Cho một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo trên một sợi dây chỉ nhẹ, không co giãn. Con lắc đang dao động với biên độ góc α1 nhỏ và đang đi qua vị trí cân bằng thì điểm giữa của sợi chỉ bị giữ lại. Biên độ góc dao động sau đó là:
Khi α nhỏ, ta có:
\(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}})^2} = \frac{{{l_1}}}{{0,5{l_1}}} = 2 \to {\alpha _2} = \sqrt 2 {\alpha _1}\)
Một con lắc đơn có chiều dài l. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α0 = 300 rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng vào một chiếc đinh nằm trên đường thẳng đứng cách điểm treo con lắc một đoạn 0,5l. Tính biên độ góc α’0 mà con lắc đạt được sau khi vướng đinh?
Ta có:
\(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\alpha {'_0}}}{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _0}}} = \frac{1}{{0,5}} = 2 \to c{\rm{os}}\alpha {'_0} = 2c{\rm{os}}{\alpha _0} - 1 = 2c{\rm{os3}}{{\rm{0}}^0} - 1 = 0,732 \to {\alpha _2} = 42,{94^0}\)
Chiều dài con lắc đơn 1m. Phía dưới điểm treo O trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng vào điểm O’ cách O một khoảng OO’ = 50cm. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α = 30 rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Biên độ cong trước và sau khi vướng đinh là:
Ta có: Biên độ cong (biên độ dài) s0 = lα0
+ Biên độ dài trước khi vướng đinh:
\({s_{01}} = {l_1}{\alpha _1} = 1.\left( {\frac{{3.\pi }}{{180}}} \right) = 0,0524m = 5,24cm\)
Mặt khác, ta có:
\(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}})^2} = \frac{1}{{0,5}} = 2 \to {\alpha _2} = \sqrt 2 {\alpha _1} = 4,{2426^0} = 0,074{\rm{r}}a{\rm{d}}\)
\( \to {s_{02}} = {l_2}{\alpha _{02}} = 0,5.0,074 = 0,037m = 3,7cm\)
Cho con lắc đơn có chiều dài dây là l1 dao động điều hòa với biên độ góc α. Khi qua vị trí cân bằng, dây treo bị mắc đinh tại vị trí l2 và dao động với biên độ góc β. Mối quan hệ giữa α và β là:
ta có:
\(\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\frac{\beta }{\alpha })^2} \to \beta = \alpha \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} \)
Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kì dao động nhỏ là T1 = 4s và T2 = 4,8s. Kéo hai con lắc lệch một góc nhỏ như nhau rồi đồng thời buông nhẹ. Hỏi sau thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì hai con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí này:
Thời gian ngắn nhất 2 con lắc sẽ đồng thời trở lại vị trí ban đầu:
\(\Delta t = \frac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \frac{{4.4,8}}{{(4,8 - 4)}} = 24{\rm{s}}\)
Hai con lắc đơn có chu kì dao động lần lượt là T1= 0,3s và T2=0,6s được kích thích cho bắt đầu dao động nhỏ cùng lúc. Chu kì dao động trùng phùng của bộ đôi con lắc này bằng:
Ta có, chu kì dao động trùng phùng của bộ đôi con lắc này là:
\(\Delta t = \frac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \frac{{0,3.0,6}}{{(0,6 - 0,3)}} = 0,6{\rm{s}}\)
Đặt con lắc đơn có chiều dài dây treo dài hơn dao động với chu kì T2 gần một con lắc đơn khác có chu kì dao động T1 = 2s. Cứ sau ∆t=200s thì trạng thái dao động của hai con lắc lại giống nhau. Chu kì dao động T2 của con lắc đơn có dây treo dài hơn là:
Do T2 > T1
Do cứ sau một khoảng thời gian \(n{T_2} = (n + 1){T_1} = \Delta t\)thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{ \to 200 = \left( {n + 1} \right){T_1} = (n + 1).2}\\{ \to n = 99}\end{array}\\ \to {T_2} = \frac{{n + 1}}{n}{T_1} = \frac{{99 + 1}}{{99}}.2 = 2,02{\rm{s}}\end{array}\)
Một con lắc đơn dao động tại nơi có g = 9,8m/s2, có chu kì dao động T chưa biết, dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động cùng chiều và trùng với nhau tại vị trí cân bằng của chúng (gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 7 phút 30 giây. Tính chu kì T của con lắc đơn và độ dài dây treo của con lắc đơn.
Do cứ sau một khoảng thời gian \(nT = (n + 1){T_0} = \Delta t\) thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{ \to 7.60 + 30 = \left( {n + 1} \right){T_0} = (n + 1).2}\\{ \to n = 224}\end{array}\\ \to T = \frac{{n + 1}}{n}{T_0} = \frac{{224 + 1}}{{224}}.2 = 2,009{\rm{s}}\end{array}\)
Mặt khác:
\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \to l = \frac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{{(2,009)}^2}9,8}}{{4{\pi ^2}}} = 1,002m\)
Hai con lắc dao động điều hòa trong mặt phẳng song song nhau. Phương trình dao động của hai con lắc tương ứng là \({s_1} = {s_0}{\rm{cos(3}}\pi {\rm{t + }}{\varphi _1})\) và \({s_2} = {s_0}{\rm{cos(4}}\pi {\rm{t + }}{\varphi _1})\). Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng s0/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương, vật thứ hai đi theo chiều âm. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
Từ phương trình dao động của 2 con lắc, ta có:
- Chu kì dao động của con lắc 1:
\({T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _1}}} = \frac{{2\pi }}{{3\pi }} = \frac{2}{3}s\)
- Chu kì dao động của con lắc 2:
\({T_2} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _2}}} = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5s\)
Ta có, khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của 2 vật lặp lại như cũ chính bằng chu kì dao động trùng phùng của hai con lắc.
Chu kì dao động trùng phùng của 2 con lắc:
\(\Delta \tau = \frac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \frac{{\frac{2}{3}.0,5}}{{\left| {\frac{2}{3} - 0,5} \right|}} = 2{\rm{s}}\)
Hai con lắc có cùng biên độ, có chu kì T1 và T2 = 4T1. Tại thời điểm ban đầu chúng đi qua VTCB theo cùng một chiều. Khoảng thời gian ngắn nhất hai con lắc ngược pha nhau là:
Ta có thời gian ngắn nhất để 2 con lắc ngược pha nhau bằng 1/2 chu kì trùng phùng
Ta có chu kì dao động trùng phùng:
\(\Delta \tau = \frac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}} = \frac{{{T_1}.4{T_1}}}{{\left| {3{T_1}} \right|}} = \frac{4}{3}{T_1} = \frac{{{T_2}}}{3}\)
=> Thời gian ngắn nhất để 2 con lắc ngược pha nhau bằng:
\(\frac{{\Delta \tau }}{2} = \frac{{\frac{{{T_2}}}{3}}}{2} = \frac{{{T_2}}}{6}\)
Cho hai con lắc đơn A và B dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song với nhau. Ban đầu kéo vật nặng của hai con lắc về cùng một phía hợp với phương thẳng đứng một góc bằng nhau rồi buông nhẹ cùng một lúc. Biết rằng chu kì dao động của con lắc B nhỏ hơn chu kì dao động của con lắc A. Người ta đo được sau 4 phút 30 giây thì thấy hai vật nặng lại trùng nhau ở vị trí ban đầu. Biết chu kì dao động của con lắc A là 0,5s. Tỉ số chiều dài của con lắc A so với chiều dài con lắc B là:
Ta có, chu kì dao động của con lắc B nhỏ hơn chu kì dao động của con lắc A
Gọi - T1 là chu kì dao động của con lắc A, T2 là chu kì dao động của con lắc B
Ta có khoảng thời gian trùng phùng \(n{T_1} = (n + 1){T_2} = \Delta t\) thì 2 con lắc lại trùng phùng
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta t = 4.60 + 30 = 270 = n{T_1} = n.0,5 \to n = 540\\ \to {T_2} = \frac{n}{{n + 1}}{T_1} = \frac{{540}}{{540 + 1}}.0,5 = 0,499{\rm{s}}\end{array}\)
Mặt khác, ta có:
\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)
\( \to \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} \to \frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {\left( {\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{0,5}}{{0,499}}} \right)^2} = 1,0037\)
Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ A. Biết f1 = 2,5 Hz và f2 = 2 Hz. Ở thời điểm ban đầu 2 vật đều có li x0 = A\(\sqrt 3 \)/2 và 2 vật chuyển động cùng chiều dương . Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu thì trạng thái ban đầu 2 con lắc được lặp lại.
Do cứ sau một khoảng thời gian \(n{T_2} = (n + 1){T_1} = \Delta t\)thì 2 con lắc lại trùng phùng
\(\begin{array}{l} \to n = \frac{{{T_1}}}{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}} = \frac{{\frac{1}{{{f_1}}}}}{{\left| {\frac{1}{{{f_2}}} - \frac{1}{{{f_1}}}} \right|}} = \frac{{\frac{1}{{2,5}}}}{{\left| {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2,5}}} \right|}} = 4\\ \to \Delta t = 4{T_2} = 4\frac{1}{{{f_2}}} = 2{\rm{s}}\end{array}\)
Một con lắc đơn có chiều dài 1 m dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường \(g = {\pi ^2} = 10\,\,m/{s^2}\). Nếu khi vật đi qua vị trí cân bằng dây treo vướng vào đinh nằm cách điểm treo 50 cm thì chu kỳ dao động của con lắc đơn là
Chu kì của con lắc có độ dài dây treo 1 m là:
\(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{1}{{{\pi ^2}}}} = 2\,\,\left( s \right)\)
Chu kì của con lắc có chiều dài dây 50 cm là:
\(T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{g}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{0,5}}{{{\pi ^2}}}} = \sqrt 2 \,\,\left( s \right)\)
Chu kì của con lắc là:
\({T_0} = \dfrac{{T + T'}}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\,\,\left( s \right)\)
