Bài tập về phương trình sóng cơ tại một điểm trong trường giao thoa

Câu 21 Trắc nghiệm

Trong một thí nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước, có hai nguồn kết hợp A và B dao động cùng pha, cùng biên độ a, tần số 20Hz, cách nhau 10cm. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước 30cm/s, coi biên độ song không đổi trong quá trình truyền. Gọi C và D là hai điểm trên mặt nước sao cho ABCD là hình vuông. Số điểm dao động với biên độ $a\sqrt 2 $  trên đoạn CD là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

λ = 1,5cm

* Phương trình giao thoa sóng: \({u_M} = 2{\rm{acos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right){\rm{cos}}\left( {\omega t - \pi \dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda }} \right)\)

\(\begin{array}{l}{a_M} = a\sqrt 2  \to 2{\rm{acos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right) =  \pm a\sqrt 2  \to {\rm{cos}}\left( {\pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda }} \right) =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \to \pi \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda } = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} \to {d_2} - {d_1} = \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}} \right)\lambda \end{array}\)

* M trên đoạn CD :

\(\begin{array}{l}CB-CA < {d_2}-{d_1} < DB-DA \leftrightarrow 10 - 10\sqrt 2  \le \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}} \right)\lambda  \le 10\sqrt 2  - 10\\ \leftrightarrow  - 6,02 \le k \le 5,02\\ \to k =  - 6, \pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1,0\end{array}\)

=> 12 điểm

Câu 22 Trắc nghiệm

Hai nguồn sóng kết hợp A và B cùng tần số, cùng biên độ và cùng pha. Coi biên độ sóng không đổi. Điểm M, A, B, N theo thứ tự thẳng hàng. Nếu biên độ dao động tổng hợp tại M có giá trị là 6mm, thì biên độ dao động tổng hợp tại N có giá trị:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có biên độ tại một điểm trong trường giao thoa:

\(a = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \frac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda }} \right)} \right|\)

Ta có : \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {NA - NB} \right| = AB\)

=> aM = aN = 6mm

Biên độ tổng hợp tại N có giá trị bằng biên độ dao động tổng hợp tại M và bằng 6mm.

 

Câu 23 Trắc nghiệm

Hai nguồn sóng kết hợp A, B trên mặt thoáng của chất lỏng dao động theo phương trình

${u_A} = {u_B} = 4c{\text{os}}(10\pi t)\,mm.$ Coi biên độ sóng không đổi, tốc độ sóng v = 15cm/s. Hai điểm ${M_1},{M_2}$ cùng nằm trên một elip nhận A, B làm tiêu điểm có $A{M_1} - B{M_1} = 1\,cm$ và $A{M_2} - B{M_2} = 3,5\,cm.$ Tại thời điểm li độ của M1 là 3mm thì li độ của M2 tại thời điểm đó là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hai nguồn giống nhau, có \(\lambda  = 3cm\) nên

Vì M1 và M2 nằm trên cùng một elip nên ta luôn có AM1 + BM1 = AM2 + BM2

Tức là d1 + d2 = d’1 + d’2

\(\Delta {d_1} = {\rm{ }}{d_1}-{\rm{ }}{d_2} = A{M_1} - B{M_1} = 1\,cm\)

$\Delta {d_2} = {\text{ }}d{_1}-{\text{ }}d{_2} = A{M_2} - B{M_2} = 3,5\,cm.$

\(\begin{array}{l}{u_{M1}} = 2.4\cos \pi \frac{{\Delta {d_1}}}{\lambda }\cos (\omega t - \pi \frac{{{d_1} + {d_2}}}{\lambda });{u_{M2}} = 2.4\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_2}}}{\lambda }\cos (\omega t - \pi \dfrac{{d{'_1} + d{'_2}}}{\lambda });{d_1} + {d_2} = d{'_1} + d{'_2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{u_{M2}}}}{{{u_{M1}}}} = \dfrac{{\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_2}}}{\lambda }}}{{\cos \pi \dfrac{{\Delta {d_1}}}{\lambda }}} = \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{\lambda }.3,5}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{\lambda }.1}} = \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}(3 + \dfrac{1}{2})}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}}} = \dfrac{{c{\rm{os}}(\pi  + \dfrac{\pi }{6})}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}}} =  - \dfrac{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{6}}}{{c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{3}}} =  - \sqrt 3  \Rightarrow {u_{M2}} =  - \sqrt 3 {u_{M1}} =  - 3\sqrt 3 mm\end{array}\)

Câu 24 Trắc nghiệm

Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình uA = 6cos40πt và uB = 8cos(40πt) (uA và uB tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Trên đoạn thẳng S1S2, điểm dao động với biên độ 1cm và cách trung điểm của đoạn S1S2 một đoạn gần nhất là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Cách  1: Bước sóng l = v/f = 2 cm., I là trung điểm của S1S2

Xét điểm M trên S1S2: IM  = d

\({u_{{S_{1M}}}} = 6cos(40\pi t - \dfrac{{2\pi (\dfrac{{{S_1}{S_2}}}{2} + d)}}{\lambda }) = 6cos(40\pi t - \pi d - \dfrac{{{S_1}{S_2}}}{2}\pi ){\rm{ }}mm\)

\({u_{{S_{2M}}}} = 8cos(40\pi t - \dfrac{{2\pi (\dfrac{{{S_1}{S_2}}}{2} - d)}}{\lambda }) = 8cos(40\pi t + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda } - \dfrac{{8\pi }}{\lambda }){\text{ }}mm = 8cos(40\pi t + \pi d - \dfrac{{{S_1}{S_2}}}{2}\pi ){\text{ }}mm.\)

- Điểm M dao động với biên độ 1 cm = 10 mm khi uS1M và uS2M vuông pha với nhau:

\(2\pi d = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  =  > d = \frac{1}{4} + \dfrac{k}{2}\)

d = dmin  khi k = 0  => dmin = 0,25 cm .

Cách 2: Hai nguồn cùng pha nên trung điểm I dao động cực đại:

 Amax = 6 + 8 = 14mm

\(\cos \alpha  = \dfrac{A}{{{A_{\max }}}} = \dfrac{{10}}{{14}} \to \alpha  = 0,7751933733rad\)=$\varphi $

Độ lệch pha giữa I và M cần tìm là

\(\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{\lambda }d = 0,7751933733 \to d = 0,247cm\)

Câu 25 Trắc nghiệm

Cho hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước trên mặt nước u1 = 6cos(10πt + π/3) (mm; s) và u2 = 2cos(10πt – π/2) (mm; s) tại hai điểm A và B cách nhau 30 cm. Cho tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10 cm/s; Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Điểm C trên mặt nước sao cho ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Số điểm dao động với biên độ 4 mm trên đường trung bình song song cạnh AB của tam giác ABC là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

λ = 2cm

* Phương trình sóng tại 1 điểm P trên MN:

            uP1 = 6cos(10πt + π/3 – 2πd1/λ) (mm)

            uP2 = 2cos(10πt – π/2 – 2πd2/λ) ) (mm)

            Δ$\varphi $ = π/3 – 2πd1/λ + π/2 + 2πd2/λ = 5π/6 + 2π(d2 – d1)/λ

* Khi AP = 4mm = A1 – A2 => P trên cực tiểu giao thoa.

            =>  Δ$\varphi $ = π + 2kπ  => 5π/6 + 2π(d2 – d1)/λ = π + 2kπ

            => d2 – d1 = (1/12 + k)λ

* Ta có P trên MN nên :

NB – NA £ d2 – d1 £ MB - MA   (với \(MB = \sqrt {{{15}^2} + {{30}^2}}  = 15\sqrt 5 \))

\(\begin{array}{l} =  > {\rm{ }}0 \le \left( {\dfrac{1}{{12}}{\rm{ }} + {\rm{ }}k} \right)2 \le 15\sqrt 5  - 15 \to  - 0,1 \le k \le 9,2\\ \to k = 0,1,...,9\end{array}\)

=> 10 điểm

Câu 26 Trắc nghiệm

Ở bề mặt một chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp S1 và S2 cách nhau 20cm. Hai nguồn này dao động theo phương thẳng đứng có phương trình lần lượt là u1 = 5cos40πt (mm) và u2=5cos(40πt + π) (mm). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 80 cm/s. Xét các điểm trên S1S2 . Gọi I là trung điểm của S1S2 ; M nằm cách I một đoạn 3cm sẽ dao động với biên độ:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Cách 1:

Bước sóng: \(\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{80}}{{\dfrac{{40\pi }}{{2\pi }}}} = 4cm\)

Ta có biên độ dao động tại một điểm bất kì trong trường giao thoa:

\(a = 2A\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right| = 10c{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có: d2 - d1 = 2MI = 6cm

\( \to {a_M} = 10\left| {c{\rm{os}}\left( {\pi \dfrac{6}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right| = 10mm\)

 

Cách 2: Hai nguồn ngược pha, trung điểm I dao động cực tiểu λ = 4cm.

 Điểm cách I đoạn 2cm là nút, điểm cách I đoạn 3cm là bụng => biên độ cực đại A =2a =10 cm.

Câu 27 Trắc nghiệm

Trên mặt nước có hai nguồn phát sóng kết hợp A, B có cùng biên độ \(a = 2(cm)\), cùng tần số \(f = 20(Hz)\), ngược pha nhau. Coi biên độ sóng không đổi, vận tốc sóng \(v = 80(cm/s)\). Biên độ dao động tổng hợp tại điểm M có \(AM = 12(cm)\), \(BM = 10(cm)\) là: 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước sóng:

$\lambda  = \dfrac{v}{f} = \dfrac{{80}}{{20}} = 4cm$

Cách 1:

Ta có biên độ dao động tại điểm M trong trường giao thoa với hai nguồn ngược pha:

\({a_M} = 2A\left| {c{\text{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right| = 4|c{\text{os}}\left( {\pi \dfrac{{AM - BM}}{\lambda } + \dfrac{\pi }{2}} \right)| = 4|c{\text{os}}\left( {\pi \dfrac{2}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)| = 4cm\)

Cách 2:

\(AM - BM = 2cm = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \) (với k = 0) 

Hai nguồn ngược pha nên điểm M dao động cực đại

=> Biên độ dao động tổng hợp tại M: \(a = 4(cm)\)

Câu 28 Trắc nghiệm

Tại hai điểm A, B trong môi trường truyền sóng có hai nguồn kết hợp dao động cùng phương với phương trình lần lượt là : ${u_A} = a.cos(\omega t)(cm)$ và ${u_B} = a.cos(\omega t + \pi )(cm)$. Biết vận tốc và biên độ do mỗi nguồn truyền đi không đổi trong quá trình truyền sóng. Trong khoảng giữa Avà B có giao thoa sóng do hai nguồn trên gây ra. Phần tử vật chất tại trung điểm O của đoạn AB dao động với biên độ bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Theo giả thiết nhìn vào phương trình sóng ta thấy hai nguồn dao động ngược pha nên tại O là trung điểm của AB sẽ dao động với biên độ cực tiểu ${a_M} = 0$

Câu 29 Trắc nghiệm

Trên mặt nước có hai nguồn A, B dao động lần lượt theo phương trình ${u_A} = a.cos(\omega t + \dfrac{\pi }{2})(cm)$ và ${u_B} = a.cos(\omega t + \pi )(cm)$. Coi vận tốc và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Các điểm thuộc mặt nước nằm trên đường trung trực của đoạn AB sẽ dao động với biên độ:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bài cho hai nguồn dao động vuông  pha

($\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \pi  - \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{2}$)

nên các điểm thuộc mặt nước nằm trên đường trung trực của AB sẽ dao động với biên độ

$a = 2a\left| {c{\text{os}}\left( {\pi \dfrac{{{d_1} - {d_2}}}{\lambda } + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right| = 2ac{\text{os}}\dfrac{\pi }{4} = a\sqrt 2 $ (vì lúc này ${d_1} = {d_2}$)

Câu 30 Trắc nghiệm

Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 10 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là uA = 3cos(40πt + π/6) cm; uB = 4cos(40πt + 2π/3) cm. Cho biết tốc độ truyền sóng là 40 cm/s. Một đường tròn có tâm là trung điểm của AB, nằm trên mặt nước, có bán kính R = 4cm. Số điểm dao động với biên độ 5 cm có trên đường tròn là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Bước sóng λ = v/f =  2 (cm)

Xét điểm M trên A’B’:  d1 = AM;  d2 = BM

Sóng truyền từ A, B đến M:

\({u_{AM}} = 3cos(10\pi t + \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{\lambda }) = 3cos(10\pi t + \dfrac{\pi }{6} - \pi {d_1}){\text{            (1)}}\)

\(\begin{gathered}{u_{BM}} = 4cos(10\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{2\pi {d_2}}}{\lambda }) = 4cos\left( {10\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{2\pi (10 - {d_1})}}{\lambda }} \right) = 4cos(10\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi {d_1} - 10\pi ) \hfill \\ = 4cos(10\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi {d_1}){\text{       (2)}} \hfill \\\end{gathered} \)

uM = uAM + uBM có biên độ bằng 5 cm khi uAM và uBM vuông pha với nhau:

\(\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi {d_1} - \dfrac{\pi }{6} + \pi {d_1} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \to {d_1} = \dfrac{k}{2}\)

\(1 \leqslant {d_1} = \dfrac{k}{2} \leqslant 9 \to 2 \leqslant k \leqslant 18\)

Như vậy trên A’B’ có 17 điểm dao động với biên độ 5 cm trong đó có điểm A’ và B’.

Suy ra trên đường tròn tâm O bán kính \(R = 4cm\) có 32 điểm dao động với biên độ \(5 cm\)

Do đó trên đường tròn có 32 điểm dao động với biện độ \(5 cm\).

Câu 31 Trắc nghiệm

Hai nguồn phát sóng kết hợp A, B trên mặt thoáng của một chất lỏng dao động theo phương trình \({u_A} = 6.\cos (20\pi t)mm\); \({u_B} = 6\cos (20\pi t + \pi /2)mm\). Coi biên độ sóng không giảm theo khoảng cách,  tốc độ sóng v = 30cm/s . Khoảng cách giữa hai nguồn AB = 20cm. H là trung điểm của AB, điểm đứng yên trên đoạn AB gần H nhất và xa H nhất cách H một đoạn bằng bao nhiêu ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi x là khoảng cách từ điểm khảo sát (M) đến điểm H ( HB =  HA = d; và MB< MA)

Phương trình sóng tại M do sóng từ A truyền tới:

${u_{AM}} = 6c{\text{os}}\left( {20\pi \left( {t - \dfrac{{d + x}}{v}} \right)} \right) = 6c{\text{os}}\left( {20\pi t - 20\pi \dfrac{{d + x}}{v}} \right)$

Phương trình sóng tại M do sóng từ B truyền tới:

${u_{BM}} = 6c{\text{os}}\left( {20\pi \left( {t - \dfrac{{d - x}}{v}} \right) + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 6c{\text{os}}\left( {20\pi t - 20\pi \dfrac{{d - x}}{v} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$

Để sóng tại điểm M đứng yên thì 2 sóng truyền tới M phải ngược pha nhau

Do vậy ta có:

$\begin{gathered}- 20\pi \dfrac{{d - x}}{v} + \dfrac{\pi }{2} - \left( { - 20\pi \dfrac{{d + x}}{v}} \right) = \left( {2k + 1} \right)\pi  \hfill \\\leftrightarrow 20\pi \left( {\dfrac{{d + x}}{v} - \dfrac{{d - x}}{v}} \right) + \dfrac{\pi }{2} = \left( {2k + 1} \right)\pi  \hfill \\\to 40\dfrac{x}{v} = 2k + \dfrac{1}{2} \hfill \\\end{gathered} $

Thay v = 30 cm/s ta có phương trình: \(\dfrac{{4x}}{3} = 2k + \dfrac{1}{2} \to x = \dfrac{{3k}}{2} + \dfrac{3}{8}\)

Để xmin  thì k = 0 ta có: x = 3/8 = 0,375cm

Do x 10cm ta có 3k/2 +3/8 10 Suy ra k  6,4( k nguyên):  Để xmax thì k = 6
Với k = 6 ta có:  xmax = 3.6/2 + 3/8 = 9,375 cm

Câu 32 Trắc nghiệm

Sóng truyền trên mặt nước hai điểm M và N cách nhau \(5,75\lambda \) trên cùng một phương truyền sóng. Tại thời điểm nào đó thì li độ sóng tại M và N là \({u_M} = 3mm\) đang đi lên; \({u_N} =  - 4mm\). Coi biên độ sóng không đổi. Xác định biên độ sóng tại M và chiều truyền sóng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(MN = 5\lambda  + \dfrac{{3\lambda }}{4}\) suy ra xét điểm N’ gần M nhất và \(MN' = \dfrac{{3\lambda }}{4}\).

Vậy hai điểm M và N luôn dao động vuông pha với nhau.

Bài toán sóng truyền trên nhước có phương trình: \(u(t) = {u_0}\cos (2\pi ft - \dfrac{{2\pi x}}{\lambda })\) nên biên độ sóng tại các điểm M và N một lúc nào đó sẽ bằng \({u_0}\).

Tại thời điểm t: \({u_M} = 3mm;{u_N} =  - 4mm\)

Do M và N dao động vuông pha với nhau nên ta có: \({\left( {\dfrac{{{u_M}}}{{{u_0}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{u_N}}}{{{u_0}}}} \right)^2} = 1\)

\( \to {u_0} = \sqrt {u_M^2 + u_N^2}  = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5mm\)

Do sóng truyền theo 1 chiều nhất định nên hai điểm M và N’ sẽ lệch pha nhau \(t = \dfrac{{3\lambda }}{{4.v}} \Rightarrow \varphi  = \omega .t = \omega .\dfrac{{3\lambda }}{{4.v}} = \dfrac{{2\pi .3.\lambda }}{{4.T.v}} = \dfrac{{3\pi }}{2}\)

Vậy điểm M ở dưới tại thời điểm t và căn cứ như vậy theo chiều dương thì điểm N có pha nhanh hơn điểm M là \(\dfrac{{3\pi }}{2}\) nên sóng phải truyền từ N đến M.

Câu 33 Trắc nghiệm

Người ta thực hiện  giao thoa trên mặt nước với 2 nguồn kết hợp A,B dao động thẳng đứng. cùng tần số, cùng biên độ a = 2 cm. AB = 20cm . Số điểm dao động cực đại trên AB là 10, hai trong số đó là M, N ở gần A và B nhất, MA = 1,5 cm, NB = 0,5 cm. Biên độ của 1 điểm trên đường trung trực của AB:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có:

\(A = 2{\rm{a}}\left| {{\rm{cos}}\left( {\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \dfrac{{\Delta d}}{\lambda }} \right)} \right|\)

Vì M và N là hai điểm cực đại nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \dfrac{{\Delta {d_M}}}{\lambda } = k\pi \\\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} - \pi \dfrac{{\Delta {d_N}}}{\lambda } = (9 + k)\pi \end{array} \right.\)

Mặt khác, ta có trên AB có 10 cực đại mà M và N là 2 cực đại gần A và B nhất và khoảng cách giữa 10 cực đại là \(\frac{{9\lambda }}{2}\)

Ta suy ra:

\(MN = \frac{{9\lambda }}{2} \Leftrightarrow AB - \left( {MA + NB} \right) = \frac{{9\lambda }}{2}\)

\( \Leftrightarrow 20 - \left( {1,5 + 0,5} \right) = \frac{{9\lambda }}{2} \Leftrightarrow \lambda  = 4\)

Suy ra: \(\frac{{\Delta \varphi }}{2} = \pi \frac{{BM - AM}}{\lambda } + k\pi  = \frac{{20 - 1,5 - 1,5}}{4} + k\pi  = \frac{{17}}{4}\pi  + k\pi \)

Do đó biên độ của điểm trên đường trung trực của AB là:

\(A = 2{\rm{a}}\left| {{\rm{cos}}\left( {\dfrac{{\Delta \varphi }}{2}} \right)} \right| = 2.2\left| {{\rm{cos}}\left( {\dfrac{{17}}{4}\pi  + k\pi } \right)} \right| = 2\sqrt 2 cm\)

Câu 34 Trắc nghiệm

Hai nguồn song kết hợp A và B dao động theo phương trình \(u_A=a\cos(\omega t)\) \({u_B} = a\cos (\omega t + \varphi )\). Biết điểm không dao động gần trung điểm I của AB nhất một đoạn \(\dfrac{\lambda }{3}\). Tìm \(\varphi \)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Xét điểm M trên AB; \(AM{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}BM{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_2}\left( {{\rm{ }}{d_1} > {\rm{ }}{d_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{d_1} = AM = \dfrac{{AB}}{2} + IM\\{d_2} = BM = \dfrac{{AB}}{2} - IM\end{array} \right.\\ \Rightarrow {d_1} - {d_2} = AM - BM = 2IM = \dfrac{{2\lambda }}{3}\end{array}\)

Sóng truyền từ A , B đến M

 \(\begin{array}{l}{u_{AM}} = acos(\omega t - \dfrac{{2\pi {d_1}}}{\lambda });{u_{BM}} = acos(\omega t - \dfrac{{2\pi {d_2}}}{\lambda } + \varphi )\\{u_M} = 2acos(\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2})cos(\omega t - \dfrac{{\pi ({d_2} + {d_1})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2})\end{array}\)

 Điểm M không dao động khi: \(cos(\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2}) = 0\)

 \(\dfrac{{\pi ({d_1} - {d_2})}}{\lambda } + \dfrac{\varphi }{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \to {d_1}-{d_2} = (\dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }} + k)\lambda \)

Điểm M gần trung điểm I nhất ứng với (trường hợp hình vẽ)  k = 0

\(\begin{array}{l}(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }})\lambda  = \dfrac{{2\lambda }}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} - \dfrac{\varphi }{{2\pi }} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\end{array}\).

Câu 35 Trắc nghiệm

Hai nguồn s1 và s2 cách nhau 4cm dao động với pt u1 = 6cos(100πt + 5π/6)(mm) và
u2 = 8cos(100πt + π/6) (mm) với λ = 2cm Gọi P,Q là hai điểm trên mặt nước sao cho tứ giác S1S2PQ là hình thang cân có diện tích 12cm2 và PQ = 2cm là một đáy của hình thang. Tìm số điểm dao động với biên độ  \(2\sqrt {13} mm\) trên S1P.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Xét điểm M trên S1P

S1M = d1; S2M = d2.

Theo bài S1S2PQ là hình thang cân, PQ = 2cm, S1S2 = 4cm

Ta có:

\({S_{{S_1}{S_2}PQ}} = \frac{1}{2}\left( {PQ + {S_1}{S_2}} \right)PH = 12 \leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {2 + 4} \right)PH = 12 \to PH = 4cm\)\(\begin{array}{l}{S_1}{P_{}} = \sqrt {P{H^2} + {S_1}{H^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5cm\\{S_2}{P_{}} = \sqrt {P{H^2} + {S_2}{H^2}}  = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} cm\end{array}\)

Sóng từ S1 và S2 truyền đến M:

\(\begin{gathered}{u_{1M}} = 6cos(100\pi t + \frac{{5\pi }}{6} - \frac{{2\pi {d_1}}}{\lambda }) = 6cos(100\pi t + \frac{{5\pi }}{6} - \pi {d_1}) \hfill \\{u_{2M}} = 8cos(100\pi t + \frac{\pi }{6} - \frac{{2\pi {d_2}}}{\lambda }) = 8cos(100\pi t + \frac{\pi }{6} - \pi {d_2}) \hfill \\\end{gathered} \)

Sóng tổng hợp tại M: 

\({u_M} = 6cos(100\pi t + \frac{{5\pi }}{6} - {\text{ }}\pi {d_1}){\text{ }} + {\text{ }}8cos(100\pi t + \frac{\pi }{6} - \pi {d_2}) = Acos(100\pi t + \varphi )\)

Với  \({A^2} = {A_1}^2 + {\text{ }}{A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}cos(\frac{{2\pi }}{3} + \pi \left( {{d_2}-{d_1}} \right))\)

\(\begin{gathered}\Rightarrow {\text{ }}cos(\frac{{2\pi }}{3} + {\text{ }}\pi \left( {{d_2}-{\text{ }}{d_1}} \right)){\text{ }} = \frac{{{A^2} - A_1^2 - A_2^2}}{{2{A_1}{A_2}}} = \frac{{52 - 36 - 64}}{{2.6.8}} =  - 0,5 \hfill \\\Rightarrow \frac{{2\pi }}{3} + {\text{ }}\pi \left( {{d_2}-{\text{ }}{d_1}} \right) =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \hfill \\\\ \\\end{gathered} \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = 2k\\{d_2} - {d_1} = 2k - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Mặt khác :

\(\sqrt {17} -{\rm{ }}5{\rm{ }} < {\rm{ }}{d_2}-{\rm{ }}{d_1}  < {\rm{ }}4\)

  Khi

\(\sqrt {17} -{\rm{ }}5{\rm{ }} < {\rm{ }}{d_2}-{\rm{ }}{d_1} = {\rm{ }}2k{\rm{ }} < {\rm{ }}4\) => Có 2 giá trị của k: k1 = 0; k2 = 1

 Khi

Khi:

\(\sqrt {17}  - 5 < {d_2} - {d_1} = 2k - \frac{4}{3} < 4\)

=> Có 2 giá trị của k: k’1 = 1; k’2 = 2

Như vậy trên S1P có 4 điểm dao động với biên độ \(2\sqrt {13} cm\)

Câu 36 Trắc nghiệm

Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp \(A\),\(B\) cách nhau \(40cm\) dao động theo phương trình \({u_A} = 5c{\rm{os}}\left( {24\pi t + \pi } \right)mm\) và \({u_B} = 5c{\rm{os}}\left( {24\pi t} \right)mm\). Tốc độ truyền sóng là \(v = 48cm/s\). Coi biên độ sóng không đổi khi sóng truyền đi. Xét các điểm trên mặt nước thuộc đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = 5cm\), điểm \(I\) cách đều \(A\) và \(B\) một đoạn \(25cm\). Điểm \(M\) trên đường tròn đó cách \(A\) xa nhất dao động với biên độ bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Phương trình sóng tại M do A truyền tới:

\({u_{1M}} = 5c{\rm{os}}\left( {24\pi \left( {t - \dfrac{{{d_1}}}{v}} \right) + \pi } \right)\)

Phương trình sóng tại M do B truyền tới:

\({u_{2M}} = 5c{\rm{os}}24\pi \left( {t - \dfrac{{{d_2}}}{v}} \right)\)

Phương trình sóng tại M là \({u_M} = {\text{ }}{u_{1M}} + {\text{ }}{u_{2M}}\)

Biên độ sóng tại M là:

\({A_M} = 10\left| {c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{\pi \left( {{d_1} - {d_2}} \right)}}{4} - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|{\rm{      (1)}}\)

Điểm I cách đều A và B nên I thuộc đường trung trực của AB

Có \(O{I^2} = {\text{ }}I{A^2} - {\text{ }}O{A^2} = {\text{ }}{25^2} - {\text{ }}{20^2} = {\text{ }}225\)

Suy ra \(OI = 15 cm\)

Có \(AM = 30cm\)  (2) ( Chứng minh M, I, A thẳng hàng)

Lại có \(\sin \alpha  = \dfrac{{OA}}{{AI}} = \dfrac{{20}}{{25}} = \dfrac{4}{5}\)

Suy ra  \(cos\alpha  = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^2}}  = \dfrac{3}{5}\)

Mặt khác: \(\sin \alpha  = \dfrac{{HA}}{{AM}} \to HA = AM.\sin \alpha  = 30.\dfrac{4}{5} = 24cm\)

Nên \(BH = AB - HA = 40 - 24 = 16cm\); \(cos\alpha  = \dfrac{{HM}}{{AM}} \to HM = AM.cos\alpha  = 30.\dfrac{3}{5} = 18cm\)

Trong tam giác \(BMH\) có \(B{M^2} = B{H^2} + {\text{ }}M{H^2} = {16^2} + {\text{ }}{18^2} = {\text{ }}580\)

Vậy \(BM = \sqrt {580} cm{\rm{     }}\left( 3 \right)\)

Thay (2) và (3) vào (1) ta có: \({A_M} = 10\left| {c{\rm{os}}\left( {\dfrac{{\pi \left( {30 - \sqrt {580} } \right)}}{4} - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|\)

\({A_M} = 10\left| {cos\left( {\dfrac{{\left( {30 - \sqrt {580} } \right)\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right| = 9,98mm\)

Câu 37 Trắc nghiệm

Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình \({{\text{u}}_{\text{a}}}\text{= 6cos40 }\!\!\pi\!\!\text{ t}\) và \({{\text{u}}_{\text{b}}}\text{= 8cos40 }\!\!\pi\!\!\text{ t}\) (ua và ub tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 cm/s, coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Trên đoạn thẳng S1 S2, điểm dao động với biên độ 1cm và cách trung điểm của đoạn S1 S2 một đoạn gần nhất là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \(\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{  = }\frac{\text{v}}{\text{f}}\text{ = 2 (cm)}\)

Xét điểm M trên S1S2 cách trung điểm S1S2 một đoạn bằng x:

\({{\text{u}}_{\text{aM}}}\text{= 6cos}\left( \text{40 }\!\!\pi\!\!\text{ t - 2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{\frac{{{\text{S}}_{\text{1}}}{{\text{S}}_{\text{2}}}}{\text{2}}\text{+x}}{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }} \right)\text{ (mm)}\)

\({{\text{u}}_{\text{bM}}}\text{= 8cos}\left( \text{40 }\!\!\pi\!\!\text{ t - 2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\frac{\frac{{{\text{S}}_{\text{1}}}{{\text{S}}_{\text{2}}}}{\text{2}}\text{ - x}}{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }} \right)\text{ (mm)}\)

Sóng tổng hợp tại M là: \({{\text{u}}_{\text{M}}}\text{ = A cos( }\!\!\omega\!\!\text{ t +  }\!\!\varphi\!\!\text{ )}\)(mm)

Với:   \({{\text{A}}^{\text{2}}}\text{ = A}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ + A}_{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + 2}{{\text{A}}_{\text{1}}}{{\text{A}}_{\text{2}}}\text{cos (}{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{1}}}-{{\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}_{\text{2}}}\text{) }\Leftrightarrow \text{ 1}{{\text{0}}^{2}}\text{ = }{{\text{6}}^{2}}\text{ + }{{\text{8}}^{2}}\text{ + 2}\text{.6}\text{.8}\text{.cos}\Delta \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }\)

\(\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{  }\!\!\varphi\!\!\text{  = 0}\Leftrightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{  }\!\!\varphi\!\!\text{  = }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}\text{ + k }\!\!\pi\!\!\text{ }\Rightarrow \text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ x = }\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}\text{ + k }\!\!\pi\!\!\text{  }\Rightarrow \text{ x = }\frac{1}{4}\text{ + }\frac{k}{2}\text{ }\)

Do đó, M cách trung điểm S1S2 một đoạn nhỏ nhất khi k = 0 hay x = 0,25 cm

Câu 38 Trắc nghiệm

Một sóng ngang hình sin truyền theo phương ngang dọc theo một sợi dây đàn hồi rất dài có biên độ không đổi và có bước sóng lớn hơn 30cm. Trên dây có hai điểm A và B cách nhau 20cm (A gần nguồn hơn so với B). Chọn trục Ox thẳng đứng chiều dương hướng lên, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng của nguồn. M và N tương ứng là hình chiếu của A và B lên trục Ox. Phương trình dao động của N có dạng \({x_N} = acos\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\) khi đó vận tốc tương đối của N đối với M biến thiên theo thời gian với phương trình \({v_{NM}} = bcos\left( {20\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\). Biết \(a,\omega \) và \(b\) là các hằng số dương. Tốc độ truyền sóng trên dây là

 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Điểm A gần nguồn hơn so với B → A sớm pha hơn B → M sớm pha hơn N

Theo đề bài ta có: \({x_N} = a\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow {x_M} = a\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)\)

Mặt khác, vận tốc tương đối của N đối với M là:

\({v_{NM}} = {v_N} - {v_M} = b\cos \left( {20\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)

Ta có: \({v_N} = {x_N}' =  - \omega a\sin \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

\({v_M} = {x_M}' =  - \omega a\sin \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {v_N} - {v_M} =  - \omega a\left[ {\sin \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sin \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)} \right]\\ \Rightarrow {v_N} - {v_M} =  - 2\omega a\left[ {\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi d}}{\lambda }} \right)\sin \left( { - \dfrac{{\pi d}}{\lambda }} \right)} \right]\\ \Rightarrow {v_N} - {v_M} = 2\omega a\sin \dfrac{{\pi d}}{\lambda }\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi d}}{\lambda }} \right)\end{array}\)

Đồng nhất hai phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l}\omega  = 20\pi \,\,\left( {rad/s} \right) \Rightarrow f = \dfrac{\omega }{{2\pi }} = \dfrac{{20\pi }}{{2\pi }} = 10\,\,\left( {Hz} \right)\\\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi d}}{\lambda } = \dfrac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \dfrac{{\pi d}}{\lambda } = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow \lambda  = 3d = 3.20 = 60\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow v = \lambda f = 60.10 = 600\,\,\left( {cm/s} \right)\end{array}\)

 

Câu 39 Trắc nghiệm

Hai nguồn phát sóng kết hợp A, B trên mặt thoáng của một chất lỏng dao động theo phương trình uA = 6cos(20πt) (mm); uB = 4cos(20πt) (mm). Coi biên độ sóng không giảm theo khoảng cách tốc độ sóng v = 40cm/s. Khoảng cách giữa hai nguồn AB = 20cm. Số điểm dao động với tốc độ cực đại bằng 16π cm/s trên đoạn AB là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Tần số sóng không đổi f = 10Hz

Bước sóng λ = v/f = 4cm

Xét điểm M nằm trên AB cách A và B lần lượt là d1 và d2

Sóng do hai nguồn truyền tới M là:

            \({{u}_{AM}}=6\cos (20\pi t-\frac{2\pi {{d}_{1}}}{\lambda })\)  và  \({{u}_{BM}}=4\cos (20\pi t-\frac{2\pi {{d}_{2}}}{\lambda })\)

Biên độ sóng tổng hợp tại M là:

            \({{A}_{M}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}+2.6.4.c\text{os}\frac{2\pi \left( {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right)}{\lambda }}\)

Tại M có tốc độ cực đại bằng 16πcm/s = ωAM => AM = 0,8cm = 8mm

Ta có: \({{A}_{M}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}+2.6.4.c\text{os}\frac{2\pi \left( {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right)}{\lambda }}=8mm\Rightarrow c\text{os}\frac{2\pi \left( {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right)}{4}=0,25\)

\(\Rightarrow \frac{\pi \left( {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right)}{2}=\pm {{75,5}^{0}}+2k\pi \Rightarrow \left( {{d}_{1}}-{{d}_{2}} \right)=\pm \frac{151}{180}+4k\)

Vì M nằm trên đoạn AB nên -20 ≤ d1 – d2 ≤ 20

Ta được:

            \(-20\le \frac{151}{180}+4k\le 20\Rightarrow -5\le k\le 4\) => có 10 giá trị k nguyên

            \(-20\le -\frac{151}{180}+4k\le 20\Rightarrow -4\le k\le 5\) => có 10 giá trị k nguyên

Vậy trên AB có tổng cộng 20 điểm dao động với tốc độ cực đại 16π cm/s

Câu 40 Trắc nghiệm

Xét một sóng ngang có tần số \(f{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}Hz\) và biên độ \(a = 2\sqrt 2 cm\), lan truyền theo phương Ox từ nguồn dao động O, với tốc độ truyền sóng là\(40{\rm{ }}cm/s\). Điểm P nằm trên phương truyền sóng, có tọa độ \(x = 17cm\). Khoảng cách lớn nhất giữa phần tử môi trường tại O và phần tử môi trường tại P là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có:

+ Tần số góc: \(\omega  = 2\pi f = 20\pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Bước sóng: \(\lambda  = \dfrac{v}{f} = 4cm\)

Giả sử phương trình sóng tại O: \({u_O} = 2\sqrt 2 cos\left( {20\pi t} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình sóng tại P: \({u_P} = 2\sqrt 2 cos\left( {20\pi t - \dfrac{{2\pi .17}}{4}} \right) = 2\sqrt 2 cos\left( {20\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Khoảng cách OP: \(OP = \sqrt {{x^2} + {{\left( {{u_O} - {u_P}} \right)}^2}} \)

\(O{P_{max}}\) khi \({\left[ {{u_O} - {u_P}} \right]_{max}}\)

Ta có: \({u_O} - {u_P} = 2\sqrt 2 \angle 0 - 2\sqrt 2 \angle  - \dfrac{\pi }{2} = 4\angle  \dfrac{\pi }{4}\)

\( \Rightarrow {\left[ {{u_O} - {u_P}} \right]_{max}} = 4cm\)

Khi đó ta có: \(O{P_{max}} = \sqrt {{{17}^2} + {4^2}}  = 17,46cm\)