Các dạng bài tập về phóng xạ

t₁ = 1năm  thì số hạt nhân chưa phân rã (còn lại ) là N₁, theo đề ta có : $\frac{{{N_1}}}{{{N_0}}} = \frac{1}{{{2^{\frac{t}{T}}}}} = \frac{1}{3}$

Sau 1năm nữa tức là t₂ = 2t₁  năm thì số hạt nhân còn lại chưa phân rã là N₂,  ta có :

$\frac{{{N_2}}}{{{N_0}}} = \frac{1}{{{2^{\frac{{{t_2}}}{T}}}}} = \frac{1}{{{2^{\frac{{2{t_1}}}{T}}}}}$ $\Leftrightarrow$$\frac{{{N_2}}}{{{N_0}}} = {\left( {\frac{1}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}$

 T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày. Do đó ta đưa về hàm mũ để giải nhanh như sau :

  $H = {H_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} \Leftrightarrow \dfrac{H}{{{H_0}}} = {2^{ - \dfrac{t}{T}}}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{H}{{{H_0}}} = {2^{ - 3}} = \dfrac{1}{8}$ $= 12,5$ %

Khối lượng hạt nhân đã phân rã: $\Delta m{\rm{ }} = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) = {m_0}\left( {1 - {e^{ - \lambda t}}} \right)$

Khối lượng hạt nhân đã phân rã: $\Delta N{\rm{ }} = {N_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \lambda t}}} \right)$

t = 2 năm, T = 2,6 năm

Ta có: khối lượng hạt nhân đã phân rã: $\Delta m{\rm{ }} = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) \to \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = 1 - {2^{ - \frac{2}{{2,6}}}} = 0,4133 = 41,33\%$

Số hạt nhân nguyên tử có trong 1 gam  ²²⁶Ra là :

$N_0=\dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{1}{{226}}.6,{022.10^{23}} = 2,{6646.10^{21}}$ hạt

Suy ra số hạt nhân nguyên tử Ra phân rã sau 1 s là :

$\Delta N = {N_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 2,{6646.10^{21}}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{1}{{1580.365.86400}}}}} \right) = 3,{70.10^{10}}$ hạt

Ta có:

${m_{Pb}} = \dfrac{{\Delta {m_{Po}}}}{{{A_{Po}}}}.{A_{Pb}} \\= {m_0}\dfrac{{{A_{Pb}}}}{{{A_{Po}}}}(1 - {2^{\dfrac{t}{T}}}) \\= 42\dfrac{{206}}{{210}}(1 - {2^{ - \dfrac{{280}}{{140}}}}) = 30,9mg$

Nhận xét : t = 3T nên ta dùng hàm mũ 2 để giải cho nhanh bài toán :

- Khối lượng Na bị phân rã sau t = 45 giờ = 3T :

$\begin{array}{l}\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 12(1 - {2^{ - 3}})\\ \leftrightarrow \Delta m{\rm{ }} = {\rm{ }}10,5{\rm{ }}g\end{array}$

 - Suy ra khối lượng của Mg tạo thành : ${m_{con}} = \dfrac{{\Delta {m_{me}}.{A_{con}}}}{{{A_{me}}}} = \frac{{10,5}}{{24}}.24 = 10,5g$

Tính t: $\frac{m}{{{m_0}}} = {e^{ - \lambda .t}} \to t = \frac{{T.\ln \frac{{{m_0}}}{m}}}{{\ln 2}} = \frac{{138.\ln \frac{1}{{0,707}}}}{{\ln 2}}$ =69ngày

Ta có $\frac{m}{{{m_0}}}$=$\frac{1}{{{2^{\frac{t}{T}}}}}$=$\frac{1}{{16}} = \frac{1}{{{2^4}}}$ 

$\to \frac{t}{T} = 4 \Rightarrow T = \frac{t}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$  năm

Theo đề , ta có :$\Delta N = 3N$

$\dfrac{{\Delta N}}{N} = \dfrac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{{.2}^{ - \dfrac{t}{T}}}}} = 3 \Leftrightarrow {2^{\dfrac{t}{T}}} - 1 = 3 \Leftrightarrow {2^{\dfrac{t}{T}}} = 4 \Leftrightarrow t = 2T$ 

Gọi m₀ là khối lượng ban đầu của $_{11}^{24}Na$

Khối lượng chất phóng xạ đã bị phân rã:

$\Delta m = {m_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}})$

Theo đầu bài, ta có: ∆m=0,75m₀

$\to \dfrac{{\Delta m}}{{{m_0}}} = (1 - {2^{ - \dfrac{t}{T}}}) = 0,75 \to {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{4} \to \dfrac{t}{T} = 2 \to t = 2T = 30h00$

Ta có: t = 15,2 ngày

Độ phóng xạ còn lại: H = 1-0,9375 = 0,0625

$H = {H_0}{2^{ - \frac{t}{T}}} \to \frac{H}{{{H_0}}} = {2^{ - \frac{t}{T}}} = 0,0625 = \frac{1}{{16}} \to \frac{t}{T} = 4 \to T = \frac{t}{4} = \frac{{15,2}}{4} = 3,8{\rm{ }}ngày$

A phân rã => B + C  

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{P_t}}  = \overrightarrow {{P_s}} \\{m_A}{c^2} = \left( {{m_B} + {m_C}} \right){c^2} + {{\rm{W}}_{{d_B}}} + {{\rm{W}}_{{d_C}}}\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  + {m_C}\overrightarrow {{v_C}} \\\Delta E{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{{d_B}}} + {{\rm{W}}_{{d_C}}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_B}}} = \frac{{{m_C}}}{{{m_B} + {m_C}}}\Delta E\\{{\rm{W}}_{{d_C}}} = \frac{{{m_B}}}{{{m_B} + {m_C}}}\Delta E\end{array} \right.$

$A$ phân rã => $B$ + $\alpha$

áp dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{P_t}}  = \overrightarrow {{P_s}}  \leftrightarrow 0 = {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  + {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \\ \to {m_B}\overrightarrow {{v_B}}  =  - {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \end{array}$

Mặt khác, ta có: ${{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{{{P^2}}}{{2m}}$

$\begin{array}{l} \to P_B^2 = P_\alpha ^2 \leftrightarrow 2{m_B}{{\rm{W}}_{{d_B}}} = 2{m_\alpha }{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}}\\\dfrac{{{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}}}}{{{{\rm{W}}_{{d_B}}}}} = \dfrac{{{m_B}}}{{{m_\alpha }}}\end{array}$ 

${}_{84}^{210}Po \to {}_{82}^{206}Pb + \alpha$

Năng lượng tỏa ra:

$\begin{array}{l}\Delta E = \left( {\sum {m{}_{trc} - \sum {{m_{sau}}} } } \right){c^2} = \left( {{m_{Po}} - \left( {{m_{Pb}} + {m_\alpha }} \right)} \right){c^2}\\ = \left( {209,9828u - (205,9744u + 4,0026u)} \right){c^2} = 5,{8.10^{ - 3}}u{c^2} = 5,4027MeV\end{array}$

Động năng của hạt nhân Pb sau phân rã:

${{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = \dfrac{{{m_\alpha }}}{{{m_{Pb}} + {m_\alpha }}}\Delta E = \dfrac{{4,0026u}}{{205,9744u + 4,0026u}}5,4027MeV = 0,103MeV$ 

$_Z^AX \to _2^4\alpha  + _{Z - 2}^{A - 4}Y$ 

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng, ta có:

$\begin{array}{l}0 = {m_Y}\overrightarrow {{v_Y}}  + {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }}  \to {m_Y}\overrightarrow {{v_Y}}  =  - {m_\alpha }\overrightarrow {{v_\alpha }} \\ \to {v_Y} = \frac{{{m_\alpha }{v_\alpha }}}{{{m_Y}}} = \frac{{4v}}{{A - 4}}\end{array}$ 

Ta có:

${m_U} = {\rm{ }}234,99{\rm{ }}u$

${m_{M0}} = {\rm{ }}94,88{\rm{ }}u$

${m_{La}} = {\rm{ }}138,87{\rm{ }}u$

${m_n} = {\rm{ }}1,0087{\rm{ }}u$

$q{\rm{ }} = {\rm{ }}{46.10^6}J/kg$

Số hạt nhân nguyên tử  ²³⁵U trong  $1g{\rm{ }}U$ là :

$N = \dfrac{{{m_A}}}{A}.{N_A} = \dfrac{1}{{235}}.6,{02.10^{23}} = {\rm{ }}2,{5617.10^{21}}$  hạt

Năng lượng toả ra khi giải phóng hoàn toàn 1 hạt nhân  U phân hạch là:

$\begin{array}{l}\Delta E = \left( {{M_0} - M} \right){c^2}\\ = \left[ {\left( {{m_U} + {m_n}} \right) - \left( {{m_{Mo}} + {m_{La}} + 2{m_n}} \right)} \right]{c^2}\\ = \left[ {\left( {234,99u + 1,0087u} \right) - \left( {94,88u + 138,87u + 2.1,0087u} \right)} \right]{c^2}\\ = 0,2313u{c^2} = 215,3403MeV\end{array}$

Năng lượng khi 1 gam U phản ứng phân hạch :

$\begin{array}{l}E = \Delta E.N = 215,3403.2,{5617.10^{21}}\\ = 5,{5164.10^{23}}MeV = 8,{826.10^{10}}J\end{array}$

Khối lượng xăng cần dùng để có năng lượng tương đương    

$m = \dfrac{{\Delta E}}{{{{46.10}^6}}} = \dfrac{{8,{{826.10}^{10}}}}{{{{46.10}^6}}} \approx 1919kg$

Gọi N₀ là số nguyên tử của U238 và cũng là số nguyên tử của U235 ở thời điểm tạo thành trái đất.

Số nguyên tử của chúng tại thời điểm t: ${N_1} = {N_0}{2^{ - \frac{t}{{{T_1}}}}};{N_2} = {N_0}{2^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}$ 

Theo đầu bài, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}} = 140 = \frac{{{2^{ - \frac{t}{{{T_1}}}}}}}{{{2^{ - \frac{t}{{{T_2}}}}}}} = {2^{\frac{t}{{{T_2}}} - \frac{t}{{{T_1}}}}} = 140 \to \frac{t}{{{T_2}}} - \frac{t}{{{T_1}}} = \log _2^{140} = 7,13\\ \to t\left( {\frac{1}{{{T_2}}} - \frac{1}{{{T_1}}}} \right) = 7,13 \to t = 60,{4.10^8}\end{array}$ 

Ta có: $N = {N_0}{e^{ - \lambda t}} \Rightarrow$Số hạt bị phân rã là:

$\Delta N = {N_0} - {N_0}{e^{ - \lambda t}} = {N_0}(1 - {e^{ - \lambda t}})$

$\Rightarrow \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 - {e^{ - \lambda t}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = {e^{ - \lambda t}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)}} = {e^{\lambda t}} \Rightarrow \ln {\left( {1 - \dfrac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)^{ - 1}} = \lambda t$

 Từ đồ thị ta thấy $\lambda  \approx 0,078$

$\Rightarrow T = \dfrac{{\ln 2}}{\lambda } \approx 8,9$ (ngày)