Con lắc lò xo - Bài tập chu kì, tần số, tần số góc của con lắc lò xo

Tần số góc của con lắc lò xo được xác định bởi biểu thức \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{40}}{{0,1}}}  = 20rad/s\)

Chu kì dao động của con lắc lò xo là: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{100}}}  = 0,2{\rm{s}}\)

Chu kì của con lắc ứng với mỗi lò xo là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_1}}}}  \Rightarrow {k_1} = \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T_1}^2}}\\{T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{{{k_2}}}}  \Rightarrow {k_2} = \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T_2}^2}}\end{array} \right.\)

Hai lò xo ghép song song, độ cứng của hệ lò xo là: \(k = {k_1} + {k_2}\)

Chu kì của con lắc mới là:

\(\begin{array}{l}T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  \Rightarrow k = \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}} = {k_1} + {k_2} \Rightarrow \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T_1}^2}} + \dfrac{{4{\pi ^2}m}}{{{T_2}^2}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{T^2}}} = \dfrac{1}{{{T_1}^2}} + \dfrac{1}{{{T_2}^2}} = \dfrac{1}{{0,{{45}^2}}} + \dfrac{1}{{0,{6^2}}} \Rightarrow T = 0,36\,\,\left( s \right)\end{array}\)

Tần số góc dao động của con lắc là:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}}  \Rightarrow \Delta l = \dfrac{g}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{{10}}{{{{10}^2}}} = 0,1\,\,\left( m \right) = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Chu kỳ dao động riêng của con lắc lò xo là: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

A – sai vì: Chuyển động của con lắc lò xo là chuyển động thẳng

B – sai vì: Gia tốc của con lắc luôn thay đổi => Không phải là chuyển động đều

C – sai vì: Gia tốc của con lắc luôn thay đổi mà chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc không đổi theo thời gian

D - đúng

A - vị trí lò xo có chiều dài lớn nhất hoặc ngắn nhất ứng với vị trí \(x =  \pm A\)

B, C - vị trí có li độ \(x =  - \Delta l\) ứng với con lắc treo thẳng đứng hoặc nằm trên mặt phẳng nghiêng, \(x = 0\) ứng với con lắc lằm ngang

D - vị trí có li độ \(x = 0\)

Ta có, chu kì và tần số của con lắc lò xo:

+ Chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

+ Tần số: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

A – đúng

B – sai vì: chu kì tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của độ cứng

C - sai vì: chu kì dao động không phụ thuộc vào biên độ

D – sai vì: số dao động vật thực hiện trong 1s là tần số  \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \) (tỉ lệ thuận với căn bậc 2 của k)

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}} \)

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{g}{{\Delta l}}} \)

=> Tần số \(f\) phụ thuộc vào khối lượng m , độ cứng k của lò xo

Pha ban đầu của con lắc lò xo dao động điều hòa phụ thuộc vào điều kiện kích thích ban đầu

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

=> Khi giảm khối lượng 2 lần và độ cứng giảm 8 lần thì tần số dao động sẽ giảm 2 lần.

A, C, D đúng

B - sai vì gia tốc của vật luôn luôn thay đổi mà chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc không đổi

A - vị trí biên => vận tốc của vật bằng không

B, C - vị trí có li độ x = - ∆l

D - vị trí có li độ x = 0

A, B - đúng vì dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa mà dao động điều hòa là trường hợp riêng của dao động tuần hoàn

D - đúng vì: số dao động vật thực hiện trong 1s là tần số 

\(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} \) (tỉ lệ thuận với căn bậc 2 của k)

C - sai vì chu kì dao động không phụ thuộc vào biên độ

Ta có chu kì dao động của con lắc lò xo:

\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{\Delta l}}{g}} \)

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

=> chu kì T phụ thuộc vào khối lượng m, độ cứng k

Biên độ dao động phụ thuộc vào kích thích ban đầu

Ta có, tần số dao động của con lắc lò xo: \(f = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Khi tăng khối lượng lên 4 lần và độ cứng tăng 2 lần tức là \(\left\{ \begin{array}{l}m' = 4m\\k' = 2k\end{array} \right.\)

Tần số dao động của con lắc khi này: \(f' = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{k'}}{{m'}}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{{2k}}{{4m}}}  = \dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{2m}}} \)

\(\dfrac{{f'}}{f} = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{{2m}}} }}{{\dfrac{1}{{2\pi }}\sqrt {\dfrac{k}{m}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow f' = \dfrac{f}{{\sqrt 2 }}\)

Hay nói cách khác khi tăng khối lượng lên $4$ lần và độ cứng tăng $2$ lần thì tần số dao động sẽ giảm \(\sqrt 2 \) lần

Ta có, chu kì dao động của con lắc lò xo: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  \to {T^2} = 4{\pi ^2}\dfrac{m}{k}\)

=> Đồ thị $T -  m$ có dạng parabol