Bài tập dao động điều hòa - Các đại lượng đặc trưng

Khi vật đi qua vị trí cân bằng, tốc độ của chất điểm là 40cm/s, còn tại vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn là 200cm/s² ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{v_{\max }} = \omega A = 40\\{a_{\max }} = {\omega ^2}A = 200\end{array} \right. =  > \omega  = 5 =  > A = \dfrac{{{v_{\max }}}}{\omega } = 8cm\)

Khi chất điểm qua VTCB: \({v_{\max }} = \omega A \Rightarrow \omega  = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{20}}{A}\)

Lại có: \({A^2} = \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}} \Leftrightarrow {A^2}{\omega ^2} = {v^2} + \frac{{{a^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {A^2}.\frac{{{{20}^2}}}{{{A^2}}} = {10^2} + \frac{{{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\frac{{{{20}^2}}}{{{A^2}}}}} \Leftrightarrow {20^2} = {10^2} + \frac{{{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{20}^2}}}.{A^2}\\ \Rightarrow {A^2} = 25 \Rightarrow A = 5cm\end{array}\)

Tại thời điểm ban đầu, vật có li độ \(x = 4\sqrt 3 \,\,cm\) và chuyển động ngược chiều dương \(\left( {v < 0} \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 8\cos \varphi  = 4\sqrt 3 \\v =  - A\omega \sin \varphi  < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  = \dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {rad} \right)\)

Ta có:

+ \(L = 2A = 20cm \Rightarrow A = 10cm\)

+ \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {10^2} = {5^2} + \dfrac{{{{\left( {5\pi \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}\\ \Rightarrow \omega  = \pi \left( {rad/s} \right)\\ \Rightarrow T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{\pi } = 2s\end{array}\)

Vật dao động điều hòa theo phương trình : \(x = 4\cos (8\pi t + \dfrac{\pi }{6})(cm)\)

 có biên độ dao động \(A = 4cm\)

Biên độ dao động của chất điểm là:

\(A = \dfrac{L}{2} = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5cm\)

Ta có: \(x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

+ \(x\): li độ dao động của vật

+ \(A\): Biên độ dao động của vật

+ \(\omega \): Tần số góc của dao động

+ \(\varphi \): Pha ban đầu của dao động

+ \(\omega t + \varphi \): Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: \(x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

+ \(x\): li độ dao động của vật

+ \(A\): Biên độ dao động của vật

+ \(\omega \): Tần số góc của dao động

+ \(\varphi \): Pha ban đầu của dao động

+ \(\omega t + \varphi \): Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: \(a =  - {\omega ^2}x =  - 4{\pi ^2}x\)

=> Tần số góc: \({\omega ^2} = 4{\pi ^2} \to \omega  = 2\pi \)

Phương trình vận tốc: \(v = 2\pi cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm/s\)

Gia tốc:

\(\begin{array}{l}a = v' =  - 2\pi .2\pi \sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ =  - 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6} + \pi } \right)\\ = 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{{7\pi }}{6}} \right) = 40\cos \left( {2\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm/{s^2}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_{{\rm{max}}}} = \omega A\\{a_{{\rm{max}}}} = {\omega ^2}A\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{{\omega ^2}A}}{{\omega A}} = \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T}\\\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v^2}_{{\rm{max}}}}} = \dfrac{{{\omega ^2}A}}{{{{(\omega A)}^2}}} = \dfrac{1}{A}\\\dfrac{{{a^2}_{{\rm{max}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{{{({\omega ^2}A)}^2}}}{{\omega A}} = {\omega ^3}A\end{array} \right.\)

=> A, B, C – sai

D - đúng

 Hệ thức độc lập theo thời gian: \({A^2} = \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}}\)

Áp dụng hệ thức độc lập trong dao động điều hòa, biên độ dao động của vật là

 \(\dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}} = {A^2} =  > A = \sqrt {\dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}}}  = \sqrt {\dfrac{{{0,2^2}}}{{{10 ^2}}} + \dfrac{{{{(2\sqrt{3})}^2}}}{{{10 ^4}}}}=0,04m=4cm\)

Vận tốc cực đại của vật là \({v_{\max }} = \omega A = 10.4 = 40cm/s\)

+ Từ phương trình vận tốc: \(v = 10\pi cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)cm/s\)

Ta suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\omega  = 2\pi \\A = \dfrac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5cm\end{array} \right.\)

+ Áp dụng hệ thức độc lập ta có:

\(\begin{array}{l}{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \leftrightarrow {5^2} = {x^2} + \dfrac{{{{\left( {8\pi } \right)}^2}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}}\\ \to {x^2} = 9 \to x =  \pm 3cm\end{array}\)

+ Từ phương trình gia tốc: \(a = 20{\pi ^2}cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm/{s^2}\)

Ta suy ra: \(\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)\)

+ Mặt khác, ta có: \(a =  - {\omega ^2}x\)

=> Khi vật có gia tốc \(a = 120cm/{s^2}\), ta được:

\(\begin{array}{l}a = 120cm/{s^2} =  - {\omega ^2}x\\ \to x =  - \dfrac{a}{{{\omega ^2}}} =  - \dfrac{{120}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}} =  - 3cm\end{array}\)

Giá trị cực tiểu của vận tốc là: \( - \omega A\)

Phương trình dao động điều hòa:\(x = Acos(ωt + φ)\) 

Trong đó, tần số góc của dao động là \(\omega\)

Tại thời điểm \(t = 0,5{\rm{s}} \Rightarrow {\rm{x}} = 3co{\rm{s}}\left( {2\pi .0,5 + \frac{\pi }{2}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow a =  - {\omega ^2}x = 0cm/{s^2}\)

Ta có: x=Acos(ωt+φ)

+ x: li độ dao động của vật

+ A: Biên độ dao động của vật

+ ω: Tần số góc của dao động

+ φ: Pha ban đầu của dao động

+ ωt+φ: Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: \(x = Acos(\omega t + \varphi )\)

PT đầu bài: \(x = 2cos(5\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{7\pi }}{3})cm\)

=> Biên độ dao động của vật: \(A = 2cm\)