Bài tập dao động điều hòa - Các đại lượng đặc trưng

Khi vật đi qua vị trí cân bằng, tốc độ của chất điểm là 40cm/s, còn tại vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn là 200cm/s² ta có $\left\{ \begin{array}{l}{v_{\max }} = \omega A = 40\\{a_{\max }} = {\omega ^2}A = 200\end{array} \right. =  > \omega  = 5 =  > A = \dfrac{{{v_{\max }}}}{\omega } = 8cm$

Khi chất điểm qua VTCB: ${v_{\max }} = \omega A \Rightarrow \omega  = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{20}}{A}$

Lại có: ${A^2} = \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}} \Leftrightarrow {A^2}{\omega ^2} = {v^2} + \frac{{{a^2}}}{{{\omega ^2}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {A^2}.\frac{{{{20}^2}}}{{{A^2}}} = {10^2} + \frac{{{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\frac{{{{20}^2}}}{{{A^2}}}}} \Leftrightarrow {20^2} = {10^2} + \frac{{{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{20}^2}}}.{A^2}\\ \Rightarrow {A^2} = 25 \Rightarrow A = 5cm\end{array}$

Tại thời điểm ban đầu, vật có li độ $x = 4\sqrt 3 \,\,cm$ và chuyển động ngược chiều dương $\left( {v < 0} \right)$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 8\cos \varphi  = 4\sqrt 3 \\v =  - A\omega \sin \varphi  < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin \varphi  > 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  = \dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {rad} \right)$

Ta có:

+ $L = 2A = 20cm \Rightarrow A = 10cm$

+ ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {10^2} = {5^2} + \dfrac{{{{\left( {5\pi \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{\omega ^2}}}\\ \Rightarrow \omega  = \pi \left( {rad/s} \right)\\ \Rightarrow T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{{2\pi }}{\pi } = 2s\end{array}$

Vật dao động điều hòa theo phương trình : $x = 4\cos (8\pi t + \dfrac{\pi }{6})(cm)$

 có biên độ dao động $A = 4cm$

Biên độ dao động của chất điểm là:

$A = \dfrac{L}{2} = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5cm$

Ta có: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

+ $x$: li độ dao động của vật

+ $A$: Biên độ dao động của vật

+ $\omega$: Tần số góc của dao động

+ $\varphi$: Pha ban đầu của dao động

+ $\omega t + \varphi$: Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: $x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$

+ $x$: li độ dao động của vật

+ $A$: Biên độ dao động của vật

+ $\omega$: Tần số góc của dao động

+ $\varphi$: Pha ban đầu của dao động

+ $\omega t + \varphi$: Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: $a =  - {\omega ^2}x =  - 4{\pi ^2}x$

=> Tần số góc: ${\omega ^2} = 4{\pi ^2} \to \omega  = 2\pi$

Phương trình vận tốc: $v = 2\pi cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm/s$

Gia tốc:

$\begin{array}{l}a = v' =  - 2\pi .2\pi \sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ =  - 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6} + \pi } \right)\\ = 40\sin \left( {2\pi t + \dfrac{{7\pi }}{6}} \right) = 40\cos \left( {2\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm/{s^2}\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{v_{{\rm{max}}}} = \omega A\\{a_{{\rm{max}}}} = {\omega ^2}A\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{{\omega ^2}A}}{{\omega A}} = \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T}\\\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v^2}_{{\rm{max}}}}} = \dfrac{{{\omega ^2}A}}{{{{(\omega A)}^2}}} = \dfrac{1}{A}\\\dfrac{{{a^2}_{{\rm{max}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \dfrac{{{{({\omega ^2}A)}^2}}}{{\omega A}} = {\omega ^3}A\end{array} \right.$

=> A, B, C – sai

D - đúng

 Hệ thức độc lập theo thời gian: ${A^2} = \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}}$

Áp dụng hệ thức độc lập trong dao động điều hòa, biên độ dao động của vật là

 $\dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}} = {A^2} =  > A = \sqrt {\dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}}}}  = \sqrt {\dfrac{{{0,2^2}}}{{{10 ^2}}} + \dfrac{{{{(2\sqrt{3})}^2}}}{{{10 ^4}}}}=0,04m=4cm$

Vận tốc cực đại của vật là ${v_{\max }} = \omega A = 10.4 = 40cm/s$

+ Từ phương trình vận tốc: $v = 10\pi cos\left( {2\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)cm/s$

Ta suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}\omega  = 2\pi \\A = \dfrac{{10\pi }}{{2\pi }} = 5cm\end{array} \right.$

+ Áp dụng hệ thức độc lập ta có:

$\begin{array}{l}{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \leftrightarrow {5^2} = {x^2} + \dfrac{{{{\left( {8\pi } \right)}^2}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}}\\ \to {x^2} = 9 \to x =  \pm 3cm\end{array}$

+ Từ phương trình gia tốc: $a = 20{\pi ^2}cos\left( {2\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm/{s^2}$

Ta suy ra: $\omega  = 2\pi \left( {rad/s} \right)$

+ Mặt khác, ta có: $a =  - {\omega ^2}x$

=> Khi vật có gia tốc $a = 120cm/{s^2}$, ta được:

$\begin{array}{l}a = 120cm/{s^2} =  - {\omega ^2}x\\ \to x =  - \dfrac{a}{{{\omega ^2}}} =  - \dfrac{{120}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^2}}} =  - 3cm\end{array}$

Giá trị cực tiểu của vận tốc là: $- \omega A$

Phương trình dao động điều hòa:$x = Acos(ωt + φ)$ 

Trong đó, tần số góc của dao động là $\omega$

Tại thời điểm $t = 0,5{\rm{s}} \Rightarrow {\rm{x}} = 3co{\rm{s}}\left( {2\pi .0,5 + \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

$\Rightarrow a =  - {\omega ^2}x = 0cm/{s^2}$

Ta có: x=Acos(ωt+φ)

+ x: li độ dao động của vật

+ A: Biên độ dao động của vật

+ ω: Tần số góc của dao động

+ φ: Pha ban đầu của dao động

+ ωt+φ: Pha dao động tại thời điểm t

Ta có: $x = Acos(\omega t + \varphi )$

PT đầu bài: $x = 2cos(5\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\frac{{7\pi }}{3})cm$

=> Biên độ dao động của vật: $A = 2cm$