Bài tập giao thoa 2 ánh sáng - 3 ánh sáng

Tại vị trí vân trùng ta có:\(12{i_1} = 10{i_2} \Leftrightarrow 12{\lambda _1} = 10{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \frac{5}{6}\)

Vị trí trùng nhau của 2 vân sáng:  \({x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \frac{{4.0,7}}{7} = 0,4\mu m\)

Ta có: i₁ = 1,2mm; i₂ = 1mm

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân sáng = khoảng vân trùng

\(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow {i_T} = 5{i_1} = \dfrac{{5.{\lambda _1}D}}{a} = 6mm\)

Ta có: k₁i₁ = k₂i₂ => \(\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \dfrac{{0,48}}{{0,64}} = \dfrac{3}{4}\) => khoảng vân trùng:  i_T = 3i₁ = 4i₂

+ Khoảng cách giữa 3 vân sáng liên tiếp có màu giống màu vân trung tâm là L = 6i₁ = 8i₂.

 Số vân sáng đỏ quan sát được: N₁ = 7 – 3 = 4 vân đỏ

    Số vân sáng lam quan sát được: N₂ = 9 – 3 = 6 vân lam

Tại vị trí vân sáng cùng màu đó có

+ Vân sáng bậc 9 của λ₂

+ Vân sáng bậc k của λ₁ = 0,72µm

\( \Rightarrow 9{\lambda _2} = k.0,72 \Rightarrow {\lambda _2} = 0,08k\)

Vì: \(0,59 < {\lambda _2} < 0,65 \Leftrightarrow 0,59 < 0,08k < 0,65 \Rightarrow k = 8 \Rightarrow {\lambda _2} = 0,64\mu m\)

Số vân sáng trùng nhau trên đoạn AB : \({N_{tr}} = N - {N_1} - {N_2} = 4\)

Số vân sáng của bức xạ 1 : \({N_1} = 6 + 4 = 10\)

Số vân sáng bức xạ 2 : \({N_2} = 9 + 4 = 13\)

Chiều dài đoạn AB : \({L_{AB}} = 9{i_1} = 12{i_2} \Leftrightarrow 9{\lambda _1} = 12{\lambda _2} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{9{\lambda _1}}}{{12}} = 0,54\mu m\)

Tại điểm M trùng với vị trí vân sáng bậc 4 của bức xạ λ₂

Tại N trùng với vị trí vân sáng bậc 10 của bức xạ λ₁  x_M = 4i₂;  x_N = 10i₁

Mà: \(\frac{{{i_2}}}{{{i_1}}} = \frac{5}{4} \Rightarrow {x_M} = 5{i_1};{x_N} = 8{i_2}\)

Tại vị trí trùng nhau của hai vân sáng ta có: \({k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{5}{4}\)

 Trong khoảng từ M đến N có 2 vị trí vân sáng trùng nhau tại M và N

x_M = 5i_1;  x_N = 10i₁  từ M đến N có 4 vân sáng của riêng bức xạ λ₁

x_M = 4i_2;  x_N = 8i₂  từ M đến N có 3 vân sáng của riêng bức xạ λ₂

 Trong khoảng từ M đến N quan sát được 7 vân sáng.

+ Khi nguồn phát ra ánh sáng đơn sắc λ₁

M, N là hai vân sáng, trong khoảng MN có 7 vân sáng khác nữa => MN = 8i₁.

+ Khi nguồn sáng phát ra đồng thời hai ánh sáng đơn sắc λ₁ và λ₂

Trên đoạn MN quan sát thấy 19 vân sáng

=> N_S = N_S1 + N_S2 – N_T

Với N_S1: số vân sáng của bức xạ λ₁, N_S1 = 9

N_S2: số vân sáng của bức xạ λ₂

N_T : số vân sáng trùng nhau của bức xạ 1 và bức xạ 2, N_T = 3

=> N_S2 = N_S – N_S1 – N_T = 19 + 3 – 9 = 13

=> MN = 12i₂

Do trên đoạn MN có 3 vân sáng trùng nhau của hai bức xạ mà 2 vân nằm tại M và N => khoảng cách giữa hai vân sáng trùng nhau là i_T = MN/2 = 4i₁ = 6i₂

=> λ₂ = 4λ₁/6 = 4.0,64/6 = 0,427 μm

Trong khoảng giữa hai vân trùng có 6 vân sáng lam  Khoảng vân trùng:  i_T = 7i_L

Mà :\({i_T} = {\rm{ }}k{i_D} \Leftrightarrow {\rm{ }}k{i_D} = {\rm{ }}7{i_L} \Rightarrow {i_L} = \frac{{k{i_D}}}{7} \Rightarrow {\lambda _L} = \frac{{k{\lambda _D}}}{7}\)

\( \Rightarrow 450nm < {\lambda _L} = \frac{{k{\lambda _D}}}{7} < 510nm \Rightarrow 4,6 < k < 5,2 \Rightarrow k = 5\,hay\,{i_T} = 5{i_D}\)

 Trong khoảng giữa hai vân trùng có 4 vân sáng đỏ

Vị trí vân trùng của hai bức xạ: \(\frac{{{k_1}{\lambda _1}D}}{a} = \frac{{{k_2}{\lambda _2}D}}{a} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} = \frac{5}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 5n\\{k_2} = 8n\end{array} \right.\)

 Vân sáng bậc 5n của λ₁  trùng với vân sáng bậc 8n của λ₂

Xét hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân trung tâm (n = 0 và n = 1) có: 4 vân sáng của λ₁ và 7 vân sáng của λ₂  Số vân sáng khác màu với vân trung tâm là 4 + 7 = 11.

Vị trí vân trùng của hai bức xạ: \(\dfrac{{{k_{\rm{d}}}{\lambda _d}D}}{a} = \dfrac{{{k_l}{\lambda _l}D}}{a} \Leftrightarrow {k_d}{\lambda _d} = {k_l}{\lambda _l} \Rightarrow \dfrac{{{k_d}}}{{{k_l}}} = \dfrac{{{\lambda _l}}}{{{\lambda _d}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_d} = 3n\\{k_l} = 5n\end{array} \right.\)

Vân sáng bậc \(3n\) của \(\lambda_d\) trùng với vân sáng bậc \(5n\) của \(\lambda_l\)

Xét hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân trung tâm (n = 0 và n = 1) có: \(2\) vân sáng màu đỏ và \(4\) vân sáng màu lam  

Để trong khoảng từ vân sáng bậc 1 đến vân sáng bậc 17 của bức xạ  λ₁  có 3 vị trí mà vân sáng của hai bức xạ trên trùng nhau thì vị trí trùng đầu tiên có là k₁ = 5

Vậy ta có \(\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{5{\lambda _1}}}{{{k_2}}} = \frac{{2640}}{{{k_2}}}nm\)

Với : \(380 \le {\lambda _2} \le 760nm \Rightarrow {k_2} = 4,5,6\)

Ta loại k₂ = 5 vì đó là của k₁

 Và do yêu cầu của đề là tổng số vân sáng đếm được trong vùng này nhỏ hơn 32 nên số vân sáng của l₂ phải nhỏ hơn: 32 + 3 - 17 = 18

\( \to {k_2} = {\rm{ }}4 \to {\lambda _2} = {\rm{ }}660nm\)   

Vân sáng cùng màu với vân trung tâm: \(x = ki = k\frac{{\lambda D}}{a}\)

\( \Rightarrow {x_1} = {x_2} = {x_3} \Rightarrow {k_1}\frac{{{\lambda _1}D}}{a} = {k_2}\frac{{{\lambda _2}D}}{a} = {k_3}\frac{{{\lambda _3}D}}{a} \Rightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3} \Leftrightarrow 4{k_1} = 5{k_2} = 6{k_3}\)

BCNN(4; 5; 6) = 60

 Khoảng vân trùng: \({i_T} = 15{i_1} = 12{i_2} = 10{i_3}\)

Khoảng cách giữa bốn vân sáng cùng màu với vân trung tâm: \(x = 3{i_T} = 3.15{i_1} = 18mm\)

Tại vị trí x là vị trí vân sáng đầu tiên trùng màu với vân sáng trung tâm ta thu được cả 3 vân sáng của 3 màu trên nên ta có:

\(x = {k_1}{i_1} = {k_2}{i_2} = {k_3}{i_3} \Leftrightarrow {k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2} = {k_3}{\lambda _3} \Leftrightarrow {k_1}.0,64 = {k_2}.0,54 = {k_3}.0,48 \Leftrightarrow {k_1}.32 = {k_2}.27 = {k_3}.24\)

BCNN(32; 27; 24) = 864 \( \Rightarrow {k_1}:{k_2}:{k_3} = 27:32:36\)

Vì vân sáng trên là vân sáng đầu tiên trùng với vân sáng trung tâm nên: k₂ = 32

Vậy vân sáng đầu tiên kể từ vân sáng trung tâm có cùng màu với vân sáng trung tâm ứng với vân sáng bậc 32 của vân sáng màu lục

Ta có:

Vị trí vân trùng:

\(\begin{array}{l}{x_T} = {k_1}\dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} = {k_2}\dfrac{{{\lambda _2}D}}{a} = {k_3}\frac{{{\lambda _3}D}}{a}\\ \Leftrightarrow 0,8{k_1} = {k_2} = 1,2{k_3}\\ \Leftrightarrow 4{k_1} = 5{k_2} = 6{k_3}\end{array}\)

BCNN(4; 5; 6) = 60

Suy ra: \( \Rightarrow {i_T} = 15{i_1} = 12{i_2} = 10{i_3}\)

\({i_T} = 12{i_2} = 12\dfrac{{{\lambda _2}D}}{a} = 12.\dfrac{{{{500.10}^{ - 9}}.1}}{{0,{{5.10}^{ - 3}}}} = 0,012m = 12mm\)

Vị trí vân sáng trùng nhau là: \({x_T} = n{i_T} = 12n (mm)\)

Ta suy ra:

\(0 \le 12n \le 60mm \\\to 0 \le n \le 5 \\\to n = 0,1,2,3,4,5\)

=>  Có 6 vân sáng cùng màu với vân sáng trung tâm

+ Tại vị trí 2 bức xạ \({\lambda _1}\) và \({\lambda _2}\)trùng nhau, ta có: \(\dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \dfrac{{0,6}}{{0,45}} = \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} = ...\)

+ Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm chỉ có 1 vị trí trùng nhau của các vân sáng ứng với 2 bức xạ \({\lambda _1}\) và \({\lambda _2}\) (tại đó \({k_1} = 3\))

=> Tại vị trí 3 vân sáng trùng nhau thì \({k_1} = 6\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}6{\lambda _1} = {k_3}{\lambda _3}\\ \to 0,62\mu m \le {\lambda _3} = \dfrac{{6{\lambda _1}}}{{{k_3}}} \le 0,76\mu m\\ \to 4,7 \le {k_3} \le 5,8\\ \to {k_3} = 5\\ \to {\lambda _3} = 0,72\mu m\end{array}\)

+ Khi chiếu bức xạ có bước sóng \({\lambda _1} = 0,6\mu m\), khoảng cách giữa 6 vân sáng liên tiếp là 9mm:

\(5.{i_1} = 9mm \Rightarrow i = 1,8mm \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _1}D}}{a} = 1,8 \Rightarrow \dfrac{D}{a} = 3\)

+ Vị trí vân sáng của các bức xạ: \(\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = 1,8\,\,\left( {mm} \right)\\{i_2} = \dfrac{{{\lambda _2}D}}{a} = 0,48.3 = 1,44\,\,\left( {mm} \right)\\{i_3} = \dfrac{{{\lambda _3}D}}{a} = 0,4.3 = 1,2\,\,\left( {mm} \right)\end{array} \right.\)

+ Tại \(x = 10,8mm \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{{i_1}}} = \dfrac{{10,8}}{{1,8}} = 6 \in Z\\\dfrac{x}{{{i_2}}} = \dfrac{{10,8}}{{1,44}} = 7,5 \notin Z\\\dfrac{x}{{{i_3}}} = \dfrac{{10,8}}{{1,2}} = 9 \in Z\end{array} \right.\)

Vậy tại vị trí cách vân trung tâm 10,8mm có hai vạch sáng ứng với \({\lambda _1}\) và \({\lambda _3}\)

Khoảng vân của hai bức xạ là:  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{i_1} = \frac{{{\lambda _1}.D}}{a} = \frac{{0,6.2}}{1} = 1,2mm\\
{i_2} = \frac{{{\lambda _2}.D}}{a} = \frac{{0,5.2}}{1} = 1mm
\end{array} \right.\)

Vì có hai bức xạ nên ta có, tại vị trí có cùng lúc hai vân sáng của hai bức xạ thì:

\({x_M} = {k_1}.{i_1} = {k_2}.{i_2} \Rightarrow \frac{{{i_1}}}{{{i_2}}} = \frac{{1,2}}{1} = \frac{6}{5}\)

Với  \(\frac{6}{5}\) là phân số tối giản thì khoảng vân trùng nhau là:

\(i' = 5{i_1} = 6{i_2} = 6mm\)

Vậy khoảng cách giữa hai vân trùng nhau liên tiếp là 6mm.

Do M, N, P, Q là các vạch liên tiếp và M, N là hai vạch sáng liền kề → tại M và N là vị trí hai vạch sáng của 2 bức xạ (tại M là vạch sáng của λ₁, tại N là vạch sáng của λ₂ hoặc ngược lại)

→ Các trường hợp xảy ra:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = 9\\{i_2} = 6,5\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{18}}{{13}} \Rightarrow {\lambda _2} = 396nm\\\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = 6,5\\{i_2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} = \dfrac{{13}}{{18}} \Rightarrow {\lambda _2} = 760nm\\\left\{ \begin{array}{l}{i_1} = 4,5\\{i_2} \ge 11\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}} \le \dfrac{9}{{22}} \Rightarrow {\lambda _2} \ge 1342nm\\\left\{ \begin{array}{l}{i_2} = 4,5\\{i_1} \ge 11\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} \le \dfrac{9}{{22}} \Rightarrow {\lambda _2} \le 224,5nm\\ \Rightarrow {\lambda _2} = 396nm\end{array}\)

Giả sử \({\lambda _1} < {\lambda _2}\)

Gọi số vân sáng của bức xạ \({\lambda _1}\) giữa 2 vân sáng chung liên tiếp là \({n_1}\)

Số vân sáng của bức xạ \({\lambda _2}\) giữa 2 vân sáng chung liên tiếp là \({n_2}\)

Ta có: \(N = {n_1} + {n_2}\) và \(\left( {{n_1} + 1} \right){\lambda _1} = \left( {{n_2} + 1} \right){\lambda _2} \Rightarrow \frac{{{n_1} + 1}}{{{n_2} + 1}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, vì \({\lambda _1},{\lambda _2}\) nằm trong khoảng \(400nm \to 750nm\) nên \(\frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} < \frac{{750}}{{400}} = 1,875\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {n_2} < {n_1} < 1,875{n_2} + 0,875\)

Để ý thấy \(\left( {{n_1} + 1} \right)\) và \(\left( {{n_2} + 1} \right)\) phải là 2 số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN phải bằng 1) để giữa 2 vân sáng chung không còn vân sáng chung nào khác.

Ta có bảng sau:

Vậy, ta thấy với \(N = 8\) thì không có giá trị nào thỏa mãn đề bài.