Các dạng bài tập về phóng xạ

Ta có: $Po \to \alpha  + Pb$

$\Delta E = \left( {{m_{Po}} - {m_\alpha } - {m_{Pb}}} \right).{c^2} = 5,{8.10^{ - 3}}u{c^2} = 5,4027MeV$

Ta có: ${{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} + {{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = \Delta E$  (1)

Lại có: $\overrightarrow {{P_{Po}}}  = \overrightarrow {{P_\alpha }}  + \overrightarrow {{P_{Pb}}}$

Có ${v_{Po}} = 0 \Rightarrow {P_{Po}} = 0 \Rightarrow {P_\alpha } = {P_{Pb}}$

$\Rightarrow P_\alpha ^2 = P_{Pb}^2 \Rightarrow {m_\alpha }{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} = {m_{Pb}}{{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\rm{W}}_{{d_\alpha }}} = 5,29MeV\\{{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = 0,1029MeV = 1,{6464.10^{ - 14}}J\end{array} \right.$

Lại có ${{\rm{W}}_{{d_{Pb}}}} = \dfrac{1}{2}{m_{Pb}}v_{Pb}^2$

$\Rightarrow {v_{Pb}} = \sqrt {\dfrac{{2{W_{{d_{Pb}}}}}}{{{m_{Pb}}}}}  = \sqrt {\dfrac{{2.1,{{6464.10}^{ - 14}}}}{{205,9744.1,{{66055.10}^{ - 27}}}}}  = 3,{06.10^5}m/s$

Khối lượng Co còn lại sau 10,66 năm là:

$m = {m_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = {1000.2^{ - \dfrac{{10,66}}{{5,33}}}} = 250g$

Số nguyên tử Coban còn lại là:

$N = \dfrac{m}{A}.{N_A} = \dfrac{{250}}{{60}}.6,{02.10^{23}} = 2,{51.10^{24}}$

Số hạt nhân bị phân rã là: $\Delta N = \dfrac{7}{8}{N_0}$

Số hạt nhân còn lại là: $N\left( t \right) = {N_0} - \Delta N = {N_0} - \dfrac{7}{8}{N_0} = \dfrac{1}{8}{N_0}$

$\Rightarrow {N_0}{.2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8}{N_0} \Rightarrow {2^{ - \dfrac{t}{T}}} = \dfrac{1}{8} = {2^{ - 3}} \Rightarrow \dfrac{t}{T} = 3 \Rightarrow t = 3T = 3.138 = 414$ (ngày)

Số hạt nhân mẹ còn lại sau thời gian t được xác định bởi:  $N = {N_0}{.2^{\frac{{ - t}}{T}}}$

Số hạt nhân con được tạo thành hay số hạt nhân mẹ đã bị phân rã sau thời gian t được xác định bởi:

$\begin{array}{l} N' = {N_0} - N = {N_0}.(1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}}) = 70\% {N_0}\\ \Rightarrow (1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}}) = 70\% = 0,7 \Rightarrow {2^{\frac{{ - t}}{T}}} = 0,3\\ \Rightarrow t = - T.{\log _2}(0,3) = 1,74T = 1,74.3,8 = 6,6 \end{array}$

Vậy thời gian là 6,6 ngày.

Gọi $\Delta N$ là liều lượng cho một lần chiếu xạ (∆N = hằng số)

Trong lần chiếu xạ đầu tiên: $\Delta N = {N_{01}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)$

Trong lần chiếu xạ tiếp theo sau đó 2 năm: $\Delta N = {N_{02}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}} \right)$

Với: ${N_{02}} = {N_{01}}{.2^{ - \frac{{\Delta t}}{T}}} \Rightarrow \Delta N = {N_{01}}{.2^{ - \frac{{\Delta t}}{T}}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  ${N_{01}}{.2^{ - \frac{{\Delta t}}{T}}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}} \right) = {N_{01}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}} \right)$

$\Leftrightarrow {2^{ - \frac{{\Delta t}}{T}}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{T}}}} \right) = 1 - {2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}\,\,\,\left( * \right)$

Với: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta t = 2\,\left( {nam} \right)\\{t_1} = 10p\\T = 4\left( {\,nam} \right)\end{array} \right.$

Thay vào (*) ta được: ${2^{ - \frac{2}{4}}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{{{t_2}}}{{4.365.24.60}}}}} \right) = 1 - {2^{ - \frac{{10}}{{4.365.24.60}}}}$

$\Leftrightarrow {2^{ - \frac{{{t_2}}}{{4.365.24.60}}}} = 1 - \sqrt 2 .\left( {1 - {2^{ - \frac{{10}}{{4.365.24.60}}}}} \right) \Rightarrow {t_2} = 14,1phut$

Số hạt đã bị phân rã được xác định theo công thức:$\Delta N = {N_0}.\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Hàm số $\Delta N = {N_0}.\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$ tăng từ 0 theo t và có tiệm cận ngang đi qua ${N_0}$.

$\Rightarrow$ Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của $\Delta N$ theo thời gian là đồ thị B.

Độ phóng xạ của hạt nhân ${}^{60}Co$ là:

$\begin{array}{l}H = N\dfrac{{\ln 2}}{T} \Rightarrow N = \dfrac{{H.T}}{{\ln 2}}\\ \Rightarrow N = \dfrac{{6000.3,{{7.10}^{10}}.5,27.365,25.86400}}{{\ln 2}} \approx 5,{33.10^{22}}\,\,\left( {hat} \right)\end{array}$

Ta có:

$\dfrac{{hc}}{\lambda } = {{\rm{W}}_\alpha } - {\rm{W}}_\alpha'$

$\Leftrightarrow \dfrac{{hc}}{\lambda } = \dfrac{{{m_{Th}}}}{{{m_{Th}} + {m_\alpha }}}\left( {{m_U} - {m_{Th}} - {m_\alpha }} \right){c^2} - {\rm{W}}_\alpha'$

$\Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = \dfrac{{229,9737u}}{{229,9737u + 4,00151u}}.(233,9904u - 229,9737u - 4,00151u).{c^2} - 12,89MeV$

$\Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = 0,983.0,01519u.{c^2} - 12,89MeV$

$\Leftrightarrow \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{\lambda } = 0,983.0,01519.\dfrac{{931,5MeV}}{{{c^2}}}.{c^2} - 12,89MeV$

$\Leftrightarrow \lambda  = \dfrac{{6,{{625.10}^{ - 34}}{{.3.10}^8}}}{{(0,983.0,01519.931,5 - 12,89){{.10}^6}.1,{{6.10}^{ - 19}}}}$

$\Leftrightarrow \lambda  = 1,{22.10^{ - 12}}\left( m \right)$