Các dạng bài tập về phóng xạ

$m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}{m_0} \Leftrightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {2^{ - 1,5}} \Rightarrow t = 1,5T$

- Ta có số hạt nhân đã phân rã gấp 15 lần số hạt nhân chưa bị phân rã:

$\Delta N = 15N \Leftrightarrow {N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 15.{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} \Rightarrow t = 4T \Rightarrow T = \dfrac{t}{4}$

- Thời điểm số hạt nhân phóng xạ trong mẫu giảm đi 2 lần: ${N_0}{.2^{ - \dfrac{{{t_1}}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{2} \Rightarrow {t_1} = T$

- Thời điểm số hạt nhân phóng xạ trong mẫu giảm đi 4 lần: ${N_0}{.2^{ - \dfrac{{{t_2}}}{T}}} = \dfrac{{{N_0}}}{4} \Rightarrow {t_2} = 2T$

- Khoảng thời gian kể từ lúc số hạt nhân phóng xạ trong mẫu chất này giảm 2 lần cho đến lúc giảm 4 lần: $\Delta t = {t_2} - {t_1} = T = \dfrac{t}{4}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{\Delta m}}{{{m_0}}}.100\%  = 64\% \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{m_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)}}{{{m_0}}} = 0,64\\ \Leftrightarrow 1 - {2^{ - \dfrac{t}{{15}}}} = 0,64\\ \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{{15}}}} = 0,36 \Rightarrow  - \dfrac{t}{{15}} = {\log _2}\left( {0,36} \right)\\ \Rightarrow t \approx 22h\end{array}$

Ta có:

+ Độ phóng xạ ban đầu của khối chất:

$\begin{array}{l}{H_0} = {H_{01}} + {H_{02}} = \dfrac{{\ln 2}}{{{T_1}}}{N_0} + \dfrac{{\ln 2}}{{{T_2}}}{N_0}\\ = \dfrac{{\ln 2}}{2}{N_0} + \dfrac{{\ln 2}}{3}{N_0}\\ \Rightarrow {N_0}\ln 2 = \dfrac{6}{5}{H_0}\end{array}$

+ Độ phóng xạ tại thời điểm $t = 6h$ là:

$\begin{array}{l}H = {H_{01}}{.2^{ - \dfrac{t}{{{T_1}}}}} + {H_{02}}{.2^{ - \dfrac{t}{{{T_2}}}}}\\ = \dfrac{{\ln 2}}{{{T_1}}}{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{{{T_1}}}}} + \dfrac{{\ln 2}}{{{T_2}}}.{N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{{{T_2}}}}}\\ = \ln 2.{N_0}\left( {\dfrac{{{2^{ - \dfrac{6}{2}}}}}{2} + \dfrac{{{2^{ - \dfrac{6}{3}}}}}{3}} \right) = \dfrac{6}{5}{H_0}\dfrac{7}{{48}} = \dfrac{{7{H_0}}}{{40}}\end{array}$

Ta có PTPƯ sau: ${}_{84}^{210}Po \to \alpha  + {}_{82}^{206}Pb$

+ Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: $\overrightarrow {{p_{Po}}}  = \overrightarrow {{p_\alpha }}  + \overrightarrow {{p_{Pb}}}  = 0 \Rightarrow {p_\alpha } = {p_{Pb}}$

Mà ${p^2} = 2mK \Rightarrow {m_\alpha }{K_\alpha } = {m_{Pb}}{K_{Pb}} \Rightarrow {K_{Pb}} = \dfrac{{{m_\alpha }}}{{{m_{Pb}}}}{K_\alpha }$

+ Năng lượng phân rã: $\Delta E = {K_\alpha } + {K_{Pb}} - {K_{Po}} = {K_\alpha } + {K_{Pb}}$

$\Delta E = {K_\alpha } + \dfrac{{{m_\alpha }}}{{{m_{Pb}}}}{K_\alpha } = \dfrac{{{m_{Pb}} + {m_\alpha }}}{{{m_{Pb}}}}{K_\alpha } \Rightarrow \dfrac{{{K_\alpha }}}{{\Delta E}} = \dfrac{{{m_{Pb}}}}{{{m_{Pb}} + {m_\alpha }}} = \dfrac{{206}}{{206 + 4}} = 0,981 = 98,1\%$

+ Phương trình phóng xạ: ${}_Z^AX \to {}_2^4\alpha  + {}_{Z - 2}^{A - 4}Y$

+ Bảo toàn động lượng ta có: $0 = \overrightarrow {{p_\alpha }}  + \overrightarrow {{p_\gamma }}  \Rightarrow {p_\alpha } = {p_\gamma } \Rightarrow {m_1}{v_1} = {m_2}{v_2} \Rightarrow \dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{{m_2}}}{{{m_1}}}(1)$

+ Lại có: ${p^2} = 2mK \Rightarrow 2{m_1}{K_1} = 2{m_2}{K_2} \Rightarrow \dfrac{{{m_2}}}{{{m_1}}} = \dfrac{{{K_1}}}{{{K_2}}}(2)$

Từ (1) và (2) $\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} = \frac{{{K_1}}}{{{K_2}}}$

+ Phương trình phóng xạ: ${}_Z^AX \to {}_2^4\alpha  + {}_{Z - 2}^{A - 4}Y$

+ Khối lượng hạt nhân mẹ còn lại sau 2 chu kì là: ${m_X} = {m_0}{.2^{\dfrac{{ - t}}{T}}} = {m_0}{.2^{ - 2}}$

+ Khối lượng hạt nhân con sinh ra sau 2 chu kì là: ${m_Y} = {m_0}.\dfrac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {1 - {2^{\dfrac{{ - t}}{T}}}} \right) = {m_0}.\dfrac{{A - 4}}{A}\left( {1 - {2^{ - 2}}} \right)$

Ta có:  $\dfrac{{{m_Y}}}{{{m_X}}} = \dfrac{{\dfrac{{A - 4}}{A}\left( {1 - {2^{ - 2}}} \right){m_0}}}{{{2^{ - 2}}{m_0}}} = \dfrac{{A - 4}}{A}\left( {{2^2} - 1} \right) = \dfrac{{3\left( {A - 4} \right)}}{A}$

+ Khối lượng Y sinh ra sau 3T: ${m_Y} = {m_{con}} = {m_0}.\dfrac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {1 - {2^{ - 3}}} \right) = {m_0}.\dfrac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\left( {1 - {2^{ - 3}}} \right)$

+ Khối lượng X còn lại sau 3T: ${m_X} = {m_0}{.2^{ - 3}}$

=> Tỉ số giữa khối lượng của chất Y và khối lượng của chất X là: $\dfrac{{{m_Y}}}{{{m_X}}} = 7\dfrac{{{A_2}}}{{{A_1}}}$

+ Phương trình phản ứng : ${}_{84}^{210}Po \to {}^4\alpha  + {}^{206}X$

+ Khối lượng của mẫu quặng sẽ bằng khối lượng còn lại của Po và khối lượng của hạt nhân con X. (Hạt α phân tán ra ngoài môi trường dưới dạng tia phóng xạ).

+ Khối lượng Po còn lại trong mẫu: ${m_{Po}} = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {210.2^{ - \dfrac{{276}}{{138}}}} = 52,5g$

+ Khối lượng hạt nhân X sinh ra trong mẫu: ${m_X} = {m_0}.\dfrac{{{A_X}}}{{{A_{Po}}}}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 210.\dfrac{{206}}{{210}}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{{276}}{{138}}}}} \right) = 154,5(g)$

+ Vậy khối lượng của mẫu quặng: $m{\rm{ }} = {\rm{ }}{m_{Pb}} + {\rm{ }}{m_X} = {\rm{ }}52,5{\rm{ }} + {\rm{ }}154,5{\rm{ }} = {\rm{ }}207\left( g \right)$.

+ Số hạt nhân U chứa trong mẫu: ${N_U} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = 1,{188.10^{20}}$

+ Số hạt nhân con tạo thành: ${N_{Pb}} = \Delta {N_U} = {N_0}.\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right) = 6,{239.10^{18}}$

$\dfrac{{{N_U}}}{{{N_{Pb}}}} = \dfrac{{{2^{ - \dfrac{t}{T}}}}}{{1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}}} = \dfrac{{1,{{188.10}^{20}}}}{{6,{{239.10}^{18}}}} \Rightarrow \dfrac{t}{T} = 0,074 \Rightarrow t = 3,{3.10^8}$năm

Khối lượng Pb được tạo thành :

$\begin{array}{l}{m_{Pb}} = {m_{0U}}.\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_U}}}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}})\\ = {m_{0U}}.\dfrac{{206}}{{238}}.(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}})\\ \Rightarrow {m_{0U}} = \dfrac{{{m_{Pb}}.238}}{{\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right).206}} = \dfrac{{0,2.238}}{{\left( {1 - {2^{ - \dfrac{2}{{4,47}}}}} \right).206}} = 0,866g\end{array}$

+ Số hạt $α$ phát ra chính là số hạt nhân đã bị phân rã. Gọi ${N_0}$ là số hạt nhân chất phóng xạ trước khi đo lần thứ nhất.

+  Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta {N_1} = {N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{{{t_1}}}{T}}}) = 8n.\\\Delta {N_2} = N{'_0}(1 - {2^{ - \dfrac{{{t_1}}}{T}}}) = n.\end{array} \right.$

$\Rightarrow \dfrac{{N'}_0}{{N_0^/}} = 8$

Lại có: ${N'_0}=N_0.2^{-\dfrac{t}{T}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{N_0}}}{{{N_0}{{.2}^{-\dfrac{t}{T}}}}} = 8 \Rightarrow {2^{\dfrac{t}{T}}} = {2^3}$

$\to T = \dfrac{t}{3} = \dfrac{414}{3}= 138$ (ngày)

Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 4 chu kì bán rã là:

$m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {m_0}{.2^{ - \dfrac{{4T}}{T}}} = {m_0}{.2^{ - 4}} = \dfrac{{{m_0}}}{16}$

Số hạt nhân X còn lại sau thời gian t là ${N_X} = {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}}$

Số hạt nhân Y sinh ra sau thời gian t là ${N_Y} = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)$

Từ đồ thị ta thấy tại $t = 2$ ngày số hạt nhân X bằng số hạt nhân Y nên ta có

${N_0}{2^{\dfrac{{-2}}{T}}} = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{2}{T}}}} \right) =  > {2^{-\dfrac{{2}}{T}}} = \dfrac{1}{2} =  >  - \dfrac{{2}}{T} =  - 1$

=> $T = 2$ ngày

Vậy tại $t = 6$ ngày, tỷ số giữa hạt nhân X và số hạt nhân Y là $\dfrac{{{N_X}}}{{{N_Y}}} = \dfrac{{{N_0}{{.2}^{\dfrac{{ - 6}}{2}}}}}{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{6}{2}}}} \right)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{8}}}{{\dfrac{7}{8}}} = \dfrac{1}{7}$

Số hạt nhân bị phân rã sau $10$ ngày là:

$\begin{align}& N={{N}_{0}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=\frac{3}{4}{{N}_{0}}\Rightarrow 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}}=\frac{3}{4} \\& \Rightarrow {{2}^{-\frac{t}{T}}}=\frac{1}{4}={{2}^{-2}}\Rightarrow \frac{t}{T}=2\Rightarrow \frac{10}{T}=2\Rightarrow T=5\,\,\left( ngay \right) \\\end{align}$

Ta có: ${\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}}} = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)}} = \dfrac{1}{{{2^{ - \dfrac{t}{T}}}}} = {2^{\dfrac{t}{T}}}$

$\Rightarrow \ln {\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = \ln \left( {{2^{\dfrac{t}{T}}}} \right)$

Từ đồ thị ta thấy:

$\left\{ \begin{array}{l}t = 6ngay\\\ln {\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = 0,467\end{array} \right. \Rightarrow \ln \left( {{2^{\dfrac{6}{T}}}} \right) = 0,467 \Rightarrow T = 8,9ngay$

Khối lượng chất phóng xạ còn lại: $m = \frac{{{m_0}}}{{{2^{\frac{t}{T}}}}} = {m_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} = {m_0}.{e^{ - \lambda t}}$

Số hạt nhân còn lại: $N = \frac{{{N_0}}}{{{2^{\frac{t}{T}}}}} = {N_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} = {N_0}.{e^{ - \lambda t}}$

Độ phóng xạ: $H = \frac{{{H_0}}}{{{2^{\frac{t}{T}}}}} = {H_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} = {H_0}.{e^{ - \lambda t}}$

  t = 8 tuần = 56 ngày = 7.T .Suy ra sau thời gian t thì khối lượng chất phóng xạ ${}_{53}^{131}$I còn lại là :

  $m = {m_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} = {100.2^{ - 7}}$= 0,78 gam .