HĐ3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho →u=(2;−3),→v=(4;1),→a=(8;−12)
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ →u,→v,→a theo các vectơ →i,→j
b) Tìm tọa độ của các vectơ →u+→v,4.→u
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ →u,→a
Phương pháp giải:
a) Vectơ →a có tọa độ (x;y) thì →a=x.→i+y.→j
b)
Bước 1: Tính →u+→v,4.→u theo các vectơ →i,→j
Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ →u+→v,4.→u
c)
Quan sát biểu thị theo các vectơ →i,→j của các vectơ →u,→a để suy ra mối liên hệ.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: →u=(2;−3)
⇒→u=2.→i+(−3).→j
Tương tự ta có: →v=(4;1),→a=(8;−12)
⇒→v=4.→i+1.→j;→a=8.→i+(−12).→j
b) Ta có: {→u=2.→i+(−3).→j→v=4.→i+1.→j(theo câu a)
⇒{→u+→v=(2.→i+(−3).→j)+(4.→i+1.→j)4.→u=4(2.→i+(−3).→j)⇔{→u+→v=(2.→i+4.→i)+((−3).→j+1.→j)4.→u=4.2.→i+4.(−3).→j⇔{→u+→v=6.→i+(−2).→j4.→u=8.→i+(−12).→j
c) Vì {4.→u=8.→i+(−12).→j→a=8.→i+(−12).→j nên ta suy ra 4.→u=→a
HĐ4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(xo;yo). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị →OP theo →i và tính độ dài của →OP theo xo.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị →OQ theo →j và tính độ dài của →OQ theo yo.
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của →OM theo xo,yo.
d) Biểu thị →OM theo các vectơ →i,→j.
Phương pháp giải:
a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.
b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.
c) Tính độ dài của →OM theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago
d) Biểu thị →OM theo các vectơ →OP, →OQ (quy tắc hình bình hành)
Lời giải chi tiết:
a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số xo
Ta có: vectơ →OP cùng phương, cùng hướng với →i và |→OP|=xo=xo.|→i|
⇒→OP=xo.→i.
b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số yo
Ta có: vectơ →OQ cùng phương, cùng hướng với →j và |→OQ|=yo=yo.|→j|
⇒→OQ=yo.→j.
c) Ta có: →OM=OM.
Mà OM2=OP2+MP2=OP2+OQ2=xo2+yo2
⇒|→OM|=√xo2+yo2
d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành nên →OM=→OP+→OQ
⇒→OM=xo.→i+yo.→j
HĐ5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)
a) Tìm tọa độ của các vectơ →OM,→ON.
b) Biểu thị vectơ →MN theo các vectơ →OM,→ON và tọa độ của →MN.
c) Tìm độ dài của vectơ →MN
Phương pháp giải:
a) Tọa độ của vectơ →OM,→ON chính là tọa độ của M, N
b) Biểu thị vectơ →MN theo các vectơ →OM,→ON bằng quy tắc hiệu.
Tìm tọa độ của →MN dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ →OM,→ON đã biết.
c) Độ dài của vectơ →MN(a;b) là |→MN|=√a2+b2
Lời giải chi tiết:
a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ →OM có tọa độ (x; y).
Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ →ON có tọa độ (x’; y’).
b) Ta có: →MN=→ON−→OM (quy tắc hiệu)
Mà →OM có tọa độ (x; y); →ON có tọa độ (x’; y’).
⇒→MN=(x′;y′)−(x;y)=(x′−x;y′−y)
c) Vì →MN có tọa độ (x′−x;y′−y) nên |→MN|=√(x′−x)2+(y′−y)2
Luyện tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.
Phương pháp giải:
a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ →OA,→OB cùng phương
b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi →OA=→MB
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: →OA=(2;1) ( do A(2; 1)) và →OB=(3;3) (do B (3; 3)).
Hai vectơ này không cùng phương (vì 23≠13).
Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi →OA=→MB.
Do →OA=(2;1),→MB=(3−x;3−y) nên
→OA=→MB⇔{2=3−x1=3−y⇔{x=1y=2
Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).
Vận dụng
Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ điểm M là (x; y)
Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ, tâm bão đã đi được 912=34 khoảng cách từ A tới B.
Hay AM=34.AB⇒→AM=34.→AB(*)
Mà →AM=(x−13,8;y−108,3),→AB=(14,1−13,8;106,3−108,3)=(0,3;−2)
Do đó (∗)⇔{x−13,8=34.0,3y−108,3=34.(−2)⇔{x=14,025y=106,8
Vậy tọa độ điểm M là (14,025; 106,8)
