Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao \(h = 640m\) so với mặt đất thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm sâu \(h'\) so với mặt đất thấy đồng hồ giống ở độ cao \(h\). Xác định độ sâu của hầm. Coi nhiệt độ là không đổi.
+ Gọi chu kì chạy đúng của đồng hồ là \(T\)
Chu kì của đồng hồ khi ở độ cao h là: ${T_1}$
Chu kì của đồng hồ khi ở hầm sâu h’ là: ${T_2}$
+ Theo đầu bài, ta có: ${T_1} = {\rm{ }}{T_2}$
+ Thời gian đồng hồ ở độ cao h chạy chậm so với đồng hồ chạy đúng trong 1s là: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{h}{R}\)
+ Thời gian đồng hồ ở hầm sau h’ chạy chậm so với đồng hồ chạy đúng trong 1s là: \(\dfrac{{\Delta T'}}{T} = \dfrac{{h'}}{{2R}}\)
\(\begin{array}{l} \to \dfrac{h}{R} = \dfrac{{h'}}{{2R}}\\ \to h' = 2h = 2.640 = 1280m\end{array}\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi ngang mặt biển, có $g = 9,86m/{s^2}$ và nhiệt độ ${t_1} = {22^0}C$. Thanh treo quả lắc nhẹ, làm bằng kim loại có hệ số nở dài \(\alpha = {2.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\). Đưa đồng hồ treo lên cao $640m$ so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng. Tính nhiệt độ ở độ cao ấy. Coi trái đất hình cầu có bán kính $6400km$.
Đưa đồng hồ lên cao 0,64km so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng vì khi đưa đồng hồ lên cao gia tốc trọng trường giảm nên chu kì T tăng nhưng ở trên cao nhiệt độ giảm.
Sự tăng chu kì do độ cao được bù trừ với sự giảm chu kì do nhiệt độ nên chu kì con lắc không thay đổi nên đồng hồ vẫn chạy đúng.
Áp dụng công thức tính thời gian chạy sai của đồng hồ trong 1s khi thay đổi độ cao và nhiệt độ:
\(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R}\)
Đồng hồ vẫn chạy đúng tương đương với $\Delta T = 0$
\(\begin{array}{l} \to \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R} = 0 \to \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = - \dfrac{h}{R}\\ \to {t_2} = {t_1} - \dfrac{{2h}}{{\alpha R}} = 22 - \dfrac{{2.0,64}}{{{{2.10}^{ - 5}}.6400}} = {12^0}C\end{array}\)
Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao $h{\rm{ }} = 8,4km$. Biết bán kính trái đất $R{\rm{ }} = {\rm{ }}6400km$, coi chiều dài con lắc đơn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Muốn chu kì của con lắc đơn không thay đổi thì chiều dài của con lắc phải thay đổi thế nào?
Cách 1:
Ta có:
+ Chu kì dao động của con lắc tại mặt đất: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} \)
+ Chu kì dao động của con lắc tại độ cao h: \(T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}} \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}\\{g_h} = \dfrac{{GM}}{{{{(R + h)}^2}}}\end{array} \right.\)
Theo đề bài, chu kì dao động con lắc không thay đổi
\(\begin{array}{l} \to T = T' \leftrightarrow 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}} \\ \to \dfrac{{l'}}{l} = \dfrac{{{g_h}}}{g} = {\left( {\dfrac{R}{{R + h}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{6400}}{{6400 + 12,8}}} \right)^2} = 0,996\end{array}\)
=> Cần giảm chiều dài của con lắc $\left( {1 - 0,996} \right) = 0,004 = 0,4\% $
Cách 2:
Bài toán xác định độ thay đổi chiều dài dây để con lắc chạy đúng khi thay đổi độ cao ta có:
\(\dfrac{{\Delta l}}{l} = - \dfrac{{2h}}{R} = - \dfrac{{2.12,8}}{{6400}} = - {4.10^{ - 3}} < 0\)
=> Cần giảm chiều dài của con lắc một lượng bằng $0,4\% $
Một đồng hồ chạy đúng ở nhiệt độ\({t_1} = {\rm{ }}{100^ \circ }C\), nếu nhiệt độ tăng đến t2 = \({200^ \circ }C\) thì mỗi ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm là bao nhiêu? Hệ số nở dài α = 2.10-5 K-1
Khi nhiệt độ thay đổi ta có:
\(\dfrac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \left| {\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}.100 = {10^{ - 3}}\)
\({t_2} > {t_1}\): đồng hồ chạy chậm lại
Lượng thời gian chạy chậm là: \(\theta = \Delta t\dfrac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = {86400.10^{ - 3}} = 8,64(s)\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất và ở nhiệt độ t1 = 250C. Biết hệ số dãn nở vì nhiệt của dây treo con lắc α = 10-4 K-1, bán kính Trái Đất R = 6400 km. Nếu đưa con lắc xuống độ sâu 6,4 km so với bề mặt Trái Đất và nhiệt độ ở đó là 450C thì mỗi ngày đêm đồng hồ sẽ chạy
Đồng hồ ở mặt đất và nhiệt độ \({t_1}\):\({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_1}}}} \)
Đồng hồ ở độ sâu d ở nhiệt độ \({t_2}\):\({T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_d}}}} \)
Khi diễn ra sự thay đổi cả về độ sâu và nhiệt độ thì ta có:
\(\dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{R}\)
Khi đó, độ biến đổi chu kỳ khi con lắc là:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{R}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}{.10^{ - 4}}.(45 - 25) + \dfrac{1}{2}\dfrac{{6,4}}{{6400}} = 1,{5.10^{ - 3}}\\ \to \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} > 1\end{array}\)
Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm lại và lượng thời gian chạy chậm là:
\(\theta = \Delta t\dfrac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = 129,6(s)\)
Một đồng hồ quả lắc được xem như con lắc đơn mỗi ngày chạy nhanh 86,4(s). Phải điều chỉnh chiều dài của dây treo như thế nào để đồng hồ chạy đúng?
Lượng chạy sai trong mỗi ngày đêm của đồng hồ là: \(\theta = \Delta t\dfrac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}\)
Khi chiều dài dây treo thay đổi ta có: \(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta l}}{l}\)
\( \Rightarrow \theta = \Delta t\dfrac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t.\dfrac{{\Delta l}}{{2l}}\)
\(\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow 86,4 = 24.60.60\dfrac{{\Delta l}}{{2l}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta l}}{l} = 0,2\% \end{array}\)
Vậy để đồng hồ chạy đúng thì chiều dài cần tăng 0,2%
Một đồng hồ quả lắc có quả lắc được xem như một con lắc đơn có chu kỳ T1 = 2 s ở thành phố A với nhiệt độ t1 = 250C và gia tốc trọng trường g1 = 9,793 m/s2. Hệ số nở dài của thanh treo α = 2.10-5 K-1. Cũng đồng hồ đó ở thành phố B với t2 = 350C và gia tốc trọng trường g2 = 9,787 m/s2. Mỗi tuần đồng hồ chạy
Xét sự thay đổi T theo nhiệt độ:
Đồng hồ ở thành phố A ở nhiệt độ \({t_1}\):\({T_1} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_1}}}} \)
Đồng hồ ở thành phố B ở nhiệt độ \({t_2}\):\({T_2} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_2}}}} \)
Khi diễn ra sự thay đổi cả về vị trí và nhiệt độ thì ta có:
\(\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} \approx 1 - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{{{g_1}}} + \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)
Khi đó, độ biến đổi chu kỳ khi con lắc từ thành phố A đến thành phố B là:
\(\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1 = - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{{{g_1}}} + \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1 = - \dfrac{1}{2}\dfrac{{(9,787 - 9,793)}}{{9,793}} + \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}.10 = 4,{06.10^{ - 3}} \Rightarrow \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} > 1\)
Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm lại
Lượng chạy chậm hơn trong một tuần là: \(\theta = \Delta t\left| {\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = 7.86400.4,{06.10^{ - 3}} = 246({\rm{s)}}\)
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao \(h = 640m\) so với mặt đất thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm sâu \(h'\) so với mặt đất thấy đồng hồ giống ở độ cao \(h\). Xác định độ sâu của hầm. Coi nhiệt độ là không đổi.
+ Gọi chu kì chạy đúng của đồng hồ là \(T\)
Chu kì của đồng hồ khi ở độ cao h là: \({T_1}\)
Chu kì của đồng hồ khi ở hầm sâu h’ là: \({T_2}\)
+ Theo đầu bài, ta có: \({T_1} = {\rm{ }}{T_2}\)
+ Thời gian đồng hồ ở độ cao h chạy chậm so với đồng hồ chạy đúng trong 1s là: \(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{h}{R}\)
+ Thời gian đồng hồ ở hầm sau h’ chạy chậm so với đồng hồ chạy đúng trong 1s là: \(\frac{{\Delta T'}}{T} = \frac{{h'}}{{2R}}\)
\(\begin{array}{l} \to \frac{h}{R} = \frac{{h'}}{{2R}}\\ \to h' = 2h = 2.640 = 1280m\end{array}\)
Chọn câu trả lời đúng. Khi nói về con lắc đơn, ở nhiệt độ không đổi thì:
Ta có, đồng hồ chạy nhanh khi T giảm, chạy chậm khi T tăng
+ Khi đưa lên độ cao h => g giảm => T tăng => Đồng hồ chạy chậm
+ Khi đưa xuống độ sâu d => g giảm => T tăng => Đồng hồ chạy chậm
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ khi ở nhiệt độ t10C. Con lắc đồng hồ có thể xem là con lắc đơn và có chiều dài ở 00C là l0. Hệ số nở dài của con lắc là α. Khi nhiệt độ là t20C, hỏi tỉ số \(\frac{{\Delta T}}{T}\) là?
Tỉ số: \(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)
Một đồng hồ quả lắc chỉ đúng giờ vào mùa nóng và khi nhiệt độ trung bình là 320C . Con lắc đồng hồ có thể xem là con lắc đơn và có chiều dài ở 00C là l0 = 1m. Hệ số nở dài của con lắc là \(\alpha = {2.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\). Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170C, hỏi đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau 12h.
Ta có:
+ t1 = 320C, t2 = 170C,
+ Gọi T1 và T2 là chu kì dao động của con lắc ở t1 và t2
\(\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}\left( {17 - 32} \right) = - 1,{5.10^{ - 4}} < 0\)
=> Đông hồ chạy nhanh
=> Sau 12h đồng hồ chạy nhanh khoảng thời gian là: \(\theta = \frac{{\Delta T}}{T}.12.60.60 = 6,48s\)
Với g0 là gia tốc rơi tự do ở mặt đất, R - là bán kính Trái Đất. Ở độ cao h so với mặt đất gia tốc rơi tự do của một vật là:
Ở độ cao h so với mặt đất, gia tốc rơi tự do của một vật là: \({g_h} = g_0\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\)
Một con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc lên độ cao h=1,6km thì một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất R = 6400km.
Ta có:
\(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{h}{R} = \frac{{1,6}}{{6400}} = 2,{5.10^{ - 4}}\)
=> Đồng hồ chạy chậm
=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là:
\(\theta = \frac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 21,6s\)
Với g0 là gia tốc rơi tự do ở mặt đất, R - là bán kính Trái Đất. Ở độ sâu d so với mặt đất gia tốc rơi tự do của một vật là:
Ở sâu d so với mặt đất, gia tốc rơi tự do của một vật là: \({g_d} = g_0\dfrac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\)
Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc xuống độ sâu d = 6400m so với mặt nước biển thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất là 6400km.
Ta có:
\(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{d}{{2R}} = \frac{{6,4}}{{2.6400}} = {5.10^{ - 4}}\)
=> Đồng hồ chạy chậm
=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là:
\(\theta = \frac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 43,2s\)
Con lắc của đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn khi ở trên mặt đất với nhiệt độ t = 270C thì đồng hồ chạy đúng. Hỏi khi đưa đồng hồ này lên độ cao 1km so với mặt đất thì nhiệt độ phải là bao nhiêu để đồng hồ vẫn chạy đúng. Biết bán kính Trái đất là R = 6400km và hệ số nở dài của thanh treo con lắc là \(\alpha = 1,{5.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có, công thức xác định thời gian chạy sai của đồng hồ quả lắc:
\(\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \frac{h}{R}\)
Mặt khác, theo đề bài đồng hồ vẫn chạy đúng,
Suy ra:
\(\begin{array}{l}\frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \frac{h}{R} = 0 \to \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = - \frac{h}{R}\\ \leftrightarrow \frac{1}{2}.1,{5.10^{ - 5}}\left( {{t_2} - {t_1}} \right) = - \frac{1}{{6400}}\\ \to \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = - 20,833 \to {t_2} = 6,{17^0}\end{array}\)
Một con lắc đơn ở mặt đất có chu kì dao động T = 2s. Biết khối lượng trái đất gấp 81 lần khối lượng mặt trăng và bán kính trái đất gấp 3,7 lần bán kính mặt trăng. Tìm chu kì con lắc khi đưa con lắc lên mặt trăng:
Ta có:
- Chu kì dao động của con lắc khi ở trái đất:
\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \) với \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
- Chu kì dao động của con lắc khi ở Mặt Trăng:
\(T' = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{g'}}} \)với \(g' = \frac{{Gm}}{{R{'^2}}} = \frac{{G\frac{M}{{81}}}}{{{{(\frac{R}{{3,7}})}^2}}} = \frac{{G.3,{7^2}}}{{81{R^2}}}\)
\( \to \frac{{T'}}{T} = \sqrt {\frac{g}{{g'}}} = \sqrt {\frac{1}{{\frac{{3,{7^2}}}{{81}}}}} = 2,43 \to T' = 2,43T = 2,43.2 = 4,86{\rm{s}}\)
=> Chu kì con lắc ở mặt trăng là 4,86s
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Ở nhiệt độ trung bình bằng 200C gồm vật nặng m và thanh treo mảnh, nhẹ bằng kim loại có hệ số nở dài \(\alpha = {2.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\). Đưa đồng hồ vào TP. Hồ Chí Minh có nhiệt độ trung bình 300C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm so với Hà Nội mỗi ngày bao nhiêu giây. Biết gia tốc trọng trường ở Hà Nội (g = 9,787 m/s2) ở TP.HCM (g = 9,793m/s2)
Đưa đồng hồ từ Hà Nội vào thành phố HCM do nhiệt độ và gia tốc trọng trường g thay đổi nên đồng hồ sẽ chạy sai
Áp dụng công thức tính thời gian chạy sai của đồng hồ trong 1s khi thay đổi nhiệt độ và vị trí trên trái đất:
\(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}} = \frac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}\left( {30 - 20} \right) - \frac{1}{2}\frac{{(9,793 - 9,787)}}{{9,787}} = - 2,{07.10^{ - 4}} < 0\)
=> Đồng hồ chạy nhanh
Mỗi ngày, đồng hồ chạy nhanh khoảng thời gian: \(\theta = \left| {\frac{{\Delta T}}{T}} \right|.24.60.60 = 17,84{\rm{s}}\)
Con lắc của một đồng hồ coi như một con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng khi ở mặt đất, ở độ cao 3,2km nếu muốn đồng hồ chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài con lắc như thế nào? Biết bán kính trái đất là 6400km
Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn
+ Ở mặt đất: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \) với \(g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)
+ Ở độ cao h:
\(T' = 2\pi \sqrt {\frac{{l'}}{{{g_h}}}} \) với \({g_h} = \frac{{GM}}{{{{(R + h)}^2}}}\)
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h tương đương với T = T’
\(\begin{array}{l}T = T' \leftrightarrow 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{l'}}{{{g_h}}}} \leftrightarrow \frac{{l'}}{l} = \frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}} = {\left( {1 + \frac{h}{R}} \right)^2} \approx 1 - \frac{{2h}}{R}\\ \to \frac{{\Delta l}}{l} = - \frac{{2h}}{R} = - \frac{{2.3,2}}{{6400}} = - {10^{ - 3}}\end{array}\)
=> Cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng 10-3 chiều dài ban đầu hay giảm 0,1%
Quả lắc đồng hồ có thể xem là một con lắc đơn dao động tại một nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s2. Ở nhiệt độ 150C đồng hồ chạy đúng và chu kì dao động là 2s. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 250C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu trong một ngày đêm. Cho hệ số nở dài của thanh treo con lắc là \(\alpha = {4.10^{ - 5}}{K^{ - 1}}\)
Ta có, thời gian quả lắc đồng hồ chạy sai trong 1s là:
\(\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \frac{1}{2}{.4.10^{ - 5}}\left( {25 - 15} \right) = {2.10^{ - 4}} > 0\)
=> Đồng hồ chạy chậm
Trong một ngày đêm, đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là:
\(\theta = \frac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 17,28{\rm{s}}\)
