({u_{AN}} \bot {u_{MB}} \Rightarrow \frac{{{Z_{{C_0}}}}}{R}.\frac{{{Z_L} - {Z_{{C_0}}}}}{r} = 1 \Rightarrow {Z_{{C_0}}} = 1.\)

Hệ số công suất của đoạn mạch \(MB\) là:

\(\cos {\varphi _{MB}} = \frac{r}{{\sqrt {{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_0}}}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = 0,71.\)

Ta có C thay đổi để U_C max, khi đó:\({U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U_R^2 + U_L^2}}{{{U_L}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{R}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{AB}}\\U_{C\max }^2 = {U^2} + U_{RL}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_L^2\\U_{C\max }^{}.{U_R} = U.{U_{RL}}\\\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{{U^2}}} + \dfrac{1}{{U_{RL}^2}}\end{array} \right.\)

=> Các phương án:

+ A, B, C – đúng

+ D – sai vì: \(\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{{U^2}}} + \dfrac{1}{{U_{RL}^2}}\)

+ Ta có, C biến thiên để \({U_L}max\) <=> xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện

Khi đó: \( \to {Z_L} = {Z_C}\)

+ Cảm kháng: \({Z_L} = \omega L = 120\pi \dfrac{1}{{2\pi }} = 60\Omega \)

\(\begin{array}{l} \to {Z_C} = 60\Omega  = \dfrac{1}{{\omega C}}\\ \to C = \dfrac{1}{{\omega {Z_C}}} = \dfrac{1}{{120\pi .60}} = 44,2\mu F\end{array}\)

Ta có: C thay đổi để U_C max, khi đó:

+ Dung kháng:

\(\begin{array}{l}{Z_C} = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_L}}} = \dfrac{{{{(20\sqrt 3 )}^2} + {{20}^2}}}{{20}} = 80\Omega \\ \to C = \dfrac{1}{{\omega {Z_C}}} = \dfrac{1}{{100\pi .80}} = \dfrac{{1,{{25.10}^{ - 4}}}}{\pi }F\end{array}\)

+ \({U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{R} = \dfrac{{\dfrac{{120\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{{(20\sqrt 3 )}^2} + {{20}^2}} }}{{20\sqrt 3 }} = 240(V)\)

Khi \(C\) thay đổi để \({U_C}max\) , khi đó, ta có: \(U \bot {U_{RL}}\)  hay 

\(\begin{array}{l}U_{C\max }^2 = {U^2} + U_{RL}^2 = {240^2} + {100^2}\\ \to {U_{{C_{max}}}} = 260(V)\end{array}\)

\( \to {U_{{0_{Cmax}}}} = 260\sqrt 2 V\)

Ta có: \(C\) biến thiên để I_max  <=> mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow {Z_C} = {Z_L} \leftrightarrow \dfrac{1}{{\omega {C_0}}} = \omega L\\ \to {C_0} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}L}}\end{array}\)

Ta có: \(C\)biến thiên để \({U_{{R_{max}}}}\)  <=> mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow {Z_C} = {Z_L} \leftrightarrow \dfrac{1}{{\omega {C_0}}} = \omega L\\ \to {C_0} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}L}}\end{array}\)

Ta có: \(C\) biến thiên để \({U_{L{C_{\min }}}}\) <=> mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow {Z_C} = {Z_L} \leftrightarrow \dfrac{1}{{\omega {C_0}}} = \omega L\\ \to {C_0} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}L}}\end{array}\)

\(C\) thay đổi để \({P_{max}}\) , khi đó, mạch xảy ra cộng hưởng

\({Z_L} = {Z_C}\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{U_{{R_{max}}}} = U\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array} \right.\)

\(C\) thay đổi để \({U_{{R_{max}}}}\) , khi đó, mạch xảy ra cộng hưởng

\({Z_L} = {Z_C}\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{U_{{R_{max}}}} = U\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array} \right.\)

C thay đổi để \({U_{Lmax}}\), khi đó mạch xảy ra cộng hưởng điện

\({Z_L} = {Z_C}\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{U_{{R_{max}}}} = U\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array} \right.\)

Ta có, điện áp hiệu dụng trên hai đầu tụ điện: \({U_C} = I.{Z_C} = \dfrac{U}{R}{Z_C} = \dfrac{U}{R}{Z_L}\) (vì \({Z_L} = {Z_C}\))

\(C\) thay đổi để mạch xảy ra cộng hưởng khi đó: \({Z_L} = {Z_C}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{U_{{R_{max}}}} = U\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array} \right.\)

A – sai vì: \({Z_{\min }} = R\)

B – sai vì: \({I_{max}} = \dfrac{U}{R}\)

C - đúng

D - sai vì khi đó u và i cùng pha với nhau \(\left( {{\varphi _u} = {\varphi _i}} \right)\)

Ta có cường độ dòng điện cực đại trong mạch có giá trị cực đại khi mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện

\( \to {I_{{\rm{0max}}}} = \dfrac{{{U_0}}}{R} = \dfrac{{120}}{{60}} = 2(A)\)

- Ta có:  C biến thiên để \({U_{Rmax}}\) khi mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện: \({Z_L} = {Z_C}\)

+ Cường độ dòng điện cực đại khi đó: \({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{R} = \dfrac{{160}}{{80}} = 2(A)\)

+ Mạch xảy cộng hưởng => u, i cùng pha \( \to {\varphi _i} = {\varphi _u} = \dfrac{\pi }{3}\left( {rad} \right)\)

- Cảm kháng: \({Z_L} = \omega L = \dfrac{1}{{2\pi }}.100\pi  = 50\Omega \)

- Hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu cuộn cảm: \({U_{0L}} = {I_0}{Z_L} = 2.50 = 100(V)\)

- Mặt khác, ta có \({u_L}\) nhanh pha hơn \(i\) một góc \(\dfrac{\pi }{2}(ra{\rm{d}})\)

\( \to {\varphi _{{u_L}}} = {\varphi _i} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{5\pi }}{6}\left( {rad} \right)\)

=> Biểu thức điện áp giữa hai đầu cuộn cảm: \({u_L} = 100c{\rm{os}}\left( {100\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6}} \right)V\)

Ta có:

+ Khi : cường độ dòng điện qua mạch cực đại

=> Khi đó mạch cộng hưởng: \({Z_{{C_1}}} = {Z_L}\)(1)

+ Khi \(C = \dfrac{{{C_1}}}{2} \to {Z_C} = 2{Z_{{C_1}}}\): thì \({U_C}max\) , khi đó ta có:

\({Z_C} = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_L}}} = 2{Z_{{C_1}}}\) (2)

Từ (1) và (2): \( \to \dfrac{{{R^2} + {Z_L}^2}}{{{Z_L}}} = 2{Z_L} \to R = {Z_L} = {Z_{{C_1}}} = 40\Omega \)

Mặt khác: \({Z_{{C_1}}} = \dfrac{1}{{\omega {C_1}}} \to \omega  = \dfrac{1}{{{Z_{{C_1}}}.{C_1}}} = \dfrac{1}{{40.\dfrac{{50}}{\pi }{{.10}^{ - 6}}}} = 500\pi (ra{\rm{d}}/s)\)

- Khi \(C = {C_1}\) :

+ Khi \(C = {C_1}\)  ta có độ lệch pha của \(u\) so với \(i\) là: \(\varphi  = 0 - \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{3}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_{{C_1}}}}}{R}\\ \leftrightarrow \tan \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{{Z_L} - {Z_{{C_1}}}}}{R}\end{array}\)

\( \to {Z_{{C_1}}} - {Z_L} = \sqrt 3 R\)  (1)

+ Công suất của mạch khi đó: \({P_1} = \dfrac{{{U^2}}}{{Z_1^2}}R = \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}}}R\)  (2)

Thay (1) vào (2), ta được: \({P_1} = \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + 3{R^2}}}R = \dfrac{{{U^2}}}{{4R}}\)  (3)

- Khi\(C = {\rm{ }}{C_2}\):

+ Khi \(C = {C_2}\)  thì công suất cực đại => Mạch xảy ra cộng hưởng \( \to {Z_L} = {Z_{{C_2}}}\)

+ Công suất khi đó: \({P_2} = \dfrac{{{U^2}}}{R}\) (4)

Lấy \(\dfrac{{\left( 3 \right)}}{{\left( 4 \right)}}\) ta được: \(\dfrac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \dfrac{1}{4} \to {P_2} = 4{P_1} = 4.200 = 800W\)

Ta có, mạch gồm cuộn dây mắc nối tiếp với tụ, trên cuộn dây tỏa nhiệt => cuộn dây không thuần cảm (có điện trở trong \(r \ne 0\) )

+ Công suất tỏa nhiệt trên cuộn dây: \({P_d} = {I^2}r = \dfrac{{{U^2}}}{{{Z^2}}}r = \dfrac{{{U^2}}}{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}r\)

\( \to {P_{{d_{max}}}}\) khi \({Z_L} = {Z_C}\)

=> Tổng trở của mạch \(Z = r\), cường độ dòng điện trong mạch \(I = \dfrac{U}{r}\)

+ Theo đầu bài, ta có:

\({U_C} = 2{U_0}\)

Mà

\({U_C} = I.{Z_C} = \dfrac{U}{r}{Z_C} = \dfrac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 r}}{Z_C} = 2{U_0}\)

\( \to {Z_C} = 2\sqrt 2 r = {Z_L}\)  (1)

+ Hiệu điện thế hiệu dụng trên hai đầu cuộn dây:

\({U_d} = I.{Z_d} = \dfrac{U}{r}\sqrt {{r^2} + Z_L^2} \) (2)

Thế (1) vào (2) ta được: \({U_d} = \dfrac{U}{r}\sqrt {{r^2} + {{\left( {2\sqrt 2 r} \right)}^2}}  = 3U = \dfrac{{3{U_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

C thay đổi để \({U_{RC}}max\) , khi đó ta có:

\({Z_C} = \dfrac{{{Z_L}}}{2}\)

Theo đầu bài, ta có: \({Z_L} = R = 80\Omega  \to {Z_C} = \dfrac{{80}}{2} = 40\Omega \)

Mặt khác: \({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} \to C = \dfrac{1}{{\omega {Z_C}}} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.40}} = \dfrac{1}{{4000\pi }}F\)

Khi \({Z_1} = {Z_2}\)

\({R^2} + {({Z_L} - {Z_{C1}})^2} = {R^2} + {({Z_L} - {Z_{C2}})^2} \to \left| {{Z_L} - {Z_{C1}}} \right| = \left| {{Z_L} - {Z_{C2}}} \right|\)

Với  \({Z_{C2}} > {Z_{C1}}\)\( \to {Z_{C1}} + {Z_{C2}} = 2{Z_L}\)