Bài tập Sự nhanh chậm của đồng hồ quả lắc

Ta có:

$l = {l_0}\left( {1 + \alpha \Delta t} \right)$

=> Nhiệt độ giảm => $l$ giảm => $T$ giảm (Con lắc chạy nhanh ) => $f$ tăng => A,C sai.

=> Nhiệt độ tăng => $l$ tăng => $T$ tăng ( con lắc chạy chậm ) =>$f$ giảm => B sai.

Ta có:

$l = {l_0}\left( {1 + \alpha \Delta t} \right)$ và $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$

=> Nhiệt độ giảm => $l$ giảm => $T$ giảm

=> Con lắc chạy nhanh

Gọi $T, T'$ lần lượt là chu kì của con lắc ở độ cao h và ở mặt đất.

Ta có:

Khi đưa con lắc lên độ cao h thì:

$\begin{array}{l}\dfrac{{T'}}{T} = \dfrac{{2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{g'}}} }}{{2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} }} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{g}{{g'}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{{G\dfrac{M}{{{R^2}}}}}{{G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}}  = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} \left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)\end{array}$

Vì chỉ thay đổi chiều cao nên chiều dài của con lắc $l$ - không đổi

$\to \dfrac{{T'}}{T} = 1 + \dfrac{h}{R} \to T' > T$

=> Khi đưa con lắc xuống mặt đất con lắc sẽ chạy nhanh

Khi đưa đồng hồ xuống độ sâu d thì:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{g}{{{g_d}}}} \\{g_d} = g\dfrac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\end{array} \right. \\\to \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{R}{{\left( {R + h} \right)}}}  \\= \sqrt {\dfrac{1}{{1 - \dfrac{d}{R}}}} = {\left( {1 - \dfrac{d}{R}} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \\\approx 1 + \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{R}$

$\begin{array}{l} \to \dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{d}{{2R}}\\ \to T' > T\end{array}$

=> Khi đưa đồng hồ lên mặt đất thì đồng hồ chạy chậm

Ta có:

Khi đưa con lắc lên độ cao h thì:

$\begin{array}{l}\dfrac{{T'}}{T} = \dfrac{{2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{g'}}} }}{{2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}} }} = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{g}{{g'}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} .\sqrt {\dfrac{{G\dfrac{M}{{{R^2}}}}}{{G\dfrac{M}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}}}}  = \sqrt {\dfrac{{l'}}{l}} \left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)\end{array}$

Vì chỉ thay đổi chiều cao nên chiều dài của con lắc $l$ - không đổi

$\to \dfrac{{T'}}{T} = 1 + \dfrac{h}{R} \to T' > T \to f' < f$

=> Khi đưa lên cao tần số giảm vì gia tốc trọng trường giảm theo độ cao

Ta có tỉ số:

$\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t$

Ta có, khi nhiệt độ và vị trí thay đổi,

$\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}$

Theo đầu bài, ta có: chu kì tại A và B như nhau

$\begin{array}{l} \to \dfrac{{\Delta T}}{T} = 0 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g} = 0\\ \to \dfrac{{\Delta g}}{{{g_A}}} = \alpha \Delta t = {4.10^{ - 5}}\left( {10 - 25} \right) =  - {6.10^{ - 4}}\\ \to \Delta g =  - {6.10^{ - 4}}g\end{array}$

=> Gia tốc trọng trường tại B giảm $0,06\%$

Ta có:

+  ${t_1} = {\rm{ }}{15^0}C,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}{25^0}C$

+ Gọi $T$  và $T'$ là chu kì dao động của con lắc ở ${t_1}$ và ${t_2}$

$\begin{array}{l}\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}{.4.10^{ - 5}}\left( {25 - 15} \right)\\ = {2.10^{ - 4}} > 0\end{array}$

=> Đông hồ chạy chậm

=> Sau một ngày đêm (24h) đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 17,28s$

Ta có, khi thay đổi độ cao

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\dfrac{g}{{{g_h}}}} \\{g_h} = g\dfrac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\end{array} \right. \to \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \dfrac{{\left( {R + h} \right)}}{R} = 1 + \dfrac{h}{R}$

$\to \dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{h}{R} = 1 + \dfrac{5}{{6400}} = 1,00078\\ \to {T_2} = 1,00078{T_1} = 0,50039s\end{array}$

$h = 4000m = 4km$

Ta có: $\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R} = \dfrac{4}{{6400}} = 6,{25.10^{ - 4}}$

=> Đồng hồ chạy chậm

=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 54s$

Ta có: $\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R}$

=> Sau một ngày đêm = 24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 120s$

$\begin{array}{l} \leftrightarrow \dfrac{h}{R}.86400 = 120\\ \to \dfrac{h}{R} = \dfrac{1}{{720}}\end{array}$

$h = 300m = 0,3km$

Ta có: $\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{h}{R} = \dfrac{{0,3}}{{6400}} = 4,{6875.10^{ - 5}}$

=> Đồng hồ chạy chậm

=> Sau 30 ngày = (30. 24h) đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.30.24.60.60 = 121,5s$

$d = 300m = 0,3km$

Ta có: $\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{d}{{2R}} = \dfrac{{0,3}}{{2.6400}} = 2,{34375.10^{ - 5}}$

=> Đồng hồ chạy chậm

=> Sau 30 ngày = 30.24h đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.30.24.60.60 = 60,75s$

Ta có, công thức xác định thời gian chạy sai của đồng hồ quả lắc:  $\dfrac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R}$

Mặt khác, theo đề bài con lắc chaỵ nhanh 4,32s trong một ngày đêm

$\to \dfrac{{\Delta T}}{T} < 0$

Suy ra:

$\begin{array}{l}\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{{{T_1}}}.24.60.60 =  - 4,32s\\ \leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) + \dfrac{h}{R}} \right).86400 =  - 4,32\\ \to \dfrac{1}{2}{2.10^{ - 5}}\left( {10 - 30} \right) + \dfrac{h}{R} =  - {5.10^{ - 5}}\\ \leftrightarrow \dfrac{h}{R} = 1,{5.10^{ - 4}}\\ \to h = 1,{5.10^{ - 4}}R = 0,96km\end{array}$

Ta có:

- Chu kì dao động của con lắc khi ở trái đất: ${T_0} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_0}}}}$ với ${g_0} = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}$

- Chu kì dao động của con lắc khi ở Mặt Trăng: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$với $g = \dfrac{{Gm}}{{R{'^2}}} = \dfrac{{{g_0}}}{6}$

$\begin{array}{l} \to \dfrac{T}{{{T_0}}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{g}}  = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{{\dfrac{{{g_0}}}{6}}}}  = \sqrt 6 \\ \to T = \sqrt 6 {T_0}\end{array}$

Ta có:

- Chu kì dao động của con lắc khi ở trái đất: ${T_0} = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{{{g_0}}}}$ với ${g_0} = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}$

- Chu kì dao động của con lắc khi ở Mặt Trăng: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$với $g = \dfrac{{Gm}}{{R{'^2}}} = \dfrac{{{g_0}}}{6}$

$\to \dfrac{T}{{{T_0}}} = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{g}}  = \sqrt {\dfrac{{{g_0}}}{{\dfrac{{{g_0}}}{6}}}}  = \sqrt 6$

=> Chu kì dao động của con lắc sẽ tăng $\sqrt 6  \approx 2,45$ lần

Chu kì dao động của con lắc khi thay đổi cả vị trí và nhiệt độ: $\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \dfrac{1}{2}\alpha \Delta t - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\Delta g}}{g}\\ = 1 + \dfrac{1}{2}{17.10^{ - 6}}\left( {30 - 20} \right) - \dfrac{1}{2}\dfrac{{\left( {9,809 - 9,813} \right)}}{{9,813}}\\ = 1 + 8,{5.10^{ - 5}} - \left( { - 2,{{038.10}^{ - 4}}} \right) = 1,0002888\\ \to {T_2} = 1,0002888{T_1} = 2,0005776s\end{array}$

Ta có, chu kì dao động của con lắc đơn

+ Ở mặt đất: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}$ với $g = \dfrac{{GM}}{{{R^2}}}$

+ Ở độ cao h: $T' = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}}$ với ${g_h} = \dfrac{{GM}}{{{{(R + h)}^2}}}$

Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h tương đương với T = T’

$\begin{array}{l}T = T' \leftrightarrow 2\pi \sqrt {\dfrac{l}{g}}  = 2\pi \sqrt {\dfrac{{l'}}{{{g_h}}}} \\ \leftrightarrow \dfrac{{l'}}{l} = \dfrac{{{g_h}}}{g} = \dfrac{{{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}} = {\left( {1 + \dfrac{h}{R}} \right)^2} \approx 1 - \dfrac{{2h}}{R}\\ \to \dfrac{{\Delta l}}{l} =  - \dfrac{{2h}}{R} =  - \dfrac{{2.10}}{{6400}} =  - 3,{125.10^{ - 3}}\end{array}$

=> Cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng $3,{125.10^{ - 3}}$ chiều dài ban đầu hay giảm $0,3125\%$

Ta có, thời gian quả lắc đồng hồ chạy sai trong 1s là: $\dfrac{{\Delta T}}{T} = \dfrac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right) = \dfrac{1}{2}{.2.10^{ - 5}}\left( {30 - 20} \right) = {10^{ - 4}} > 0$

=> Đồng hồ chạy chậm

Trong một ngày đêm, đồng hồ chạy chậm khoảng thời gian là: $\theta  = \dfrac{{\Delta T}}{T}.24.60.60 = 8,64{\rm{s}}$