Mức năng lượng các trạng thái dừng của nguyên tử hiđrô được xác định bởi biểu thức: \({E_n} = {\rm{}} - \frac{{13,6}}{{{n^2}}}eV\) (với n = 1, 2, 3…). Khi kích thích nguyên tử hiđrô chuyển từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thích sao cho bán kính quỹ đạo dừng tăng 25 lần. Khi chuyển về quỹ đạo bên trong, nguyên tử hiđrô có thể phát ra phôtôn có bước sóng ngắn nhất bằng
+ Bán kính quỹ đạo dừng của electron \({r_n} = {\rm{ }}{n^2}{r_0}\)
+ Ở trạng thái cơ bản \(n{\rm{ }} = {\rm{ }}1\), để bán kính tăng gấp \(25\) lần \( \to n{\rm{ }} = {\rm{ }}5\)
\( \to \) Bước sóng ngắn nhất mà nguyên tử có thể phát ra ứng với sự chuyển từ mức năng lượng\({E_5}\) về \({E_1}\)
=> \({\lambda _{\min }} = \dfrac{{hc}}{{\left( {\dfrac{{13,6}}{{{1^2}}} - \dfrac{{13,6}}{{{5^2}}}} \right){{1,6.10}^{ - 19}}}} = 96,1nm\)
Xét nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bo. Lấy \({r_{0}} = {\rm{ }}{5,3.10^{ - 11}}m\) ; \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}{9.10^9}N{m^2}/c\) ,\(e{\rm{ }} = {\rm{ }}{1,6.10^{ - 19}}C\) . Khi hấp thụ năng lượng êlectron chuyển từ trạng thái cơ bản lên quỹ đạo M. Động năng của êlecton:
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{F_{ht}} = {F_{CL}} \Leftrightarrow \dfrac{{m{v^2}}}{r} = \dfrac{{k{e^2}}}{{{r^2}}}\\ = > {E_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{{k{e^2}}}{{2r}}\end{array}\\\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{E_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{{k{e^2}}}{{2r}}}\\{{E_t} = - \dfrac{{k{e^2}}}{r}}\end{array}} \right.\\ = > E = {E_d} + {E_t} = \dfrac{{k{e^2}}}{{2r}} - \dfrac{{k{e^2}}}{r} = - \dfrac{{k{e^2}}}{{2r}} = - {E_d} = - \dfrac{{{E_t}}}{2}\end{array}\\{{E_{{d_1}}} - {E_{{d_2}}} = - {E_1} - ( - {E_2}) = {E_2} - {E_1} = \dfrac{{ - 13,6}}{{{3^2}}} + 13,6 = 12,089eV}\end{array}\)
Các mức năng lượng của các trạng thái dừng của nguyên tử Hiđrô được xác định bằng biểu thức \({E_{{n_{}}}} = - \dfrac{{13,6}}{{{n^2}}}eV\)( với n= 1,2,3,…). Ở trạng thái dừng này, electron trong nguyên tử chuyển động trên quỹ đạo dừng có bán kính \({r_n} = {\rm{ }}{n^2}{r_0}\) với \({r_0}\) là bán kính Borh. Nếu một nguyên tử hiđrô hấp thụ một photôn có năng lượng \(2,856{\rm{ }}eV\) thì bán kính quỹ đạo dừng của electron trong nguyên tử đó sẽ tăng lên:
Khi nguyên tử hấp thụ photon thì nó nhảy từ mức m lên mức n.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{hf = {E_n} - {E_M} = \dfrac{{ - {E_0}}}{{{n^2}}} - \dfrac{{ - {E_0}}}{{{m^2}}} = - {E_0}.(\dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{m^2}}})}\\{ = > \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{m^2}}} = \dfrac{{21}}{{100}}}\\{ = > \dfrac{{{m^2} - {n^2}}}{{{m^2}.{n^2}}} = \dfrac{{21}}{{100}}}\\{ = > m.n = 10;{m^2} - {n^2} = 21}\\{ = > m = 5;n = 2}\end{array}\)
Tỉ số bán kính là: \(\dfrac{{{5^2}.{r_0}}}{{{2^2}.{r_0}}} = 6,25\)
Xét nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bo. Khi electron trong nguyên tử chuyển động tròn trên quỹ đạo dừng O thì có tốc độ \(\dfrac{v}{5}m/s\). Biết bán kính Bo là r0. Nếu electron chuyển động trên một quỹ đạo dừng với thời gian chuyển động hết một vòng là \(\dfrac{{128\pi {r_0}}}{v}(s)\) thì electron này đang chuyển động trên quỹ đạo?
Lực tĩnh điện giữa e và hạt nhân đóng vai trò lực hướng tâm, nên ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{k.{e^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{{m.{v^2}}}{r} = > {v^2} = \dfrac{{k.{e^2}}}{{m.r}} = > v = \sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{n^2}.{r_0}}}} = \dfrac{1}{n}.\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{r_0}}}} }\\{{v_K} = \sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{r_0}}}} }\\{{v_O} = \dfrac{1}{5}.\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{r_0}}}} = \dfrac{{{v_K}}}{5} = a( = v/5)}\\{{v_n} = \dfrac{{{v_K}}}{n} = \dfrac{{5.a}}{n} = \dfrac{v}{n}}\end{array}\)
Chu kì chuyển động của hạt e trên quỹ đạo là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{T = \dfrac{{2\pi r}}{v} = \dfrac{{2\pi .{n^2}.{r_0}}}{{\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.{n^2}.{r_0}}}} }} = \dfrac{{2\pi .{n^3}.\sqrt {m.r_0^3} }}{{e.\sqrt k }}}\\{{T_n} = \dfrac{{2\pi .{n^2}.{r_0}}}{{\dfrac{{5a}}{n}}} = \dfrac{{2\pi .{n^3}.{r_0}}}{{5a}} = \dfrac{{2\pi .{n^3}.{r_0}}}{v} = \dfrac{{128.\pi .{r_0}}}{v} = > n = 4}\end{array}\)
\(n = 4\) là quỹ đạo dừng N
Trong mẫu nguyên tử Bo, êlectron trong nguyên tử chuyển động trên các quỹ đạo dừng có bán kính \({r_{n}} = {\rm{ }}{n^2}{r_0}\) (\({r_0}\) là bán kính Bo, $n \in {N^*}$). Khi êlectron chuyển từ quỹ đạo dừng thứ m về quỹ đạo dừng thứ n thì bán kính giảm bớt \(21{r_0}\) và nhận thấy chu kỳ quay của êlectron quanh hạt nhân giảm bớt \(93,6\% \). Bán kính của quỹ đạo dừng thứ m có giá trị là:
Ta có: \({r_m} - {r_n} = 21{r_0} \leftrightarrow {m^2} - {n^2} = 21\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{F_d} = {F_{ht}} \leftrightarrow k\dfrac{{{e^2}}}{{{r^2}}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = m{\left( {\dfrac{{2\pi }}{T}} \right)^2}r\\ \to {T^2} = \dfrac{{m4{\pi ^2}}}{{k{e^2}}}{r^3}\\ \to {\left( {\dfrac{{{T_m}}}{{{T_n}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{r_m}}}{{{r_n}}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{{m^2}{r_0}}}{{{n^2}{r_0}}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}} \right)^3}{\rm{ }}\end{array}\)
Theo đề :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{T_m} - {T_n}}}{{{T_m}}} = 0,936\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{T_n}}}{{{T_m}}} = 1 - 0,936 = \dfrac{8}{{125}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{T_n}}}{{{T_m}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{8}{{125}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{n^2}}}{{{m^2}}}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{8}{{125}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{n^2}}}{{{m^2}}} = \dfrac{4}{{25}}\\ \Rightarrow {n^2} = \dfrac{4}{{25}}{m^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)
Giải (1); (2) ta có : \({m^2} - \dfrac{4}{{25}}{m^2} = 21\)
=> \(m = 5 =>{r_m} = {5^2}{r_0}=25{r_0}\)
Biết năng lượng ứng với các trạng thái dừng của nguyên tử hiđrô được tính theo biểu thức \({E_n} = {\rm{}} - \dfrac{{{E_0}}}{{{n^2}}}\) (E0 là hằng số dương, n = 1,2,3,...). Một đám nguyên tử hiđrô đang ở trạng thái cơ bản. Khi chiếu bức xạ có tần số \({f_1}\) vào đám nguyên tử này thì chúng phát ra tối đa 3 bức xạ. Khi chiếu bức xạ có tần số \({f_2} = {\rm{ }}1,08{f_1}\) vào đám nguyên tử này thì chúng phát ra tối đa là:
Khi chiếu bức xạ có tần số f1 vào vào đám nguyên tử thì chúng phát ra tối đa 3 bức xạ: \({\rm{}} \Rightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 3 \Rightarrow n = 3 \Rightarrow h{f_1} = {E_3} - {E_1}\) (1)
Khi chiếu bức xạ có tần số f2 = 1,08f1 thì: hf2 = Ex – E1 (2)
Từ (1) và (2) \({\rm{}} \Rightarrow \dfrac{{h{f_2}}}{{h{f_1}}} = \dfrac{{{E_x} - {E_1}}}{{{E_3} - {E_1}}} \Leftrightarrow 1,08 = \dfrac{{ - \frac{{{E_0}}}{{{x^2}}} - \left( { - \dfrac{{{E_0}}}{{{1^2}}}} \right)}}{{ - \dfrac{{{E_0}}}{{{3^2}}} - \left( { - \dfrac{{{E_0}}}{{{1^2}}}} \right)}} \Leftrightarrow 1,08 = \dfrac{{ - \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1}}{{ - \dfrac{{{1}}}{{{3^2}}} + 1}} \Rightarrow x = 5\)
=> Phát ra tối đa: \(\dfrac{{5\left( {5 - 1} \right)}}{2} = 10\) bức xạ.
Theo Borh, trong nguyên tử hiđro electron chuyển động tròn quanh hạt nhân trên các quỹ đạo dừng dưới tác dụng của lực hút tĩnh điện. Chuyển động có hướng các điện tích qua một tiết diện là một dòng điện vì thế chuyển động của electron quanh hạt nhân là các dòng điện – gọi là dòng điện nguyên tử. Khi electron chuyển động trên quỹ đạo L thì dòng điện nguyên tử có cường độ I1, khi electron chuyển động trên quỹ đạo N thì dòng điện nguyên tử có cường độ là I2. Tỉ số I1/I2 là.
Trong nguyên tử Hidro chỉ có 1 proton và 1 electron chuyển động quanh hạt nhân, lực điện đóng vai trò lực hướng tâm. Ta có: \(F = \dfrac{{k.\left| {q.e} \right|}}{{{r^2}}} = \dfrac{{m.{v^2}}}{r}{\rm{ }} = > v = \sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.r}}} {\rm{ }}\)
Mặt khác, dòng điện là dòng điện tích dịch chuyển có hướng và có công thức xác định bằng điện lượng chuyển qua một tiết diện dây dẫn trong một đơn vị thời gian.
\(I = \dfrac{{\Delta q}}{{\Delta t}} = \dfrac{{n.e}}{t}\)
Với hạt electron, chuyển động tron đều quanh hạt nhân với tốc độ v. điện lượng chuyển qua trong 1 giây tỉ lệ với số lượt e chuyển động 1 vòng quanh hạt nhân.
=>\(I = \dfrac{{n.e}}{t} = f.e = \dfrac{1}{T}.e = \dfrac{1}{{\dfrac{s}{v}}}.e = \dfrac{v}{s}.e = \dfrac{v}{{2\pi r}}.e = \dfrac{1}{{2\pi r}}.\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m.r}}} .e\)
Các quỹ đạo K, L, M, N ứng với các số thứ tự : n =1,2,3,4. Mà bán kính quỹ đạo được xác định là : \({r_n} = {n^2}.{R_0}\)
Thay các giá trị với quỹ đạo L và quỹ đạo N vào biểu thức, lập tỉ số ta tìm được tỉ số:
\(\begin{array}{l}{I_1} = \dfrac{1}{{2\pi {{.2}^2}.{R_0}}}.\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m{{.2}^2}.{R_0}}}} .e\\{I_2} = \dfrac{1}{{2\pi {{.4}^2}.{R_0}}}.\sqrt {\dfrac{{k.{e^2}}}{{m{{.4}^2}.{R_0}}}} .e = > \dfrac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \dfrac{{{4^2}.\sqrt {{4^2}} }}{{{2^2}.\sqrt {{2^2}} }} = 8\end{array}\)
Xét nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bo. Khi êlectron chuyển động trên quỹ đạo tròn thì tương đương như một dòng điện tròn. Tỉ số cường độ dòng điện tròn của êlectron khi nguyên tử ở quỹ đạo dừng M và K là:
Các electron chuyển động tròn dưới tác dụng của lực Culong
Ta có \(\dfrac{{k{e^2}}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r \Rightarrow \omega {\rm{}} = \sqrt {\dfrac{{k{e^2}}}{{mr}}} \)
Khi ta coi chuyển động của electron giống như một dòng điện tròn thì cường độ dòng điện tròn được tính theo công thức \(I = \dfrac{e}{T} = \dfrac{e}{{2\pi }}\omega {\rm{}} = \dfrac{e}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{k{e^2}}}{{mr}}} \)
Do đó ta có tỉ số cường độ dòng điện khi electron chuyển động trên quỹ đạo dừng M (n = 3) và K (n = 1) là \(\dfrac{{{I_M}}}{{{I_K}}} = \sqrt {\dfrac{{{r_K}}}{{{r_M}}}} {\rm{}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{3^2}}}} {\rm{}} = \dfrac{1}{3}\)
Một ống Rơn-ghen trong mỗi giây bức xạ ra \(N{\rm{ }} = {\rm{ }}{3.10^{14}}\) phôtôn. Những phôtôn có năng lượng trung bình ứng với bước sóng \({10^{ - 10}}m\) . Hiệu điện thế đặt vào hai đầu ống là \(50kV\). Cường độ dòng điện chạy qua ống là \(1,5{\rm{ }}mA\). Người ta gọi tỉ số giữa năng lượng bức xạ dưới dạng tia Rơn-ghen và năng lượng tiêu thụ của ống Rơn-ghen là hiệu suất của ống. Hiệu suất này xấp xỉ bằng:
Ta có công suất tiêu thụ của ống là: \({P_{tt}} = U.I = {50.10^3}{.1,5.10^{ - 3}} = 75W\)
Công suất của ống là: \({P_{RG}} = {3.10^{14}}.\dfrac{{hc}}{\lambda } = {3.10^{14}}.\dfrac{{{{6,625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{{{{10}^{ - 10}}}} = 0,59625W\)
Vậy hiệu suất của ống là: \(H = \frac{{{P_{RG}}}}{{{P_{tt}}}}.100\% {\rm{}} = \frac{{0,59625}}{{75}}.100\% {\rm{}} = 0,8\% \)
Khi electron ở các quỹ đạo bên ngoài chuyển về quỹ đạo \(K\), các nguyên tử Hiđro phát ra các photon mang năng lượng từ \(10,2eV\) đến \(13,6eV\). Lấy \(h = {6,625.10^{ - 34}}J.s\), \(c = {3.10^8}m/s\), \(e = {1,6.10^{ - 19}}C\). Khi các electron ở các quỹ đạo bên ngoài chuyển về quỹ đạo \(L\), các nguyên từ phát ra các photon có bước sóng lớn nhất ứng với bước sóng
Ta có: \(\dfrac{{hc}}{\lambda } = \Delta E\)
=> \(\lambda \) lớn nhất tương ứng với nhỏ nhất <=> electron chuyển từ mức M về mức L
\(\dfrac{{hc}}{\lambda } = {E_3} - {E_2} = \dfrac{{{{13,6.1,6.10}^{ - 19}}}}{{{2^2}}} - \frac{{{{13,6.1,6.10}^{ - 19}}}}{{{3^2}}} \Rightarrow \lambda {\rm{ }} = {6,576286.10^{ - 7}}m\)
Xét nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bo, khi êlectron trong nguyên tử chuyển động tròn đều trên quỹ đạo dừng M thì có tốc độ v (m/s). Biết bán kính Bo là r0. Nếu êlectron chuyển động trên một quỹ đạo dừng với thời gian chuyển động hết một vòng là \(\dfrac{{144\pi .{r_0}}}{v}\) (s) thì êlectron này đang chuyển động trên quỹ đạo
Khi electron chuyển động trên các quỹ đạo dừng khác nhau thì lực Cu-lông đóng vai trò là lực hướng tâm.
Do đó ta có \(\dfrac{{m{v^2}}}{r} = \dfrac{{k{q^2}}}{{{r^2}}} = > v = \left| q \right|\sqrt {\dfrac{k}{{mr}}} \)
Ta suy ra: \(v = \dfrac{{\left| q \right|}}{n}\sqrt {\dfrac{k}{{m{r_0}}}} \)
Vận tốc trên quỹ đạo M: \({v_M} = \dfrac{{\left| q \right|}}{{{n_M}}}\sqrt {\dfrac{k}{{m{r_0}}}} \)
*Thời gian electrôn chuyển động hết 1 vòng chính là chu kì (Xét trên quỹ đạo dừng bất kì nào đó ta chưa biết).
\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{2\pi r}}{v} = \dfrac{{144\pi {r_0}}}{{{v_M}}}\\ \Leftrightarrow {n^2}{r_0} = \dfrac{v}{{{v_M}}}.72{r_0}\\ \Leftrightarrow {n^2} = \dfrac{{{n_M}}}{n}.72\\ \Rightarrow {n^3} = 72{n_M} = 72.3\\ \Rightarrow n = 6\end{array}\)
\(n{\rm{ }} = {\rm{ }}6\) tương ứng với electron chuyển động trên quỹ đạo P
Một điện tích \(Q\) bằng kim loại có khối lượng \(10 g\) đang đứng yên trong khoảng chân không có điện trường đều, vecto cường độ điện trường \(E\) có phương thẳng đứng hướng xuống. Chiếu vào \(Q\) chùm bức xạ điện từ sao cho xảy ra hiện tượng quang điện trong khoảng thời gian rất ngắn, sau đó \(Q\) chuyển động nhanh dần đều đi xuống với gia tốc \(5,6 m/s^2\). Coi độ lớn cường độ điện trường luôn bằng \({10^4}V/m\) và lấy \(e=1,{6.10^{ - 19}}J\). Số electron bật ra và dấu ban đầu của Q là
+ Ban đầu điện tích đứng yên \(\to \) Lực điện thẳng đứng hướng lên, \(\vec E\) thẳng đứng hướng xuống \( \to \) \(\vec F \uparrow \downarrow \vec E \to Q < 0\)
+ Khi xảy xa hiện tượng quang điện trong thời gian rất ngắn \( \to \) Độ lớn lực \(\vec F\) giảm (và F < P) nhưng chiều của lực điện và dấu của điện tích không đổi \( \to \) Q’ chuyển động nhanh dần đều đi xuống với độ lớn gia tốc: \(a = \dfrac{{mg - \left| {Q'} \right|E}}{m} = \underbrace g_{10(m/{s^2})} - \dfrac{{\left| {Q'} \right|E}}{m} = 5,6 \to \left| {Q'} \right| = 0,{44.10^{ - 5}}(C).\)
+ Ta có: \(\left| {Q'} \right| = \left| Q \right| - ne \\\to n = \dfrac{{\left| Q \right| - \left| {Q'} \right|}}{e} = 3,{5.10^{13}}(electron)\)
